Симметричная мозаика. Алгоритм построения мозаик Пенроуза – модели и квазикристаллы. Мозаики разных стран

Алгоритм построения мозаик Пенроуза – модели и квазикристаллы

Студент
Владимирский государственный университет имени

А. Г. и, Педагогический институт,
физико-математический факультет , Владимир, Россия
E–mail: *****@***com

Квазикристаллы представляют собой сравнительно недавно открытый вид твердых тел, промежуточный между кристаллами и аморфными телами. Их возникновение связано с экспериментально обнаруженными в 1982 г. веществами, дающими дифракционную картину с фунциональными брэгговскими пиками, и симметрией, не совместимой с трансляционной решеткой . За их открытие израильский физик и химик Дан Шехтман в 2011 году получил нобелевскую премию.

В качестве математических моделей квазикристаллов обычно выступают непериодические точечные системы, обладающие дальним порядком. Такие математические квазикристаллы, в отличие от физических, могут быть определены в любой размерности.

Двумерной моделью квазикристалла является мозаика Пенроуза, изучавшаяся математиками еще до открытия квазикристаллов. Мозаика Пенроуза не является периодическим разбиением, так как не переходит в себя ни какими параллельными переносами - трансляциями. Однако в ней существует строгий порядок, определяемый алгоритмом построения этого разбиения.

Существует множество подходов к определению математических квазикристаллов. Наиболее известным является подход, основанный на проектировании решеток из пространств более высокой размерности в меньшую размерность, который получил название “model sets”. Применительно к мозаике Пенроуза данный подход называется методом Бааки .

Данный метод наиболее удобен для изучения и анализа дифракционной картины квазикристаллов как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения компьютерных алгоритмов. На основе данного анализа можно делать последующие выводы о свойствах квазикристаллов.

Для анализа свойств мозаики Пенроуза нами была написана компьютерная программа по алгоритму Бааки, согласно которому определяются окно https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24">.gif" width="104" height="24">, где .

Множества https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , где - золотое сечение. Тогда проекции точек на модельное множество будут следующими: и где https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">. Вершины соединены ребром тогда, когда расстояние между ними равно 1. Таким образом строится мозаика Пенроуза по вышеприведенному алгоритму.

Нами обнаружено, что метод Бааки не совсем точен и полученное разбиение не является в точности разбиением Пенроуза, так как появляются «лишние» вершины и ребра разбиения. Оказалось, что данная конструкция верна с точностью до вершин и границ пятиугольников .

С помощью компьютерного эксперимента удалось получить уточнение метода Бааки, в результате чего получилась мозаика Пенроуза (рис.1):

Рис.1 Мозаика Пенроуза, полученная с помощью модификации алгоритма Бааки

Описанный выше способ построения мозаики Пенроуза называют слабой параметризацией мозаики Пенроуза.

Существует и другой способ построения - сильная параметризация вершин разбиения, где можно получать параметры соседних вершин по параметру данной вершины. Все множество параметров разбивается на многоугольники, в каждом из которых однозначно определены первое локальное окружение точки, а также звезда, состоящая из векторов, соединяющих точку с соседними точками.

В 1973 году английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) создал особенную мозаику из геометрических фигур, которая так и стала называться - мозаикой Пенроуза.
Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из многоугольных плиток двух определённых форм (немного различающихся ромбов). Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.

Мозаика Пенроуза в версии её создателя.
Она собрана из ромбов двух типов,
один – с углом 72 градуса, другой – с углом 36 градусов.
Картина получается симметричная, но не периодичная.

Получающееся изображение выглядит так, будто является неким "ритмическим" орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. Такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно "копировать" на плоскости, а затем совмещать эти "дубликаты" друг с другом параллельным переносом (проще говоря, без поворота и без увеличения).

Однако, если присмотреться, можно узреть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он апериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка.

Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам.

Примерно десятилетие выдумка Пенроуза считалась не более чем милой математической абстракцией. Однако в 1984 году Дэн Шехтман (Dan Shechtman), профессор израильского технологического института (Technion), занимаясь изучением строения алюминиево-магниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит дифракция.

Предыдущие представления, существовавшие в физике твёрдого тела, исключали такую возможность: структура дифракционной картины обладает симметрией пятого порядка. Её части нельзя совмещать параллельным переносом, а значит, это вовсе никакой не кристалл. Но дифракция характерна как раз для кристаллической решётки! Учёные договорились о том, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. Ну а вся красота открытия в том, что для него уже давно была готова математическая модель - мозаика Пенроуза.

А совсем недавно стало понятно, что этой математической конструкции намного больше лет, чем можно было себе представить. В 2007 году Питер Лу (Peter J. Lu), физик из Гарварда (Harvard University) за компанию с другим физиком - Полом Стейнхардтом (Paul J. Steinhardt), но из Принстона (Princeton University), - опубликовал в Science статью, посвящённую мозаикам Пенроуза. Казалось бы, неожиданного тут немного: открытие квазикристаллов привлекло живой интерес к данной теме, что привело к появлению кучи публикаций в научной прессе.

Однако изюминка работы в том, что она посвящена далеко не современной науке. Да и вообще - не науке. Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи (от арабского слова "узел") и представляют собой геометрический орнамент, характерный для исламского искусства и состоящий из многоугольных фигур.

Образец выкладки плитки, показанный в арабском манускрипте XV века.
Цветами исследователи выделили повторяющиеся области.
На основе этих пяти элементов выстроены все геометрические узоры
средневековых арабских мастеров. Повторяющиеся элементы
не обязательно совпадают с границами плиток.

В исламском орнаменте выделяют два стиля: геометрический – гирих, и растительный – ислими.
Гирих (перс.) – сложный геометрический орнамент, составленный из стилизованных в прямоугольные и полигональные фигуры линий. В большинстве случаев используется для внешнего оформления мечетей и книг в крупном издании.
Ислими (перс.) – вид орнамента, построенного на соединении вьюнка и спирали. Воплощает в стилизованной или натуралистической форме идею непрерывно развивающегося цветущего лиственного побега и включает в себя бесконечное разнообразие вариантов. Наибольшее распространение он получил в одежде, книгах, внутренней отделке мечетей, посуде.

Обложка Корана 1306-1315 годов и прорисовка геометрических фрагментов,
на которых основан узор. Этот и следующий примеры не соответствуют
решёткам Пенроуза, но обладают вращательной симметрией пятого порядка

До открытия Питера Лу считалось, что древние архитекторы создавали узоры гириха c помощью линейки и циркуля (если вообще не по наитию). Однако пару лет назад, находясь во время путешествия в Узбекистане, Лу заинтересовался узорами мозаик, украшавшими местную средневековую архитектуру, и приметил в них что-то знакомое. Вернувшись в Гарвард, учёный стал рассматривать аналогичные мотивы в мозаиках на стенах средневековых построек Афганистана, Ирана, Ирака и Турции.

Этот образец датирован более поздним периодом – 1622 год (индийская мечеть).
Глядя на него и прорисовку его структуры, нельзя не восхититься трудолюбию
исследователей. И, конечно же, самих мастеров.

Питер Лу обнаружил, что геометрические схемы гирихов практически одинаковы, и смог выделить основные элементы, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен.
Для создания этих узоров применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. Древние узоры оказались точными построениями мозаик Пенроуза!

На этих снимках выделены одинаковые области,
хотя это и фотографии из самых разных мечетей

В исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент. Средневековые мастера умудрялись как-то делать его разнообразным. Но в чём был секрет их "стратегии" – никто не знал. Так вот, секрет как раз оказывается в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь.

Другой "фокус" этих изображений в том, что, "копируя" такие схемы в различных храмах по чертежам, художники неизбежно должны были бы допустить искажения. Но нарушения данного характера минимальны. Объясняется это только тем, что в масштабных чертежах смысла не была: главное – принцип, по которому строить картину.

Для сборки гирихов применяли плитки пяти видов (десяти- и пятиугольные ромбы и "бабочки"), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. Мозаики созданные из них, могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка (то есть являлись мозаиками Пенроуза).

Фрагмент орнамента иранского мавзолея 1304 года. Справа – реконструкция гирихов

Исследовав сотни фотографий средневековых мусульманских достопримечательностей, Лу со Стейнхардтом смогли датировать появление подобной тенденции XIII веком. Постепенно этот способ приобретал всё большую популярность и к XV веку стал широко распространённым. Датировка примерно совпадает с периодом развития техники декорирования дворцов, мечетей, различных важных зданий глазурованной цветной керамической плиткой в форме различных многоугольников. То есть керамическую плитку специальных форм создавали именно для гирихов.

Образцом почти идеальной квазикристаллической структуры исследователи посчитали святилище имама Дарб-и в иранском городе Исфахане, датируемое 1453 годом.

Портал святилища имама Дарб-и в Исфахане (Иран).
Здесь друг на друга наложены сразу две системы гирихов.

Колонна внутреннего двора мечети в Турции (около 1200 года)
и стены медресе в Иране (1219 год). Это ранние произведения,
и в них используется всего два структурных элемента, найденных Лу

Теперь остается найти ответы на ряд загадок в истории гириха и мозаик Пенроуза. Каким образом и для чего древние математики открыли квазикристаллические структуры? Придавали ли средневековые арабы мозаикам какой-то иной смысл, кроме художественного? Почему столь интересная математическая концепция была забыта на полтысячелетия? И самое интересное - какие еще современные открытия являются новым, которое на самом деле - хорошо забытое старое?

Мозаика Пенроуза, плитки Пенроуза - непериодическое разбиение плоскости, апериодические регулярные структуры, замощение плоскости ромбами двух типов - с углами 72° и 108° («толстые ромбы») и 36° и 144° («тонкие ромбы»), такими (подчиняются пропорции «золотого сечения»), что любые два соседних (то есть имеющих общую сторону) ромба не образуют вместе параллелограмм. Названа в честь Роджера Пенроуза, интересовавшегося проблемой «замощения», то есть заполнения плоскости фигурами одной формы без зазоров и перекрываний.

Все такие замощения непериодичны и локально изоморфны друг другу (то есть любой конечный фрагмент одной мозаики Пенроуза встречается в любой другой). «Самоподобие» - можно так объединить соседние плитки мозаики, чтобы снова получилась мозаика Пенроуза.

Несколько отрезков можно нарисовать на каждой из двух плиток так, что при выкладывании мозаики концы этих отрезков совместятся и на плоскости образуются несколько семейств параллельных прямых линий (полосы Аммана).

Расстояния между соседними параллельными прямыми принимают ровно два различных значения (а для каждого семейства параллельных прямых последовательность этих значений обладает самоподобием).

Мозаики Пенроуза, имеющие дыры, покрывают всю плоскость, за исключением фигуры конечной площади. Увеличить дыру, сняв несколько (конечное число) плиток, после чего замостить непокрытую часть полностью, нельзя.

Задача решается замощением фигурами, создающими периодически повторяющийся рисунок, но Пенроуз хотел отыскать именно такую фигуру, которая при замощении плоскости не создавала бы повторяющихся узоров. Считалось, что нет таких плиток, из которых строились бы только непериодические мозаики. Пенроуз подбирал множество плиток различной формы, в итоге их оказалось только 2, имеющих «золотое сечение», которое лежит в основе всех гармоничных соотношений. Это фигуры ромбовидной формы с углами 108° и 72°. Позже фигуры упростились до формы просто ромба (36° и 144°), в основе лежит принцип «золотого треугольника».

Получившиеся узоры имеют квазикристаллическую форму, которая имеет осевую симметрию 5-го порядка. Структура мозаики связана с последовательностью Фибоначчи.
( Википедия)

Мозаика Пенроуза. Белой точкой отмечен центр поворотной симметрии 5-го порядка: поворот вокруг нее на 72° переводит мозаику саму в себя.

Цепочки и мозаики (журнал Наука и жизнь, 2005 №10)

Вначале рассмотрим следующую идеализированную модель. Пусть в равновесном состоянии частицы расположены вдоль оси переноса z и образуют линейную цепочку с переменным периодом, изменяющимся по закону геометрической прогрессии:

аn = a1·Dn-1,

где a1 - начальный период между частицами, n - порядковый номер периода, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… - число золотой пропорции.

Построенная цепочка частиц служит примером одномерного квазикристалла с дальним порядком симметрии. Структура абсолютно упорядочена, наблюдается систематичность в расположении частиц на оси - их координаты определяются одним законом. Вместе с тем нет повторяемости - периоды между частицами различны и все время возрастают. Поэтому полученная одномерная структура не обладает трансляционной симметрией, и вызвано это не хаотическим расположением частиц (как в аморфных структурах), а иррациональным отношением двух соседних периодов (D - число иррациональное).

Логическим продолжением рассмотренной одномерной структуры квазикристалла служит двухмерная структура, которую можно описать методом построения непериодических мозаик (узоров), состоящих из двух различных элементов, двух элементарных ячеек. Такую мозаику разработал в 1974 году физик-теоретик из Оксфордского университета Р. Пенроуз. Он нашел мозаику из двух ромбов с равными сторонами. Внутренние углы узкого ромба равны 36° и 144°, широкого ромба - 72° и 108°.

Углы этих ромбов связаны с золотой пропорцией, которая алгебраически выражается уравнением х2 - х - 1 = 0 или уравнением у2 + у - 1 = 0. Корни этих квадратных уравнений можно записать в тригонометрическом виде:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cоs108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Такой нетрадиционный вид представления корней уравнений показывает, что эти ромбы можно назвать узким и широким золотыми ромбами.

В мозаике Пенроуза плоскость закрывается золотыми ромбами без пропусков и перекрытий, и ее можно беспредельно расстилать в длину и ширину. Но для построения бесконечной мозаики надо соблюдать определенные правила, существенно отличающиеся от однообразного повторения одинаковых элементарных ячеек, составляющих кристалл. Если правило подгонки золотых ромбов нарушить, то через некоторое время рост мозаики прекратится, так как появятся неустранимые несогласования.

В бесконечной мозаике Пенроуза золотые ромбы располагаются без строгой периодичности. Однако отношение числа широких золотых ромбов к числу узких золотых ромбов точно равно золотому числу D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Поскольку число D иррациональное, в подобной мозаике нельзя выделить элементарную ячейку с целым числом ромбов каждого вида, трансляцией которой можно было бы получить всю мозаику.

Мозаика Пенроуза имеет свою особую прелесть и как объект занимательной математики. Не вдаваясь во все аспекты этого вопроса, отметим, что даже первый шаг - построение мозаики - достаточно интересен, так как требует внимания, терпения и определенной сообразительности. А уж массу выдумки и фантазии можно проявить, если сделать мозаику разноцветной. Раскраску, превращающуюся сразу в игру, можно выполнить многочисленными оригинальными способами, варианты которых представлены на рисунках (внизу). Белой точкой отмечен центр мозаики, поворот вокруг которого на 72° переводит ее саму в себя.

Мозаика Пенроуза - великолепный пример того, как красивое построение, находящееся на стыке различных дисциплин, обязательно находит себе применение. Если узловые точки заменить атомами, мозаика Пенроуза станет хорошим аналогом двухмерного квазикристалла, так как имеет много свойств, характерных для такого состояния вещества. И вот почему.

Во-первых, построение мозаики реализуется по определенному алгоритму, вследствие чего она оказывается не случайной, а упорядоченной структурой. Любая ее конечная часть встречается во всей мозаике бесчисленное множество раз.

Во-вторых, в мозаике можно выделить много правильных десятиугольников, имеющих совершенно одинаковые ориентации. Они создают дальний ориентационный порядок, названный квазипериодическим. Это означает, что между удаленными структурами мозаики существует взаимодействие, которое согласовывает расположение и относительную ориентацию ромбов вполне определенным, хотя и неоднозначным способом.

В-третьих, если последовательно закрасить все ромбы со сторонами, параллельными какому-либо выбранному направлению, то они образуют серию ломаных линий. Вдоль этих ломаных линий можно провести прямые параллельные линии, отстоящие друг от друга приблизительно на одинаковом расстоянии. Благодаря этому свойству можно говорить о некоторой трансляционной симметрии в мозаике Пенроуза.

В-четвертых, последовательно закрашенные ромбы образуют пять семейств подобных параллельных линий, пересекающихся под углами, кратными 72°. Направления этих ломаных линий соответствуют направлениям сторон правильного пятиугольника. Поэтому мозаика Пенроуза имеет в какой-то степени поворотную симметрию 5-го порядка и в этом смысле подобна квазикристаллу.

Просмотры: 367

В февральском номере журнала «Сайнс» («Science») за 2007 год появилась статья американских ученых Питера Лу и Паула Стейнхардта о средневековой исламской архитектуре, сразу же ставшая научной сенсацией. По мнению авторов статьи, мозаичные узоры, украшающие стены средневековых мавзолеев, мечетей и дворцов, выполнены с использованием математических законов, открытых европейскими учеными лишь в 70-х годах ХХ столетия. Отсюда, со всей очевидностью следует, что средневековые зодчие на несколько столетий опередили своих европейских коллег.

Это открытие, как и многое в современной науке, произошло совершенно случайно. В 2005 году аспирант Гарвардского университета Питер Лу приехал в качестве туриста в Узбекистан. Любуясь настенным декором мавзолея Абдуллахана в Бухаре, он усмотрел в нем аналог сложных геометрических построений, изучавшихся им когда-то в университете. Причудливые формы узоров на многочисленных самаркандских орнаментах лишь подтверждали правильность его догадки. По возвращении домой он рассказал о своем открытии руководителю своей студенческой дипломной работы, профессору Принстонского университета, Паулу Стейнхардту.

Тщательное исследование структуры настенных росписей и орнамента средневековых мусульманских архитектурных памятников в Узбекистане, Афганистане, Иране, Ираке, Турции и Индии подтвердили правильность догадки Питера Лу и стали предметом упомянутой выше сенсационной статьи.

Для того чтобы понять смысл открытия Питера Лу и Паула Стейнхадта следует познакомиться с такими понятиями как задача о паркетах, квазикристаллическая структура, золотое число и т.д. Поэтому начнем изложение по порядку.

Задача о паркетах и структуры Пенроуза

В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами . Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

В тоже время, правильные пятиугольники не могут служить элементарными элементами паркета, поскольку их нельзя на плоскости подогнать друг к другу плотно без зазоров. Тоже самое можно сказать о семи-, восьми-, девяти-, десяти- и т.д. угольниках. Постепенно были придуманы способы заполнения плоскости правильными многоугольниками разных видов и размеров. Например, вот так можно заполнить плоскость, комбинируя четырех- и восьмиугольники разных размеров:

Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была бы не совсем «правильной» или «почти» периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 70-х годов, профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов. Ниже показан вариант квазипериодического (т.е. почти периодического) заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36°. Их еще называют «толстыми» и «худыми» ромбами.

Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому «золотому сечению» 1,618… Поскольку это число «не точное», а как говорят математики иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду – пентаграмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание, что выделенные десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания, открытых в 1984 году квазикристаллов.

Что такое квазикристаллы

Мы включили этот раздел в нашу статью для того, чтобы рассказать еще одну интересную историю о том, как математическое построение, являющееся плодом чистой фантазии ученых, неожиданно нашло важное практическое применение.

Все вещества в природе можно разделить на два типа: аморфные, в которых полностью отсутствует закономерность во взаимном расположении атомов, и кристаллические, характеризующиеся их строго упорядоченным расположением. Из законов кристаллографии следует, что для кристаллов возможны оси симметрии лишь первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков, т.е. по аналогии с паркетами кристаллы с симметрией пятого порядка в природе существовать не могут. Это обстоятельство было строго доказано на основе математической теории групп в многомерных пространствах. Но природа, как всегда оказалась намного изобретательней и в 1984 году была опубликована работа группы Шехтмана, в которой сообщалось об открытии сплава алюминия с марганцем, обладающего вращательной симметрией пятого порядка. Впоследствии было синтезировано множество аналогичных сплавов с неизвестными доселе свойствами. Эти сплавы были названы квазикристаллами, и сейчас они рассматриваются как промежуточные между аморфными и кристаллическими формами вещества.

Именно благодаря этому открытию геометрическое построение Пенроуза, оказавшееся наиболее подходящим инструментом для моделирования структуры квазикристалов, приобрело большую известность и получило дальнейшее развитие. И именно поэтому оно включено в университетские курсы. В настоящее время уже получено трехмерное обобщение мозаики Пенроуза, составленной из худого и толстого ромбоэдров — шестигранных фигур, каждая грань которых — ромб.

Какая геометрия лежит в основе средневековой мозаики

Проанализировав около 3700 мозаичных плиток, Лу и Стейнхардт пришли к заключению, что на рубеже XIII века повсеместно в мусульманских странах распространилась технология декорации мавзолеев, мечетей и других строений периодической мозаикой, составленной из набора пяти многоугольников, а именно, десятиугольника, шестиугольника, галстука-бабочки (терминология авторов статьи), пятиугольника и ромба. По существу, это было решение описанной выше задачи о паркетах с помощью набора из пяти «мусульманских» многоугольников. Узоры, составленные из таких многоугольников, называются «гирих» (от персидского – узел).

Обратите внимание, что грани всех многоугольников имеют одинаковые размеры, что позволяет состыковывать их с любой стороны. Кроме того, на каждой плитке-многоугольнике имеются декорирующие линии, но и они прочерчены по строгим геометрическим правилам: любые две линии узора сходятся в середине каждой стороны под углами в 72 или 108°, т.е. кратными 36°. Это обеспечивает сохранение непрерывности узора при переходе от одной плитки к другой.

Для построения такой мозаики было достаточно иметь в своем распоряжении циркуль и линейку. Кстати, до открытия американских ученых так и считалось, что средневековые мастера при создании декора зданий пользовались лишь простейшими инструментами как линейка и циркуль. Теперь стало очевидным, что это не совсем так.

На XV век приходится самый созидательный период расцвета науки и культуры в странах, управлявшихся Тимуридами. Именно в это время произошел качественный скачок и в искусстве орнамента. Подтверждением этого является, тот факт, что многочисленные исследованные памятники как мавзолей Дарб-е-Имама в Иране, усыпальница Хаджа Абдуллаха Ансари в Герате и другие относятся к эпохе Тимуридов.

Комбинация ставшей к этому времени традиционной мозаики гирих, и геометрических фигур «стрела» и «бумажный змей» (опять по терминологии Лу и Стеинхардта) позволили создать

непериодические узоры, напоминающие мозаику Пенроуза. Отсюда следует, что к этому времени они, возможно, использовали более сложные инструменты, но совершенно очевидно, что в XV веке в технике декора произошел концептуальный скачок!

Уже в последующих, после опубликования статьи, интервью Лу и Стейнхардт отмечали, что они не могут сказать, насколько средневековые зодчие сами понимали детали своего открытия, но то, что они видят это аналог структур Пенроуза. И они совершенно уверены в том, что то, что они открыли, не может быть лишь каким-то случайным совпадением.

Лирическое отступление

Дело сделано. Мне удалось разобраться в премудростях геометрических узоров, придающих неповторимую красоту творениям наших предков, и я надеюсь, в какой-то степени удовлетворить любопытство наших соотечественников. Остается, конечно, какая-то неудовлетворенность, ведь я тоже сотни раз любовался красотой и изяществом самаркандских орнаментов. Почему же мне никогда не приходила в голову эта мысль. В оправдание себе могу лишь сказать, что, когда квазипериодическая структура Пенроуза вошла в университетские курсы, я уже работал над кандидатской диссертацией по своей узкой специальности. А Питеру Лу всего 28 лет, и он уже проходил структуры Пенроуза в университете. Конечно, знать и распознать в совершенно неожиданном месте проявление какой-нибудь закономерности совершенно разные вещи, но, чтобы это сделать, надо как минимум знать, что такой закон существует.

Но лирическое отступление не об этом. Для того чтобы разобраться в сути статьи в журнале «Сайнс» мне понадобилось два дня, вернее две бессонные ночи, но причины, по которым я не сделал этого раньше, имеют, как мне кажется, глубокий философский смысл. Когда я прочел в Интернете информацию о статье Лу и Стейнхардта, то я сразу же позвонил моему коллеге, специалисту в области геометрии. Он с полуслова понял, о чем идет речь, но огорчил меня, сообщив, что я застал его перед отъездом в аэропорт. Узнав, что он возвращается из зарубежной командировки только через три месяца, я попросил его хотя бы рекомендовать мне какую-либо книжку, в которой я мог бы прочитать о структурах Пенроуза. Он назвал мне книжку и при этом добавил, что это очень сложная математика и вряд ли можно будет быстро все понять и тем более объяснить это популярно обычным людям. Когда я пролистал рекомендованную мне книгу, напичканную такими понятиями как, многомерные инвариантные пространства, фактор-пространство сопряженного иррационального пространства, то мой энтузиазм быстро угас.

После сообщения информационного агентства «Жахон» интерес нашей научной, да и не только научной общественности к этому вопросу стал лавинообразно нарастать. Среди ученых мужей Академии наук и Национального университета, конечно, нашлись специалисты, которые разбираются в сложных вопросах алгебр Ли, теории групп, многомерных симметрий и т.д. Но все они, были едины во мнении, что объяснить эти вещи популярно невозможно. На днях меня внезапно осенила тривиальная мысль: Постой. А как же додумались до этого средневековые зодчие, ведь они не располагали мощнейшим аппаратом современной математики? На этот раз я решил попытаться понять это не через сложный математический аппарат квазипериодической структуры Пенроуза, который оказался для меня тёмным лесом, а пойти путем средневековых зодчих. Для начала я скачал из Интернета оригинальную статью Лу и Стейнхардта. Их метод меня поразил. Для объяснения сути своего открытия они тоже пошли именно этим путем, т.е. используя понятийный аппарат средневековых зодчих, и оперируя такими простыми вещами как мозаика «гирих», плитки «стрела», «бумажный змей» и т.д.

Философский смысл всего этого состоит в том, что для того чтобы понять законы природы (а может быть и общества) не обязательно всем идти одним и тем же путем. Человеческое мышление тоже многомерно. Есть восточный подход, и есть подход западный. И каждый из них имеет право на существование, и в отдельном конкретном случае может неожиданно оказаться более эффективным, чем противоположный. Так получилось и в данном случае: то, что удалось открыть западной науке на основе огромного обобщения тернистого опыта, восточная наука сделала на основе интуиции и чувства прекрасного. И результаты налицо: в практическом воплощении законов геометрии в практику, восточные мыслители опередили западных на пять столетий!

Шухрат Эгамбердиев.
Астрономический институт АН РУз.

С полным текстом статьи с цветными иллюстрациями можно ознакомиться в ближайшем (статья написана году в 2008. ЕС) номере журнала «Фан ва турмуш» — «Наука и жизнь Узбекистана».

Участники проекта

Никифоров Кирилл, ученик 8 класса

Руднева Оксана, ученица 8 класса

Потураева Ксения, ученица 8 класса

Тема исследования

Мозаика Пенроуза

Проблемный вопрос

Что такое мозаика Пенроуза?

Гипотеза исследования

Существует непериодическое замощение плоскости

Цели исследования

Познакомится с мозаикой Пенроуза и узнать почему она называется "золотой" мозаикой

Полученные результаты

Мозаика Пенроуза

Замощение плоскости – это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами или мозаикой. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

Такое замощение плоскости называется периодическим. Позже научились выполнять замощение используя комбинацию нескольких правильных многоугольников.

Более сложной задачей было создание не совсем "правильного" или "почти" периодического паркета. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз, выдающийся учёный современности, активно работающий в различных областях математики и физики, решил задачу, используя всего два вида ромбов.

Роджер Пенроуз

Мы исследовали метод построения такой мозаики, которая теперь и называется мозаикой Пенроуза. Для этого в правильном пятиугольнике (пентагоне) проведем диагонали. Получим - новый пентагон и два вида равнобедренных треугольников, которые называют «золотыми». Отношение бедра к основанию в таких треугольниках равно «золотой» пропорции. Углы в треугольниках равны 36°, 72° и 72° в одном и 108°, 36° и 36° в другом. Соединим по два одинаковых треугольника и получим «золотые» ромбы. Их и использовал учёный в конструировании паркета, а сам паркет назвали "золотым".

Мозаика Пенроуза

Мозаика Пенроуза обладает свойствами:

1. отношение числа тонких ромбов к числу толстых оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу 1,618...