Симметриялық мозаика. Penrose мозаикасын құру алгоритмі – модельдер мен квазикристалдар. Әртүрлі елдердің мозаикасы

Penrose мозаикасын құру алгоритмі – модельдер мен квазикристалдар

студент
атындағы Владимир мемлекеттік университеті

А.Г. және педагогикалық институты,
Физика-математика факультеті, Владимир, Ресей
Электрондық пошта:****@***com

Квазикристалдар салыстырмалы түрде жақында ашылған қатты дене түрі, кристалдар мен аморфты қатты денелер арасындағы аралық. Олардың пайда болуы функционалды Брагг шыңдары мен трансляция торымен үйлеспейтін симметриялы дифракциялық үлгіні беретін 1982 жылы эксперименталды түрде ашылған заттармен байланысты. Олардың ашқан жаңалығы үшін израильдік физик және химик Дэн Шехтман 2011 жылы Нобель сыйлығын алды.

Квазикристалдардың математикалық үлгілері ретінде әдетте ұзақ мерзімді ретті периодты емес нүктелік жүйелер қолданылады. Мұндай математикалық квазикристалдар физикалықдан айырмашылығы кез келген өлшемде анықталуы мүмкін.

Квазикристалдың екі өлшемді моделі - бұл квазикристалдар ашылғанға дейін математиктер зерттеген Пенроуз мозаикасы. Пенроуз мозаикасы периодты бөлім емес, өйткені ол кез келген параллель трансферлер – аудармалар арқылы өзіне айналмайды. Дегенмен, онда бұл бөлімді құру алгоритмімен анықталған қатаң тәртіп бар.

Математикалық квазикристалдарды анықтаудың көптеген тәсілдері бар. Ең танымал тәсіл торларды үлкен өлшемді кеңістіктерден төменгі өлшемді кеңістіктерге проекциялауға негізделген, ол «модель жиындары» деп аталады. Penrose плиткаларына қолданған кезде бұл тәсіл Бааки әдісі деп аталады.

Бұл әдіс теориялық тұрғыдан да, компьютерлік алгоритмдер тұрғысынан да квазикристалдардың дифракциялық заңдылығын зерттеу және талдау үшін ең қолайлы. Осы талдау негізінде квазикристалдардың қасиеттері туралы келесі қорытындылар жасауға болады.

Penrose мозаикасының қасиеттерін талдау үшін біз Baaki алгоритмін пайдаланып компьютерлік бағдарлама жаздық, оған сәйкес терезе анықталады https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51" height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, мұндағы .

Орнатады https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , мұндағы алтын қатынас. Содан кейін нүктелердің проекциялары үлгі жинағы келесідей болады : және мұнда https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">.Төбелердің ара қашықтығы 1 болғанда, төбелер жиекпен қосылады. Осылайша, жоғарыда көрсетілген алгоритм арқылы Пенроуз мозаикасы құрастырылады.

Біз Бааки әдісінің толық дәл емес екенін және алынған бөлімнің дәл Penrose бөлімі емес екенін анықтадық, өйткені бөлімнің «қосымша» шыңдары мен жиектері пайда болады. Бұл конструкция бесбұрыштардың төбелері мен шекараларына дейін дұрыс болып шықты.

Компьютерлік тәжірибені пайдалана отырып, Бааки әдісін нақтылау мүмкін болды, нәтижесінде Пенроуз мозаикасы алынды (1-сурет):

Сур.1 Бааки алгоритмінің модификациясы арқылы алынған Пенроуз мозаикасы

Penrose плиткасын салу үшін жоғарыда сипатталған әдіс Penrose плиткасының әлсіз параметрленуі деп аталады.

Басқа құрылыс әдісі бар - бөлу шыңдарын күшті параметрлеу, мұнда берілген шыңның параметрін пайдаланып көрші төбелердің параметрлерін алуға болады. Параметрлердің барлық жиыны көпбұрыштарға бөлінеді, олардың әрқайсысында нүктенің бірінші жергілікті ортасы бірегей түрде анықталады, сонымен қатар нүктені көрші нүктелермен байланыстыратын векторлардан тұратын жұлдыз.

1973 жылы ағылшын математигі Роджер Пенроуз геометриялық фигуралардың арнайы мозаикасын жасады, ол Пенроуз мозаикасы деп аталды.
Пенроза мозаикасы - бұл екі нақты пішіндегі көпбұрышты плиткалардан (сәл әртүрлі ромбтар) жиналған үлгі. Олар саңылаусыз шексіз жазықтықты төсей алады.

Пенроуз мозаикасы оның жасаушысы бойынша.
Ол ромбтардың екі түрінен құрастырылған,
біреуі 72 градус бұрышпен, екіншісі 36 градус бұрышпен.
Сурет симметриялы болып шығады, бірақ мерзімді емес.

Алынған кескін қандай да бір «ритмикалық» ою-өрнек сияқты көрінеді - аударма симметриясы бар сурет. Симметрияның бұл түрі жазықтықта «көшіруге» болатын үлгідегі белгілі бір бөлікті таңдауға, содан кейін осы «көшірмелерді» параллель тасымалдау арқылы бір-бірімен біріктіруге болатындығын білдіреді (басқаша айтқанда, айналдырусыз және үлкейтусіз).

Дегенмен, мұқият қарасаңыз, Penrose үлгісінде мұндай қайталанатын құрылымдар жоқ екенін көруге болады - бұл периодикалық. Бірақ мәселе оптикалық иллюзия емес, мозаиканың хаотикалық емес екендігі: оның бесінші ретті айналу симметриясы бар.

Бұл кескінді 360 / n градусқа тең минималды бұрышпен бұруға болатынын білдіреді, мұндағы n - симметрия тәртібі, бұл жағдайда n = 5. Сондықтан ештеңені өзгертпейтін айналу бұрышы еселік болуы керек. 360/5 = 72 градус.

Шамамен он жыл бойы Пенроуздың өнертабысы сүйкімді математикалық абстракциядан басқа ештеңе деп саналмады. Алайда 1984 жылы Израиль технологиялық институтының (Технион) профессоры Дэн Шехтман алюминий-магний қорытпасының құрылымын зерттей отырып, дифракцияның осы заттың атомдық торында болатынын анықтады.

Қатты дене физикасында болған алдыңғы идеялар бұл мүмкіндікті жоққа шығарды: дифракциялық үлгінің құрылымы бесінші ретті симметрияға ие. Оның бөліктерін параллель тасымалдау арқылы біріктіру мүмкін емес, яғни ол мүлде кристал емес. Бірақ дифракция кристалдық торға тән! Ғалымдар бұл опцияны квазикристалдар деп атауға келісті - материяның ерекше күйі сияқты нәрсе. Жаңалықтың сұлулығы сол, оның математикалық моделі бұрыннан дайын болған – Пенроуз мозаикасы.

Жақында бұл математикалық конструкция елестетуден әлдеқайда ескі екені белгілі болды. 2007 жылы Гарвард университетінің физигі Питер Дж. Лу тағы бір физик Пол Дж. Штайнхардтпен бірге Принстон университетінің ғылымында Penrose мозаикасы туралы мақала жариялады. Бұл жерде күтпеген нәрсе жоқ сияқты: квазикристалдардың ашылуы осы тақырыпқа үлкен қызығушылық тудырды, бұл ғылыми баспасөзде көптеген басылымдардың пайда болуына әкелді.

Дегенмен, еңбектің ерекшелігі – оның қазіргі ғылымға арналмағандығы. Және жалпы алғанда - ғылым емес. Петр Лу орта ғасырларда салынған Азиядағы мешіттерді жабатын өрнектерге назар аударды. Бұл оңай танылатын конструкциялар мозаикалық плиткалардан жасалған. Олар гирихи (араб тілінен «түйін» деген сөз) деп аталады және ислам өнеріне тән және көпбұрышты пішіндерден тұратын геометриялық дизайн болып табылады.

15 ғасырдағы араб қолжазбасында көрсетілген плитка макетінің мысалы.
Зерттеушілер қайталанатын аймақтарды бөлектеу үшін түстерді пайдаланды.
Барлық геометриялық өрнектер осы бес элементтің негізінде салынған.
ортағасырлық араб шеберлері. Қайталанатын элементтер
плитка шекараларымен сәйкес келу міндетті емес.

Исламдық ою-өрнекте екі стиль бар: геометриялық – гирих және гүл – ислими.
Гирих(перс.) – тікбұрышты және көпбұрышты пішіндерге стильдендірілген сызықтардан тұратын күрделі геометриялық өрнек. Көп жағдайда ол мешіттердің сыртқы безендірілуіне және үлкен басылымдардағы кітаптарға қолданылады.
Ислими(перс.) – бұранда мен спираль қосылысында салынған ою-өрнек түрі. Стильденген немесе натуралистік пішінде үнемі дамып келе жатқан гүлденген жапырақтардың қашу идеясын қамтиды және шексіз алуан түрлі нұсқаларды қамтиды. Ол киім-кешек, кітаптар, мешіттердің ішкі безендірулері, ыдыс-аяқтарында кеңінен таралған.

1306-1315 жылдардағы Құранның мұқабасы және геометриялық фрагменттердің суреті,
үлгі оған негізделген. Бұл және келесі мысалдар сәйкес келмейді
Пенроза торлары, бірақ бесінші ретті айналу симметриясы бар

Питер Лу ашқанға дейін ежелгі сәулетшілер сызғыш пен циркульдің көмегімен (шабытпен болмаса) гириха үлгілерін жасаған деп есептелді. Алайда, бір-екі жыл бұрын, Өзбекстанда саяхаттау кезінде Лу жергілікті ортағасырлық сәулет өнерін безендіретін мозаикалық өрнектерге қызығушылық танытып, олардан таныс нәрсені байқады. Гарвардқа оралған ғалым Ауғанстан, Иран, Ирак және Түркиядағы ортағасырлық ғимараттардың қабырғаларындағы мозаикадағы ұқсас мотивтерді зерттей бастады.

Бұл мысал кейінгі кезеңге жатады – 1622 (Үнді мешіті).
Оған және оның құрылымының сызбасына қарап, қажырлы еңбекке сүйсінбеске болмайды
зерттеушілер. Және, әрине, шеберлердің өздері.

Питер Лу гирихтердің геометриялық өрнектерінің дерлік бірдей екенін анықтады және барлық геометриялық конструкцияларда қолданылатын негізгі элементтерді анықтай алды. Сонымен қатар, ол ежелгі қолжазбалардан осы кескіндердің сызбаларын тапты, оларды ежелгі суретшілер қабырғаларды безендіру үшін бір түрі ретінде пайдаланды.
Бұл үлгілерді жасау үшін олар қарапайым, кездейсоқ ойлап тапқан контурларды емес, белгілі бір ретпен орналастырылған фигураларды пайдаланды. Ежелгі өрнектер Пенроза мозаикасының дәл конструкциялары болып шықты!

Бұл суреттер бірдей аймақтарды ерекшелейді,
бірақ бұл әртүрлі мешіттерден алынған фотосуреттер

Ислам дәстүрінде адамдар мен жануарларды бейнелеуге қатаң тыйым салынды, сондықтан геометриялық өрнектер ғимараттарды жобалауда өте танымал болды. Ортағасырлық шеберлер әйтеуір оны әртүрлі етіп жасай алды. Бірақ олардың «стратегиясының» сыры неде екенін ешкім білмеді. Сонымен, құпия симметриялы болғанымен, қайталанбай, жазықтықты толтыра алатын арнайы мозаикаларды қолдануда болып шықты.

Бұл суреттердің тағы бір «қулығы» әртүрлі храмдардағы мұндай схемаларды сызбаларға сәйкес «көшіру» арқылы суретшілер сөзсіз бұрмалауға жол беруі керек. Бірақ бұл сипаттағы бұзушылықтар аз. Мұны тек ауқымды сызбаларда ешқандай мән болмағанымен түсіндіруге болады: ең бастысы суретті салу принципі болды.

Гирихтерді құрастыру үшін плиткалардың бес түрі пайдаланылды (он және бесбұрышты ромбтар және «көбелектер»), олар бір-біріне іргелес мозаикада олардың арасында бос орынсыз жиналған. Олардан жасалған мозаика бірден айналмалы және трансляциялық симметрияға немесе тек бесінші ретті айналмалы симметрияға ие болуы мүмкін (яғни олар Пенроза мозаикасы болды).

1304 жылғы Иран кесенесінің ою-өрнегінің фрагменті. Оң жақта – гирихтарды қалпына келтіру

Ортағасырлық мұсылман жерлерінің жүздеген фотосуреттерін зерттегеннен кейін Лу мен Штайнхардт бұл тенденцияны 13 ғасырға жатқыза алды. Бірте-бірте бұл әдіс танымал болды және 15 ғасырда ол кеңінен тарады. Танысу сарайларды, мешіттерді және әртүрлі маңызды ғимараттарды әртүрлі полигондар түріндегі жылтыратылған түсті керамикалық плиткалармен безендіру техникасының даму кезеңіне сәйкес келеді. Яғни, арнайы пішіндегі керамикалық тақтайшалар гирихтер үшін арнайы жасалған.

Зерттеушілер Иранның Исфахан қаласындағы имам Дарб-и ғибадатханасын 1453 жылдан бастап идеалды дерлік квазикристалдық құрылымның үлгісі деп санады.

Исфахандағы (Иран) имам Дарб-и храмының порталы.
Мұнда екі гирих жүйесі бір-бірінің үстіне қойылған.

Түркиядағы мешіт ауласынан алынған бағана (шамамен 1200 ж.)
және Ирандағы медресе қабырғалары (1219). Бұл ерте еңбектер
және олар Лу тапқан екі құрылымдық элементті ғана пайдаланады

Енді Гирих пен Пенроуз мозаикасының тарихындағы бірқатар жұмбақтардың жауабын табу керек. Ежелгі математиктер квазикристалдық құрылымдарды қалай және неге ашты? Ортағасырлық арабтар мозаикаға көркемдік мәннен басқа мағына берді ме? Неліктен мұндай қызықты математикалық тұжырымдама жарты мыңжылдықта ұмытылды? Ең қызығы, басқа қандай заманауи жаңалықтар жаңа, шын мәнінде ұмытылған ескі?

Penrose мозаикасы, Penrose плиткалары - жазықтықтың мерзімді емес бөлінуі, периодтық қалыпты құрылымдар, ұшақты екі түрлі ромбтармен қаптау - 72° және 108° бұрыштарымен («қалың ромбтар») және 36° және 144° («қалың ромбтар») жіңішке ромбтар»), сондықтан (пропорциялар «Алтын қатынасқа» бағынады) кез келген көршілес (яғни ортақ жағы бар) екі ромб бірге параллелограмм түзбейді.Роджер Пенроуздың есімімен аталады, ол «теселляция» мәселесіне қызығушылық танытты, яғни жазықтықты бос немесе қабаттаспай бірдей пішіндегі фигуралармен толтыру.

Барлық осындай тақтайшалар бір-біріне периодты емес және жергілікті изоморфты болып табылады (яғни, бір Penrose плиткасының кез келген соңғы фрагменті кез келген басқасында кездеседі). «Өздігінен ұқсастық» - сіз іргелес мозаикалық плиткаларды қайтадан Penrose мозаикасын алатындай етіп біріктіре аласыз.

Екі тақтайшаның әрқайсысына бірнеше сегменттерді салуға болады, осылайша мозаиканы төсеу кезінде осы сегменттердің ұштары теңестіріледі және жазықтықта параллель түзу сызықтардың (Амман жолақтары) бірнеше отбасылары пайда болады.

Көршілес параллель сызықтар арасындағы қашықтық екі түрлі мәнді қабылдайды (және параллель сызықтардың әрбір тобы үшін бұл мәндердің тізбегі өзіне ұқсас).

Саңылаулары бар пенроза плиткалары шектеулі аумақтың фигурасын қоспағанда, бүкіл жазықтықты жабады. Бірнеше (шектік санды) плиткаларды алып тастау арқылы тесікті үлкейту, содан кейін жабылмаған бөлікті толығымен төсеу мүмкін емес.

Мәселе мезгіл-мезгіл қайталанатын үлгіні жасайтын фигуралармен қаптау арқылы шешіледі, бірақ Пенроуз дәл осындай фигураны тапқысы келді, ол жазықтықта плиткамен жабылған кезде қайталанатын үлгілерді жасамайды. Тек мерзімді емес мозаика салуға болатын плиткалар жоқ деп есептелді. Пенроуз әртүрлі пішіндегі көптеген плиткаларды таңдады, соңында барлық үйлесімді қарым-қатынастардың негізінде жатқан «алтын қатынасы» бар олардың екеуі ғана болды. Бұл 108° және 72° бұрыштары бар алмас тәрізді фигуралар. Кейінірек фигуралар «алтын үшбұрыш» принципіне негізделген қарапайым ромб пішініне (36° және 144°) жеңілдетілді.

Алынған үлгілер 5-ші ретті осьтік симметрияға ие квазикристалды пішінге ие. Мозаикалық құрылым Фибоначчи тізбегімен байланысты.
( Википедия)

Пенроза мозаикасы. Ақ нүкте 5-ші ретті айналу симметриясының ортасын белгілейді: оның айналасында 72° айналу мозаиканы өзіне айналдырады.

Тізбектер мен мозаика («Ғылым және өмір» журналы, 2005 ж. No10)

Алдымен келесі идеалдандырылған модельді қарастырайық. Тепе-теңдік күйдегі бөлшектер z тасымалдау осінің бойымен орналасып, геометриялық прогрессия заңына сәйкес өзгеретін айнымалы периоды бар сызықтық тізбекті құрасын:

а = a1·Dn-1,

мұндағы a1 – бөлшектер арасындағы бастапқы период, n – периодтың реттік нөмірі, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… – алтын пропорцияның саны.

Құрастырылған бөлшектер тізбегі ұзақ диапазондағы симметрия тәртібімен бір өлшемді квазикристалдың мысалы ретінде қызмет етеді. Құрылым абсолютті реттелген, бөлшектердің осьте орналасуында жүйелі заңдылық бар – олардың координаталары бір заңмен анықталады. Бұл ретте қайталану мүмкіндігі жоқ – бөлшектер арасындағы периодтар әртүрлі және барлық уақытта артады. Демек, пайда болған бір өлшемді құрылымда трансляциялық симметрия болмайды және бұл бөлшектердің ретсіз орналасуымен (аморфты құрылымдардағы сияқты) емес, көршілес екі периодтың иррационалды қатынасымен (D – иррационал сан) туындайды.

Квазикристалдың қарастырылып отырған бір өлшемді құрылымының логикалық жалғасы екі өлшемді құрылым болып табылады, оны екі түрлі элементтен, екі элементар ұяшықтан тұратын периодты емес мозаикаларды (үлгілерді) тұрғызу әдісімен сипаттауға болады. Бұл мозаиканы 1974 жылы Оксфорд университетінің физик-теоретиктері жасаған. Р.Пенроуз.Ол қабырғалары бірдей екі ромбтың мозаикасын тапты. Тар ромбтың ішкі бұрыштары 36° және 144°, ал кең ромбтың ішкі бұрыштары 72° және 108°.

Бұл ромбтардың бұрыштары алгебралық түрде x2 - x - 1 = 0 теңдеуімен немесе у2 + у - 1 = 0 теңдеуімен өрнектелетін алтын қатынаспен байланысты. Бұл квадрат теңдеулердің түбірлерін тригонометриялық түрде жазуға болады:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Теңдеулердің түбірлерін көрсетудің бұл дәстүрлі емес түрі бұл ромбтарды тар және кең алтын ромбтар деп атауға болатынын көрсетеді.

Пенроуз мозаикасында жазықтық саңылаусыз немесе қабаттаспай алтын ромбтармен жабылған және оны ұзындығы мен ені бойынша шексіз ұзартуға болады. Бірақ шексіз мозаиканы салу үшін кристалды құрайтын бірдей элементар жасушалардың монотонды қайталануынан айтарлықтай ерекшеленетін белгілі бір ережелерді сақтау керек. Егер алтын гауһар тастарды реттеу ережесі бұзылса, біраз уақыттан кейін мозаиканың өсуі тоқтайды, өйткені жойылмайтын сәйкессіздіктер пайда болады.

Пенроуздың шексіз мозаикасында алтын ромбтар қатаң кезеңділіксіз орналасады. Дегенмен, кең алтын гауһарлар санының тар алтын гауһарлар санына қатынасы D = (1 + √5)/2= = 1,6180339… алтын санына тура тең. D саны иррационалды болғандықтан, мұндай мозаикада әрбір түрдегі ромбтардың бүтін саны бар элементар ұяшықты таңдау мүмкін емес, оның аудармасы бүкіл мозаиканы ала алады.

Пенроуз мозаикасының математиканың ойын-сауық объектісі ретінде де өзіндік ерекше сүйкімділігі бар. Бұл мәселенің барлық аспектілерін қарастырмай-ақ, біз тіпті бірінші қадам - ​​мозаика салу - өте қызықты екенін атап өтеміз, өйткені ол назарды, шыдамдылықты және белгілі бір интеллектті қажет етеді. Ал мозаиканы түрлі-түсті етіп жасасаңыз, үлкен шығармашылық пен қиялды көрсете аласыз. Бірден ойынға айналатын бояуды көптеген түпнұсқа тәсілдермен жасауға болады, олардың нұсқалары суреттерде (төменде) берілген. Ақ нүкте мозаиканың ортасын белгілейді, оның айналасында 72° айналуы оны өзіне айналдырады.

Пенроуз мозаикасы - әртүрлі пәндердің қиылысында орналасқан әдемі құрылыстың міндетті түрде өз қолдануын табуының тамаша үлгісі. Егер түйіндік нүктелер атомдармен ауыстырылса, Пенроза мозаикасы екі өлшемді квазикристалдың жақсы аналогы болады, өйткені ол заттың осы күйіне тән көптеген қасиеттерге ие. Және сол себепті.

Біріншіден, мозаиканың құрылысы белгілі бір алгоритм бойынша жүзеге асырылады, нәтижесінде ол кездейсоқ емес, реттелген құрылым болып шығады. Оның кез келген шекті бөлігі мозаика бойына сансыз рет кездеседі.

Екіншіден, мозаикада тура бірдей бағдарлары бар көптеген тұрақты декагондарды ажыратуға болады. Олар квазипериодтық деп аталатын ұзақ мерзімді бағдарлау тәртібін жасайды. Бұл гауһар тастардың орналасуын және салыстырмалы бағдарын өте нақты, анық емес болса да, үйлестіретін алыстағы мозаикалық құрылымдар арасында өзара әрекеттесу бар дегенді білдіреді.

Үшіншіден, кез келген таңдалған бағытқа параллель жақтары бар барлық ромбтарды дәйекті түрде боясаңыз, олар үзік сызықтар қатарын құрайды. Осы сынық сызықтардың бойымен бір-бірінен шамамен бірдей қашықтықта орналасқан түзу параллель сызықтар салуға болады. Осы қасиеттің арқасында біз Пенроуз мозаикасындағы кейбір аудармалық симметрия туралы айтуға болады.

Төртіншіден, дәйекті түрде боялған гауһар тастар 72° еселік бұрыштарда қиылысатын ұқсас параллель сызықтардың бес тобын құрайды. Бұл сынық сызықтардың бағыттары дұрыс бесбұрыштың қабырғаларының бағыттарына сәйкес келеді. Сондықтан Пенроуз мозаикасы белгілі бір дәрежеде 5-ші ретті айналмалы симметрияға ие және бұл мағынада квазикристалға ұқсас.

Қарау саны: 367

«Science» журналының 2007 жылғы ақпан айындағы санында американдық ғалымдар Питер Лу мен Пол Стайнхардттың ортағасырлық ислам сәулет өнері туралы мақаласы шықты, ол бірден ғылыми сенсацияға айналды. Мақала авторларының айтуынша, ортағасырлық кесенелер, мешіттер мен сарайлардың қабырғаларын безендіретін мозаикалық өрнектер ХХ ғасырдың 70-жылдарында ғана Еуропа ғалымдары ашқан математикалық заңдылықтар арқылы жасалған. Осы жерден ортағасырлық сәулетшілер еуропалық әріптестерінен бірнеше ғасырға озып кеткені анық шығады.

Бұл жаңалық, қазіргі ғылымдағы көптеген нәрселер сияқты, толығымен кездейсоқ болды. 2005 жылы Гарвард университетінің аспиранты Питер Лу Өзбекстанға турист ретінде келді. Бұхарадағы Абдоллахан кесенесі қабырғасының декорациясына тамсана отырып, одан кезінде университет қабырғасында оқыған күрделі геометриялық құрылымдардың аналогын көрді. Самарқанның көптеген ою-өрнектеріндегі ғажайып өрнектер оның болжамының дұрыстығын растады. Үйге оралған ол өзінің жаңалығы туралы диссертация жетекшісі, Принстон университетінің профессоры Пол Стайнхардтқа айтып берді.

Өзбекстан, Ауғанстан, Иран, Ирак, Түркия және Үндістандағы ортағасырлық мұсылман сәулет ескерткіштерінің қабырға суреттері мен ою-өрнектерінің құрылымын жан-жақты зерттеу Петр Лу болжамының дұрыстығын дәлелдеп, жоғарыда аталған сенсациялық мақаланың тақырыбына айналды.

Питер Лу мен Пол Штайнхадтың ашқан жаңалығының мәнін түсіну үшін паркет мәселесі, квазикристалдық құрылым, алтын сан және т.б. ұғымдармен танысу керек. Сондықтан презентацияны ретімен бастайық.

Паркет мәселесі және Пенроуз құрылымдары

Математикада саңылаусыз немесе қабаттаспайтын көпбұрыштармен жазықтықты толық толтыру есебі деп аталады. паркеттер. Тіпті ежелгі гректер де бұл мәселені ұшақты дұрыс үшбұрыштармен, шаршылармен және алтыбұрыштармен жабу арқылы оңай шешілетінін білген.

Сонымен қатар, кәдімгі бесбұрыштар паркеттің қарапайым элементтері бола алмайды, өйткені оларды бір-біріне саңылаусыз жазықтықта тығыз орнату мүмкін емес. Осыны жеті-, сегіз-, тоғыз-, он-, т.б. шаршылар. Біртіндеп жазықтықты әртүрлі типтегі және өлшемдегі дұрыс көпбұрыштармен толтыру жолдары ойлап табылды. Мысалы, әртүрлі өлшемдегі төртбұрыштар мен сегізбұрыштарды біріктіру арқылы жазықтықты осылай толтыруға болады:

Бұл мәселенің анағұрлым күрделі дамуы бірнеше полигон түрлерінен тұратын және жазықтықты толығымен жабатын паркет құрылымы мүлдем «тұрақты» немесе «дерлік» мерзімдік болмайтын шарт болды. Ұзақ уақыт бойы бұл мәселенің шешімі жоқ деп есептелді. Дегенмен, өткен ғасырдың 60-шы жылдары ол түпкілікті шешілді, бірақ бұл үшін әртүрлі типтегі мыңдаған көпбұрыштардың жиынтығы қажет болды. Түрлердің саны кезең-кезеңімен қысқарды, ақырында, 70-жылдардың ортасында Оксфорд университетінің профессоры Роджер Пенроуз гауһардың тек екі түрін қолдана отырып, мәселені шешті. Төменде 72 және 36° сүйір бұрыштары бар ромбтармен жазықтықты толтыру квазипериодтық (яғни дерлік мерзімді) нұсқасы көрсетілген. Оларды «қалың» және «жіңішке» алмаздар деп те атайды.

Алмаздарды орналастыру кезінде мерзімді емес үлгіні алу үшін олардың комбинациясы үшін кейбір тривиальды емес ережелерді сақтау керек. Қарапайым болып көрінетін бұл құрылымның өте қызықты қасиеттері бар екені белгілі болды. Мысалы, жіңішке ромбтар санының жуан санына қатынасын алатын болсақ, онда ол әрқашан «алтын қатынас» деп аталатын 1,618-ге тең болып шығады... Өйткені бұл сан «нақты емес» , ал математиктер айтқандай, қисынсыз, құрылым мерзімді емес, дерлік мерзімді болып шығады. Оның үстіне, бұл сан бес бұрышты жұлдызды - идеалды пропорциялары бар геометриялық фигура деп саналатын бесбұрышты құрайтын онбұрыштардың ішіндегі сегменттер арасындағы қатынасты анықтайды. Бөлектелген декагондардың бірдей бағдары бар екенін ескеріңіз, ол Penrose плиткасын құрайтын гауһар тастардың орналасуын үйлестіреді және анықтайды. Бұл таза геометриялық конструкция 1984 жылы ашылған квазикристалдарды сипаттау үшін ең қолайлы математикалық модель болып шыққаны таң қалдырады.

Квазикристалдар дегеніміз не

Ғалымдардың таза қиялының жемісі болған математикалық құрылыстың күтпеген жерден маңызды практикалық қолданыс тапқаны туралы тағы бір қызық оқиғаны баяндау үшін осы бөлімді мақаламызға қостық.

Табиғаттағы барлық заттарды екі түрге бөлуге болады: атомдардың өзара орналасуында заңдылық жоқ аморфты және қатаң реттелген орналасуымен сипатталатын кристалдық. Кристаллография заңдарынан кристалдар үшін бірінші, екінші, үшінші, төртінші және алтыншы ретті симметрия осьтері ғана мүмкін екендігі шығады, яғни. Паркетке ұқсастық бойынша бесінші реттік симметриялы кристалдар табиғатта болуы мүмкін емес. Бұл жағдай көпөлшемді кеңістіктердегі топтардың математикалық теориясының негізінде қатаң түрде дәлелденді. Бірақ табиғат, әдеттегідей, әлдеқайда өнертапқыш болып шықты және 1984 жылы Шехтман тобының жұмысы жарияланды, ол бесінші реттік айналмалы симметриялы алюминий-марганец қорытпасының ашылғаны туралы хабарлады. Кейіннен осы уақытқа дейін белгісіз қасиеттері бар көптеген ұқсас қорытпалар синтезделді. Бұл қорытпалар квазикристалдар деп аталды және қазір материяның аморфты және кристалды формалары арасындағы аралық болып саналады.

Дәл осы жаңалықтың арқасында квазикристалдардың құрылымын модельдеу үшін ең қолайлы құрал болып шыққан Пенроуздың геометриялық құрылысы үлкен танымалдылыққа ие болды және одан әрі дамыды. Сондықтан университет курстарына енгізілген. Қазіргі уақытта Penrose мозаикасының үш өлшемді жалпылауы алынды, ол жұқа және қалың ромбоэдрлерден - алтыбұрышты фигуралардан тұрады, олардың әрқайсысы ромб болып табылады.

Ортағасырлық мозаиканың негізінде қандай геометрия жатыр

Лу мен Штайнхардт 3700-ге жуық мозаикалық плиткаларды талдай келе, 13 ғасырдың басында кесенелерді, мешіттерді және басқа да ғимараттарды бес көпбұрыштың жиынтығынан тұратын мерзімді мозаикалармен безендіру технологиясы, атап айтқанда, он бұрышты, алтыбұрыш және бантик бүкіл мұсылман елдеріне тарады (мақала авторларының терминологиясы), бесбұрыш және ромб. Бұл негізінен бес «мұсылмандық» көпбұрыштар жиынтығын пайдалана отырып, жоғарыда сипатталған паркет мәселесін шешу болды. Мұндай көпбұрыштардан тұратын өрнектер «гиріх» (парсы тілінен - ​​түйін) деп аталады.

Барлық көпбұрыштардың беттерінің өлшемдері бірдей екенін ескеріңіз, бұл оларды кез келген жағынан біріктіруге мүмкіндік береді. Сонымен қатар, әрбір көпбұрышты тақтайшада сәндік сызықтар бар, бірақ олар қатаң геометриялық ережелерге сәйкес сызылады: кез келген екі үлгі сызығы әр жақтың ортасында 72 немесе 108 ° бұрыштармен біріктіріледі, яғни. 36° еселіктері. Бұл бір плиткадан екіншісіне ауысқанда үлгінің тұрақты болуын қамтамасыз етеді.

Мұндай мозаиканы салу үшін сіздің қолыңызда циркуль мен сызғыштың болуы жеткілікті болды. Айтпақшы, американдық ғалымдар ашқанға дейін ортағасырлық шеберлер ғимараттарды безендіру кезінде сызғыш пен циркуль сияқты ең қарапайым құралдарды ғана пайдаланды деп есептелді. Мұның мүлде шындыққа жанаспайтыны енді белгілі болды.

15 ғасыр Тимуридтер билеген елдерде ғылым мен мәдениеттің гүлденуінің ең жасампаз кезеңі болып табылады. Дәл осы кезде ою-өрнек өнерінде сапалы секіріс болды. Ирандағы Дарб-е-Имам кесенесі, Гераттағы қажы Абдулла Ансари мазары және басқа да көптеген зерттелген ескерткіштердің Тимуридтер дәуіріне жататыны осыны растайды.

Осы уақытқа дейін дәстүрге айналған гирих мозаикасы мен «жебе» және «батпырауық» геометриялық фигуралары (тағы да Лу мен Штайнхардт терминологиясында) жасауға мүмкіндік берді.

Пенроза мозаикасын еске түсіретін мерзімді емес үлгілер. Бұдан шығатыны, олар осы уақытқа дейін неғұрлым күрделі құралдарды пайдаланған болуы мүмкін, бірақ 15 ғасырда сәндік техникада тұжырымдамалық секіріс болғаны анық!

Мақала жарияланғаннан кейінгі келесі сұхбаттарында Лу мен Штайнхардт ортағасырлық сәулетшілер өздерінің ашылуының егжей-тегжейлерін қаншалықты түсінетінін айта алмайтынын, бірақ оны Пенроуз құрылымдарының аналогы ретінде қарастыратынын атап өтті. Және олар ашқан нәрселердің кездейсоқ кездейсоқтық болуы мүмкін емес екеніне толық сенімді.

Лирикалық шегіну

Ол орындалды. Мен ата-бабаларымыздың жасаған бұйымдарына қайталанбас сұлулық беретін геометриялық өрнектердің қыр-сырын түсіне білдім және жерлестеріміздің қызығушылығын біршама қанағаттандырады деп сенемін. Әрине, әлдебір наразылық әлі де бар, өйткені мен де Самарқандық ою-өрнектердің сұлулығы мен әсемдігіне жүздеген рет сүйсіндім. Неге бұл ой менің басыма ешқашан келмеді? Мен өзімді ақтау үшін айта аламын, квазипериодтық Penrose құрылымы университет курстарына енгізілген кезде мен өзімнің тар мамандығым бойынша кандидаттық диссертацияммен айналыстым. Ал Питер Лу небәрі 28 жаста және ол университеттегі Пенроуз құрылымдарынан өткен. Әрине, қандай да бір заңдылықтың мүлде күтпеген жерде көрінуін білу және тану – мүлде басқа нәрсе, бірақ ол үшін кем дегенде мұндай заңның бар екенін білу керек.

Бірақ бұл шегініс бұл туралы емес. «Science» журналындағы мақаланың мәнін түсіну үшін екі күн, дәлірек айтсақ, екі ұйқысыз түн қажет болды, бірақ мұны ертерек істемеуімнің себептері, меніңше, терең философиялық мағына бар сияқты. Интернеттен Лу мен Штайнхардттың мақаласы туралы оқығанда, мен бірден геометрия саласындағы маман әріптесіме қоңырау шалдым. Ол не болып жатқанын бірден түсінді, бірақ әуежайға кетер алдында оны ұстап алғанымды айтып, мені ренжітті. Шетелдік іссапардан үш айдан кейін ғана оралатынын білген соң, мен одан кем дегенде Пенроуз құрылымдары туралы оқи алатын кітапты ұсынуын өтіндім. Ол маған кітапты айтып берді және бұл өте күрделі математика және оны қарапайым адамдарға кеңінен түсіндірмей, бәрін тез түсіну екіталай екенін айтты. Көпөлшемді инварианттық кеңістіктер, конъюгаттық иррационалды кеңістіктің факторлық кеңістігі сияқты ұғымдарға толы маған ұсынылған кітапты парақтаған кезде менің ынта-жігерім тез сөніп қалды.

«Жахон» ақпарат агенттігінің хабарынан кейін бұл мәселеге тек ғылыми қауымдастықтың ғана емес, біздің ғылыми қауымның да қызығушылығы қар көшкіні сияқты арта бастады. Ғылым академиясы мен Ұлттық университеттің оқымыстылары арасында, әрине, Ли алгебрасының, топ теориясының, көп өлшемді симметриялардың және т.б. күрделі мәселелерін түсінетін мамандар болды. Бірақ олардың бәрі бірауыздан бұларды халық арасында түсіндіру мүмкін емес деген пікірде болды. Өткенде кенеттен маған болмашы ой келді: Күте тұрыңыз. Бірақ ортағасырлық сәулетшілер мұны қалай ойлап тапты, өйткені оларда қазіргі математиканың ең қуатты аппараты болмады? Мен бұл жолы мен үшін қара орман болып шыққан Пенроуз квазипериодтық құрылымының күрделі математикалық аппараты арқылы емес, ортағасырлық сәулетшілердің жолын ұстануға тырысуды жөн көрдім. Алдымен Лу мен Штайнхардттың түпнұсқа мақаласын интернеттен жүктеп алдым. Олардың әдісі мені таң қалдырды. Өздерінің ашқан жаңалықтарының мәнін түсіндіру үшін олар да дәл осы жолды ұстанды, яғни. ортағасырлық сәулетшілердің концептуалды аппаратын қолдана отырып, «гирих» мозаикасы, «жебе» плиткалары, «батпырауық» және т.б. сияқты қарапайым заттармен жұмыс істеу.

Мұның бәрінің философиялық мәні мынада: табиғаттың (мүмкін, қоғамның) заңдылықтарын түсіну үшін барлығының бірдей жолмен жүруі шарт емес. Адамның ойлауы да көп өлшемді. Шығыстық көзқарас бар, батыстық көзқарас бар. Және олардың әрқайсысы өмір сүруге құқылы және белгілі бір жағдайда күтпеген жерден керісінше тиімдірек болуы мүмкін. Бұл жағдайда осылай болды: Батыс ғылымы тікенді тәжірибенің орасан зор жалпылауы негізінде ашқан нәрсені, Шығыс ғылымы интуиция мен сұлулық сезімі негізінде ашты. Оның нәтижесі де анық: геометрия заңдарын іс жүзінде іс жүзінде жүзеге асыруда шығыс ойшылдары батыстықтардан бес ғасырға озып кетті!

Шухрат Егамбердиев.
Өзбекстан Республикасы Ғылым академиясының астрономиялық институты.

Түрлі-түсті суреттері бар мақаланың толық мәтінін «Фан ва тұрмыс» журналының келесі (мақала 2008 жылы жазылған. ЕО) «Наука и жизнь Узбекистан» санынан табуға болады.

Жобаға қатысушылар

Никифоров Кирилл, 8 сынып оқушысы

Руднева Оксана, 8 сынып оқушысы

Потураева Ксения, 8 сынып оқушысы

Зерттеу тақырыбы

Пенроза мозаикасы

Проблемалық сұрақ

Пенроуз мозаикасы дегеніміз не?

Зерттеу гипотезасы

Ұшақтың периодты емес тесселизациясы бар

Зерттеудің мақсаттары

Пенроуз мозаикасымен танысып, оның неліктен «алтын» мозаика деп аталатынын біліңіз.

Нәтижелер

Пенроза мозаикасы

Жазықтық плиткалары - бұл бүкіл жазықтықты қабаттаспайтын пішіндермен жабу. Математикада саңылаусыз немесе қабаттаспайтын көпбұрыштармен жазықтықты толығымен толтыру мәселесі паркет немесе мозаика деп аталады. Бәлкім, асфальт төсеуге қызығушылық алдымен мозаика, ою-өрнек және басқа да өрнектерді салуға байланысты пайда болды. Тіпті ежелгі гректер де бұл мәселені ұшақты дұрыс үшбұрыштармен, шаршылармен және алтыбұрыштармен жабу арқылы оңай шешілетінін білген.

Ұшақтың бұл тақтайшасы мерзімді деп аталады. Кейінірек біз бірнеше қалыпты көпбұрыштардың комбинациясын қолдана отырып, плиткаларды төсеуді қалай жасау керектігін білдік.

Неғұрлым күрделі міндет «дұрыс» емес немесе «дерлік» мерзімді паркет жасау болды. Ұзақ уақыт бойы бұл мәселенің шешімі жоқ деп есептелді. Дегенмен, өткен ғасырдың 60-шы жылдары ол түпкілікті шешілді, бірақ бұл үшін әртүрлі типтегі мыңдаған көпбұрыштардың жиынтығы қажет болды. Түрлердің саны кезең-кезеңімен қысқарды, ақырында, 1970 жылдардың ортасында Оксфорд университетінің профессоры Роджер Пенроуз, біздің заманымыздың көрнекті ғалымы, математика мен физиканың әртүрлі салаларында белсенді жұмыс істеп, мәселені тек екі түрдің көмегімен шешті. ромбтардан.

Роджер Пенроуз

Біз қазір Пенроуз мозаикасы деп аталатын мұндай мозаиканы салу әдісін зерттедік. Ол үшін дұрыс бесбұрышта (бесбұрыш) диагональдарды сызыңыз. Біз жаңа бесбұрышты және «алтын» деп аталатын тең қабырғалы үшбұрыштардың екі түрін аламыз. Мұндай үшбұрыштардағы жамбастың негізге қатынасы «алтын» пропорцияға тең. Үшбұрыштардағы бұрыштар бірінде 36°, 72° және 72°, екіншісінде 108°, 36° және 36°. Екі бірдей үшбұрышты қосып, «алтын» ромбтарды алайық. Ғалым оларды паркет салуда пайдаланды, ал паркеттің өзі «алтын» деп аталды.

Пенроза мозаикасы

Пенроза мозаикасы келесі қасиеттерге ие:

1. жіңішке ромбтар санының жуан санына қатынасы әрқашан «алтын» деп аталатын 1,618 санына тең...