Szimmetrikus mozaik. Algoritmus Penrose mozaikok készítéséhez – modellek és kvázikristályok. Mozaikok különböző országokból

Algoritmus Penrose mozaikok készítéséhez – modellek és kvázikristályok

Diák
Vlagyimir Állami Egyetem névadója

A. G. és Pedagógiai Intézet,
Fizikai és Matematikai Kar, Vladimir, Oroszország
Email:*****@***com

A kvázikristályok egy viszonylag nemrégiben felfedezett szilárd anyag, a kristályok és az amorf szilárd anyagok közti köztitermék. Előfordulásukat az 1982-ben kísérletileg felfedezett anyagokhoz kötik, amelyek funkcionális Bragg-csúcsokkal és a transzlációs ráccsal összeegyeztethetetlen szimmetriájú diffrakciós mintázatot adnak. Felfedezésükért Dan Shechtman izraeli fizikus és vegyész 2011-ben Nobel-díjat kapott.

A kvázikristályok matematikai modelljeként általában nem periodikus, nagy hatótávolságú pontrendszereket használnak. Az ilyen matematikai kvázikristályok, a fizikaiakkal ellentétben, bármely dimenzióban meghatározhatók.

A kvázikristályok kétdimenziós modellje a Penrose-mozaik, amelyet a matematikusok már a kvázikristályok felfedezése előtt is tanulmányoztak. A Penrose mozaik nem periodikus partíció, hiszen nem alakul át önmagává semmilyen párhuzamos átvitellel - fordítással. Van azonban egy szigorú sorrend, amelyet a partíció felépítésének algoritmusa határoz meg.

Számos megközelítés létezik a matematikai kvázikristályok meghatározására. A legismertebb megközelítés a rácsok magasabb dimenziós terekből alacsonyabb dimenziós terekbe való vetítésén alapul, amit „modellkészleteknek” neveznek. A Penrose csempézésre alkalmazva ezt a megközelítést Baaki-módszernek nevezik.

Ez a módszer a legkényelmesebb a kvázikristályok diffrakciós mintázatának tanulmányozására és elemzésére mind elméleti, mind számítógépes algoritmusok szempontjából. Ezen elemzés alapján további következtetések vonhatók le a kvázikristályok tulajdonságairól.

A Penrose mozaik tulajdonságainak elemzésére egy számítógépes programot írtunk a Baaki algoritmus segítségével, amely szerint az ablakot meghatározzuk https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, ahol .

Beállítja https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , ahol az aranymetszés. Ezután a pontok vetületei a modellkészlet a következő lesz: és ahol https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">. A csúcsokat egy él köti össze, ha a köztük lévő távolság 1. Így a fenti algoritmus segítségével egy Penrose mozaikot készítünk.

Felfedeztük, hogy Baaki módszere nem teljesen pontos, és a kapott partíció nem éppen Penrose partíció, mivel a partíció „extra” csúcsai és élei jelennek meg. Kiderült, hogy ez a konstrukció az ötszögek csúcsaiig és határaiig helyes.

Számítógépes kísérlettel sikerült finomítani a Baaki-módszert, aminek eredményeként egy Penrose-mozaik keletkezett (1. ábra):

1. ábra A Baaki-algoritmus módosításával előállított Penrose mozaik

A fent leírt módszert a Penrose burkolólap létrehozására a Penrose burkolólap gyenge paraméterezésének nevezik.

Van egy másik konstrukciós módszer - a partíció csúcsainak erős paraméterezése, ahol egy adott csúcs paraméterével megkaphatja a szomszédos csúcsok paramétereit. A paraméterek teljes halmaza poligonokra van osztva, amelyek mindegyikében egyedileg definiálható a pont első lokális környezete, valamint egy csillag, amely a pontot a szomszédos pontokkal összekötő vektorokból áll.

1973-ban Roger Penrose angol matematikus egy különleges geometriai formákból álló mozaikot készített, amely Penrose mozaik néven vált ismertté.
A Penrose mozaik két meghatározott alakú (kissé eltérő rombusz) sokszögű lapokból összeállított minta. Egy végtelen síkot tudnak kikövezni hézagok nélkül.

Penrose mozaik az alkotója szerint.
Kétféle rombuszból áll össze,
az egyik 72 fokos, a másik 36 fokos szöggel.
A kép szimmetrikusnak bizonyul, de nem periodikusnak.

A kapott kép úgy néz ki, mintha valamiféle „ritmikus” dísz lenne – egy kép transzlációs szimmetriával. Ez a fajta szimmetria azt jelenti, hogy egy síkon „másolható” mintában kiválaszthatunk egy adott darabot, majd párhuzamos átvitellel (vagyis elforgatás és nagyítás nélkül) kombinálhatjuk egymással ezeket a „duplikációkat”.

Ha azonban alaposan megnézzük, láthatjuk, hogy a Penrose-minta nem rendelkezik ilyen ismétlődő struktúrákkal – aperiodikus. De a lényeg nem egy optikai csalódás, hanem az, hogy a mozaik nem kaotikus: ötödrendű forgási szimmetriája van.

Ez azt jelenti, hogy a kép minimálisan 360 / n fokkal elforgatható, ahol n a szimmetria sorrendje, ebben az esetben n = 5. Ezért a semmit sem változtató elforgatási szögnek többszörösének kell lennie. 360/5 = 72 fok.

Körülbelül egy évtizedig Penrose találmányát nem tartották többnek, mint aranyos matematikai absztrakciónak. Dan Shechtman, az Israel Institute of Technology (Technion) professzora azonban 1984-ben egy alumínium-magnézium ötvözet szerkezetének tanulmányozása közben felfedezte, hogy ennek az anyagnak az atomrácsán diffrakció történik.

A szilárdtestfizikában létező korábbi elképzelések kizárták ezt a lehetőséget: a diffrakciós mintázat szerkezetének ötödrendű szimmetriája van. Részei párhuzamos transzferrel nem kombinálhatók, ami azt jelenti, hogy egyáltalán nem kristály. De a diffrakció a kristályrácsra jellemző! A tudósok egyetértettek abban, hogy ezt a lehetőséget kvázikristályoknak nevezik – valami olyan, mint egy speciális halmazállapot. Nos, a felfedezés szépsége az, hogy egy matematikai modell már régóta készen állt hozzá – a Penrose mozaik.

Nemrég pedig világossá vált, hogy ez a matematikai konstrukció sokkal régebbi, mint azt elképzelni lehetne. 2007-ben Peter J. Lu, a Harvard Egyetem fizikusa egy másik fizikussal, Paul J. Steinhardttal, de a Princeton Egyetemről publikált egy cikket a Science-ben a Penrose mozaikokról. Úgy tűnik, nincs itt semmi váratlan: a kvázikristályok felfedezése élénk érdeklődést váltott ki a téma iránt, ami egy csomó publikáció megjelenéséhez vezetett a tudományos sajtóban.

A munka fénypontja azonban az, hogy nem a modern tudománynak szenteli. És általában - nem tudomány. Peter Lu felhívta a figyelmet a középkorban épült ázsiai mecsetek mintáira. Ezek a könnyen felismerhető minták mozaiklapokból készülnek. Girihi-nek (az arab "csomó" szóból) hívják őket, és az iszlám művészetére jellemző geometrikus kialakítás, amely sokszög alakú formákból áll.

Példa egy 15. századi arab kéziratban bemutatott csempeelrendezésre.
A kutatók színekkel emelték ki az ismétlődő területeket.
Minden geometriai minta erre az öt elemre épül.
középkori arab mesterek. Ismétlődő elemek
nem feltétlenül esnek egybe a csempe határaival.

Az iszlám dísznek két stílusa van: geometrikus - girikh és virágos - islimi.
Girikh(fő) - összetett geometriai minta, amely téglalap- és sokszög alakúra stilizált vonalakból áll. A legtöbb esetben mecsetek külső díszítésére és nagy kiadványokban lévő könyvek díszítésére használják.
Islimi(fő) – a kötőfű és a spirál kombinációjára épülő díszfajta. Stilizált vagy naturalista formában testesíti meg egy folyamatosan fejlődő virágzó lombhajtás gondolatát, és végtelen számú lehetőséget kínál. Legelterjedtebb a ruházatban, a könyvekben, a mecsetek belső dekorációjában és az edényekben.

Az 1306-1315-ös Korán borítója és geometriai töredékek rajza,
amelyen a minta alapul. Ez és a következő példák nem egyeznek
Penrose rácsok, de ötödrendű forgásszimmetria van

Peter Lu felfedezése előtt azt hitték, hogy az ókori építészek vonalzó és iránytű segítségével készítettek giriha mintákat (ha nem is ihlet alapján). Néhány évvel ezelőtt azonban üzbegisztáni utazása során Lou érdeklődni kezdett a helyi középkori építészetet díszítő mozaikminták iránt, és észrevett bennük valami ismerőst. A Harvardra visszatérve a tudós hasonló motívumokat kezdett vizsgálni afganisztáni, iráni, iraki és törökországi középkori épületek falain lévő mozaikokon.

Ez a példa egy későbbi időszakra datálható - 1622-re (indiai mecset).
Ránézve és szerkezetének rajzára nem lehet nem csodálni a kemény munkát
kutatók. És persze maguk a mesterek.

Peter Lu felfedezte, hogy a girikhek geometriai mintái szinte azonosak, és képes volt azonosítani az összes geometriai mintában használt alapvető elemeket. Ezenkívül ősi kéziratokban talált rajzokat ezekről a képekről, amelyeket az ókori művészek egyfajta csalólapként használtak a falak díszítésére.
Ezeknek a mintáknak az elkészítéséhez nem egyszerű, véletlenszerűen kitalált kontúrokat, hanem meghatározott sorrendbe rendezett figurákat használtak. Az ősi mintákról kiderült, hogy Penrose mozaikok pontos konstrukciói!

Ezek a képek ugyanazokat a területeket emelik ki,
bár ezek különféle mecsetekről készült fényképek

Az iszlám hagyományban szigorúan tiltották az ember- és állatábrázolást, így a geometrikus minták igen népszerűvé váltak az épületek tervezésében. A középkori mestereknek valahogy sikerült változatossá tenniük. De senki sem tudta, mi a „stratégiájuk” titka. A titok tehát a speciális mozaikok használatában rejlik, amelyek szimmetrikusak maradnak, de megismétlődés nélkül kitölthetik a síkot.

Ezeknek a képeknek egy másik „trükkje”, hogy az ilyen sémákat a különböző templomokban rajzok szerint „lemásolva” a művészeknek elkerülhetetlenül meg kell engedniük a torzításokat. De az ilyen jellegű jogsértések minimálisak. Ez csak azzal magyarázható, hogy nem volt értelme a nagyméretű rajzoknak: a lényeg az volt, hogy mi alapján építsük fel a képet.

A girikhek összeszereléséhez ötféle csempét használtak (tíz- és ötszögletű rombuszokat és „pillangókat”), amelyeket egymás melletti mozaikba szereltek össze anélkül, hogy szabad hely lenne közöttük. A belőlük készült mozaikok vagy egyszerre rendelkezhettek forgási és transzlációs szimmetriával, vagy csak ötödrendű forgásszimmetriával (azaz Penrose mozaikok voltak).

Az 1304-es iráni mauzóleum díszének töredéke. Jobb oldalon – girikhek rekonstrukciója

A középkori muszlim helyszínekről készült több száz fénykép vizsgálata után Lu és Steinhardt a tendenciát a 13. századra datálhatták. Fokozatosan ez a módszer egyre népszerűbb lett, és a 15. századra elterjedt. A keltezés nagyjából egybeesik a paloták, mecsetek és különböző fontos épületek mázas, színes kerámialapokkal, sokszög alakú díszítésének technikájának fejlődési időszakával. Vagyis a speciális formájú kerámialapokat kifejezetten girikhek számára hozták létre.

A kutatók a szinte ideális kvázikristályos szerkezet példájának tartották Darb-i imám szentélyét az iráni Isfahan városában, 1453-ban.

Darb-i imám szentély portálja Iszfahánban (Irán).
Itt két girikh rendszer van egymásra rakva.

Oszlop egy törökországi mecset udvarából (1200 körül)
és egy iráni medresz falai (1219). Ezek korai művek
és csak két Lu által talált szerkezeti elemet használnak

Most még választ kell találni Girikh és a Penrose mozaikok történetének számos rejtélyére. Hogyan és miért fedezték fel az ókori matematikusok a kvázikristályos szerkezeteket? Adtak-e a középkori arabok a mozaikoknak más jelentést, mint művészi? Miért felejtettek el egy ilyen érdekes matematikai fogalmat fél évezredre? És a legérdekesebb az, hogy milyen új modern felfedezések vannak még, amelyek valójában már elfeledett régiek?

Penrose mozaik, Penrose csempe - a sík nem periodikus felosztása, időszakos szabályos szerkezetek, a sík burkolása kétféle rombuszokkal - 72° és 108° ("vastag rombuszok"), valamint 36° és 144° szögekkel (" vékony rombuszok”), olyanok (az arányokra „aranymetszés” vonatkozik), hogy bármely két szomszédos (vagyis közös oldallal rendelkező) rombusz együtt ne alkotjon paralelogrammát.Roger Penrose-ról nevezték el, akit érdekelt a „tesszelláció”, vagyis egy sík azonos alakú figurákkal való kitöltése hézagok és átfedések nélkül.

Minden ilyen burkolólap nem periodikus és lokálisan izomorf egymással (vagyis az egyik Penrose burkolólap bármely véges töredéke előfordul bármely másikban). „Önhasonlóság” - kombinálhatja a szomszédos mozaiklapokat oly módon, hogy ismét Penrose mozaikot kapjon.

A két csempére több szegmens is rajzolható, így a mozaik kirakásakor ezeknek a szegmenseknek a végei egy vonalba esnek, és több párhuzamos egyenes család (Amman csíkok) alakul ki a síkon.

A szomszédos párhuzamos vonalak közötti távolság pontosan két különböző értéket vesz fel (és minden párhuzamos vonalcsalád esetében ezeknek az értékeknek a sorrendje önhasonló).

A lyukakkal ellátott Penrose burkolólapok az egész síkot lefedik, kivéve egy véges területű alakzatot. A lyukat nem lehet néhány (véges számú) lap eltávolításával nagyítani, majd a fedetlen részt teljesen kikövezni.

A problémát a periodikusan ismétlődő mintát létrehozó figurákkal való burkolással oldják meg, de Penrose éppen egy olyan figurát akart találni, amely síkon csempézve nem hoz létre ismétlődő mintákat. Úgy tartották, hogy nincs olyan csempe, amelyből csak nem időszakos mozaikot lehetne építeni. Penrose sok különböző formájú csempét választott ki, végül csak 2 volt belőlük, amelyek az „aranymetszettel” rendelkeznek, amely minden harmonikus kapcsolat alapja. Ezek rombusz alakú figurák, 108°-os és 72°-os szögekkel. Később az ábrákat egyszerű rombusz alakúvá (36° és 144°) egyszerűsítették, az „arany háromszög” elve alapján.

A kapott minták kvázikristályos alakkal rendelkeznek, amelynek 5. rendű axiális szimmetriája van. A mozaikszerkezet a Fibonacci-szekvenciához kapcsolódik.
( Wikipédia)

Penrose mozaik. A fehér pont az 5. rendű forgásszimmetria középpontját jelöli: a körülötte végzett 72°-os elforgatás a mozaikot önmagává alakítja.

Láncok és mozaikok (Tudomány és Élet folyóirat, 2005 10. sz.)

Nézzük először a következő idealizált modellt. Az egyensúlyi állapotban lévő részecskék a z szállítási tengely mentén helyezkedjenek el, és alkossanak egy változó periódusú, a geometriai progresszió törvénye szerint változó lineáris láncot:

аn = a1 · Dn-1,

ahol a1 a részecskék közötti kezdeti periódus, n a periódus sorszáma, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… az arany arányszáma.

A felépített részecskék lánca egy nagy hatótávolságú szimmetriarenddel rendelkező egydimenziós kvázikristály példájaként szolgál. A szerkezet abszolút rendezett, szisztematikus minta van a részecskék elrendezésében a tengelyen - koordinátáikat egy törvény határozza meg. Ugyanakkor nincs megismételhetőség - a részecskék közötti periódusok eltérőek és folyamatosan nőnek. Ezért az így létrejövő egydimenziós szerkezetnek nincs transzlációs szimmetriája, és ezt nem a részecskék kaotikus elrendezése okozza (mint az amorf struktúrákban), hanem két szomszédos periódus irracionális aránya (D irracionális szám).

A kvázikristály vizsgált egydimenziós szerkezetének logikus folytatása egy kétdimenziós szerkezet, amely két különböző elemből, két elemi cellából álló, nem periodikus mozaikok (mintázatok) szerkesztésének módszerével írható le. Ezt a mozaikot 1974-ben fejlesztette ki az Oxfordi Egyetem elméleti fizikusa. R. Penrose. Talált egy mozaikot két egyenlő oldalú rombuszból. A keskeny rombusz belső szögei 36° és 144°, a széles rombuszé pedig 72° és 108°.

Ezeknek a rombuszoknak a szögei az aranymetszethez kapcsolódnak, amelyet algebrailag az x2 - x - 1 = 0 vagy az y2 + y - 1 = 0 egyenlet fejez ki. Ezen másodfokú egyenletek gyökerei trigonometrikus formában írhatók fel:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Az egyenletgyökök ábrázolásának ez a nem szokványos formája azt mutatja, hogy ezeket a rombuszokat keskeny és széles aranyrombuszoknak is nevezhetjük.

A Penrose mozaikban a síkot rések és átfedések nélkül aranyszínű rombuszokkal borítják, hosszában és szélességében végtelenül bővíthető. De egy végtelen mozaik felépítéséhez bizonyos szabályokat be kell tartani, amelyek jelentősen eltérnek a kristályt alkotó azonos elemi sejtek monoton ismétlődésétől. Ha megsértik az arany gyémántok beállítására vonatkozó szabályt, akkor egy idő után a mozaik növekedése leáll, mivel eltávolíthatatlan következetlenségek jelennek meg.

Penrose végtelen mozaikjában az arany rombuszok szigorú periodicitás nélkül helyezkednek el. A széles arany gyémántok számának aránya a keskeny arany gyémántok számához képest azonban pontosan megegyezik a D = (1 + √5)/2= = 1,6180339… arany számmal. Mivel a D szám irracionális, egy ilyen mozaikban lehetetlen olyan elemi cellát kiválasztani, amelyben minden típusból egész számú rombusz található, és amelynek fordítása a teljes mozaikot megkapná.

A Penrose-mozaiknak a szórakoztató matematika tárgyaként is megvan a maga különleges varázsa. Anélkül, hogy ennek a kérdésnek minden aspektusába belemennénk, megjegyezzük, hogy már az első lépés - egy mozaik építése - meglehetősen érdekes, mivel odafigyelést, türelmet és bizonyos intelligenciát igényel. És sok kreativitást és fantáziát mutathat meg, ha sokszínűvé teszi a mozaikot. A színezés, amely azonnal játékká válik, számos eredeti módon elvégezhető, amelyek variációit a képeken mutatjuk be (lent). A fehér pont a mozaik középpontját jelöli, egy forgás, amely körül 72°-kal önmagába fordítja.

A Penrose mozaik nagyszerű példa arra, hogy a különböző tudományágak metszéspontjában található gyönyörű építmény szükségszerűen megtalálja az alkalmazását. Ha a csomópontokat atomok helyettesítik, a Penrose-mozaik jó analógja lesz egy kétdimenziós kvázikristálynak, mivel számos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek jellemzőek erre az anyagállapotra. És ezért.

Először is, a mozaik felépítése egy bizonyos algoritmus szerint valósul meg, aminek eredményeként kiderül, hogy nem véletlenszerű, hanem rendezett szerkezet. Bármely véges része számtalanszor előfordul a mozaik során.

Másodszor, a mozaikban sok szabályos tízszöget lehet megkülönböztetni, amelyek pontosan azonos orientációjúak. Hosszú távú tájékozódási rendet hoznak létre, amelyet kváziperiodikusnak neveznek. Ez azt jelenti, hogy a távoli mozaikszerkezetek között olyan kölcsönhatás lép fel, amely a gyémántok elhelyezkedését és egymáshoz viszonyított tájolását nagyon sajátos, bár nem egyértelmű módon koordinálja.

Harmadszor, ha szekvenciálisan ráfest minden olyan rombuszra, amelynek oldalai párhuzamosak bármely kiválasztott irányban, szaggatott vonalak sorozatát alkotják. Ezeken a szaggatott vonalakon egyenes párhuzamos vonalakat húzhat egymástól megközelítőleg azonos távolságra. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően a Penrose-mozaikban némi transzlációs szimmetriáról beszélhetünk.

Negyedszer, a szekvenciálisan árnyékolt gyémántok öt hasonló párhuzamos vonalcsaládot alkotnak, amelyek 72°-os többszöröse szögben metszik egymást. Ezen szaggatott vonalak irányai megfelelnek egy szabályos ötszög oldalainak irányainak. Ezért a Penrose-mozaik bizonyos mértékig 5. rendű forgásszimmetriával rendelkezik, és ebben az értelemben hasonlít egy kvázikristályhoz.

Megtekintve: 367

A Science magazin 2007. februári számában Peter Lu és Paul Steinhardt amerikai tudósok cikke jelent meg a középkori iszlám építészetről, amely azonnal tudományos szenzációvá vált. A cikk szerzői szerint a középkori mauzóleumok, mecsetek és paloták falait díszítő mozaikminták olyan matematikai törvények felhasználásával készültek, amelyeket az európai tudósok csak a huszadik század 70-es éveiben fedeztek fel. Ebből egyértelműen az következik, hogy a középkori építészek több évszázaddal megelőzték európai kollégáikat.

Ez a felfedezés, mint sok minden a modern tudományban, teljesen véletlenül történt. 2005-ben a Harvard Egyetem végzős hallgatója, Peter Lu turistaként érkezett Üzbegisztánba. A buharai Abdullakhan mauzóleum faldekorációjában megcsodálva az egyetemen egykor tanult összetett geometriai struktúrák analógját látta benne. A számos szamarkandi dísztárgy bizarr mintázatai csak megerősítették sejtésének helyességét. Hazatérése után témavezetőjének, a Princetoni Egyetem professzorának, Paul Steinhardtnak mesélt felfedezéséről.

Az Üzbegisztánban, Afganisztánban, Iránban, Irakban, Törökországban és Indiában található középkori muszlim építészeti emlékek falfestményeinek és ornamentikájának alapos tanulmányozása megerősítette Peter Lu sejtésének helyességét, és a fent említett szenzációs cikk témája lett.

Ahhoz, hogy megértsük Peter Lu és Paul Steinhadt felfedezésének jelentését, meg kell ismerkedni olyan fogalmakkal, mint a parkettaprobléma, a kvázikristályos szerkezet, az aranyszám stb. Ezért kezdjük sorrendben az előadást.

A parketta probléma és a Penrose szerkezetek

A matematikában a sík sokszögekkel való teljes kitöltésének problémáját hézagok és átfedések nélkül ún. parkettákat. Már az ókori görögök is tudták, hogy ez a probléma könnyen megoldható, ha a síkot szabályos háromszögekkel, négyzetekkel és hatszögekkel borítják.

Ugyanakkor a szabályos ötszögek nem szolgálhatnak a parketta elemi elemeiként, mivel nem illeszthetők szorosan egymáshoz egy síkban, hézagmentesen. Ugyanez mondható el a hét-, nyolc-, kilenc-, tíz- stb. négyzetek. Fokozatosan olyan módszereket találtak ki, amelyek segítségével a síkot különböző típusú és méretű szabályos sokszögekkel lehet kitölteni. Például így tölthet ki egy síkot különböző méretű négyszögek és nyolcszögek kombinálásával:

Ennek a problémának sokkal összetettebb fejleménye volt az a feltétel, hogy a többféle sokszögből álló, a síkot teljesen lefedő parketta szerkezete ne legyen egészen „szabályos” vagy „majdnem” periodikus. Sokáig azt hitték, hogy erre a problémára nincs megoldás. A múlt század 60-as éveiben azonban végül sikerült megoldani, de ehhez több ezer különböző típusú sokszög halmazára volt szükség. Lépésről lépésre csökkent a fajok száma, és végül a 70-es évek közepén az Oxfordi Egyetem professzora, Roger Penrose mindössze kétféle gyémánt felhasználásával oldotta meg a problémát. Az alábbiakban a síkot 72 és 36°-os hegyesszögű rombuszokkal való kváziperiodikus (azaz majdnem periodikus) kitöltésének egy változata látható. Más néven „vastag” és „vékony” gyémánt.

Ahhoz, hogy a gyémántok elrendezése során nem periodikus mintát kapjon, be kell tartania néhány nem triviális szabályt a kombinációjukra. Kiderült, hogy ennek az egyszerűnek tűnő szerkezetnek nagyon érdekes tulajdonságai vannak. Például, ha a vékony rombuszok számának arányát vesszük a vastagok számához, akkor ez mindig egyenlő az úgynevezett „aranymetszővel” 1,618... Mivel ez a szám „nem pontos” , és ahogy a matematikusok mondják, irracionális, a szerkezet kiderül, hogy nem periodikus, hanem majdnem periodikus. Sőt, ez a szám meghatározza az ötágú csillagot - egy pentagramot - alkotó tízszögek belsejében lévő szegmensek közötti kapcsolatot, amelyet ideális arányú geometriai alakzatnak tekintenek. Ne feledje, hogy a kiemelt tízszögek azonos tájolásúak, ami koordinálja és meghatározza a Penrose csempét alkotó gyémántok elrendezését. Elképesztő, hogy ez a tisztán geometriai konstrukció bizonyult a legalkalmasabb matematikai modellnek az 1984-ben felfedezett kvázikristályok leírására.

Mik azok a kvázikristályok

Cikkünkben ezt a részt azért iktattuk be, hogy elmeséljünk egy másik érdekes történetet arról, hogyan talált váratlanul fontos gyakorlati alkalmazásra egy matematikai konstrukció, amely a tudósok tiszta képzeletének gyümölcse volt.

A természetben található összes anyag két típusra osztható: amorf, amelyben nincs szabályosság az atomok kölcsönös elrendezésében, és kristályos, amelyet szigorúan rendezett elrendezésük jellemez. A krisztallográfia törvényeiből az következik, hogy kristályoknál csak az első, második, harmadik, negyedik és hatodrendű szimmetriatengelyek lehetségesek, pl. A parkettához hasonlóan ötödrendű szimmetriájú kristályok nem létezhetnek a természetben. Ezt a körülményt szigorúan bebizonyították a többdimenziós terek csoportjainak matematikai elmélete alapján. De a természet, mint mindig, sokkal találékonyabbnak bizonyult, és 1984-ben megjelent Shekhtman csoportjának munkája, amely ötödrendű forgási szimmetriájú alumínium-mangán ötvözet felfedezéséről számolt be. Ezt követően sok hasonló, eddig ismeretlen tulajdonságú ötvözetet szintetizáltak. Ezeket az ötvözeteket kvázikristályoknak nevezték, és ma az anyag amorf és kristályos formái közötti köztesnek tekintik.

Ennek a felfedezésnek köszönhető, hogy Penrose geometriai konstrukciója, amely a kvázikristályok szerkezetének modellezésére a legalkalmasabb eszköznek bizonyult, nagy népszerűségre tett szert és továbbfejlesztették. És ezért szerepel az egyetemi képzésekben. Jelenleg már elkészült a Penrose-mozaik háromdimenziós általánosítása, amely vékony és vastag romboéderekből - hatszögletű alakzatokból áll, amelyek mindegyik lapja rombusz.

Milyen geometria áll a középkori mozaikok mögött

Körülbelül 3700 mozaiklap elemzése után Lu és Steinhardt arra a következtetésre jutott, hogy a 13. század fordulóján a mauzóleumok, mecsetek és egyéb épületek időszakos mozaikokkal való díszítésének technológiája öt poligonból, nevezetesen egy tízszögből áll, a hatszög és a csokornyakkendő elterjedt a muszlim országokban (a cikk szerzőinek terminológiája), ötszög és rombusz. Ez lényegében a fent leírt parkettaprobléma megoldása volt egy öt „muszlim” sokszögből álló halmaz segítségével. Az ilyen sokszögekből álló mintákat „girikh”-nek (perzsa szóból - csomó) nevezik.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az összes sokszög lapja azonos méretű, ami lehetővé teszi, hogy bármely oldalról összeillessze őket. Ezen kívül minden sokszöglapon vannak díszítő vonalak, de ezeket szigorú geometriai szabályok szerint rajzolják meg: bármelyik két mintavonal mindkét oldal közepén 72 vagy 108°-os szögben összefolyik, pl. 36° többszörösei. Ez biztosítja, hogy a minta konzisztens maradjon, amikor egyik lapkáról a másikra lép.

Egy ilyen mozaik építéséhez elég volt egy iránytű és egy vonalzó a rendelkezésedre. Egyébként az amerikai tudósok felfedezése előtt azt hitték, hogy a középkori mesterek az épületek díszítésekor csak a legegyszerűbb eszközöket, például vonalzót és iránytűt használták. Mára nyilvánvalóvá vált, hogy ez nem teljesen igaz.

A 15. század a tudomány és a kultúra virágzásának legkreatívabb időszaka a Timuridák által uralt országokban. Ebben az időben történt minőségi ugrás a díszítőművészetben. Ezt megerősíti az a tény, hogy számos tanulmányozott emlékmű, mint például Darb-e-Imam mauzóleuma Iránban, Haj Abdullah Ansari sírja Heratban és mások a Timurid-korszakhoz tartoznak.

Az ekkorra már hagyományossá vált girih mozaik, valamint a „nyíl” és a „sárkány” geometriai alakzatok (ismét Lu és Steinhardt terminológiájában) kombinációja lehetővé tette a létrehozását.

a Penrose-mozaikokra emlékeztető nem periodikus minták. Ebből az következik, hogy ekkor már kifinomultabb eszközöket használhattak, de jól látható, hogy a 15. században koncepcionális ugrás történt a díszítési technikák terén!

A cikk megjelenése utáni későbbi interjúkban Lu és Steinhardt megjegyezte, hogy nem tudták megmondani, hogy maguk a középkori építészek mennyire értették meg felfedezésük részleteit, de azt Penrose szerkezeteinek analógjának tekintik. És teljesen biztosak abban, hogy amit felfedeztek, az nem lehet csak véletlen egybeesés.

Lírai kitérő

Ez kész. Sikerült megértenem a geometrikus minták bonyodalmait, amelyek egyedi szépséget adnak őseink alkotásainak, és remélem, valamennyire kielégítem honfitársaink kíváncsiságát. Persze marad némi elégedetlenség, mert én is több százszor csodáltam a szamarkandi díszek szépségét, eleganciáját. Miért nem jutott eszembe soha ez a gondolat? Igazságomra csak annyit mondok, hogy amikor a kváziperiodikus Penrose-struktúra bekerült az egyetemi képzésekbe, már a szűk szakterületemen dolgoztam a PhD-dolgozatomon. Peter Lu pedig még csak 28 éves, és már végigment a Penrose-i struktúrákon az egyetemen. Természetesen egy teljesen váratlan helyen való megnyilvánulásának ismerete és felismerése teljesen más dolog, de ehhez legalább tudnia kell, hogy létezik ilyen törvény.

De ez a kitérő nem erről szól. Két napba, vagy inkább két álmatlan éjszakába telt, hogy megértsem a Science magazin cikkének lényegét, de az okoknak, amiért nem tettem ezt korábban, úgy tűnik, mély filozófiai értelme van. Amikor az interneten olvastam Lu és Steinhardt cikkéről, azonnal felhívtam kollégámat, a geometria szakértőjét. Azonnal megértette, hogy mi történik, de felzaklatott, amikor elmondta, hogy elkaptam, mielőtt elindultam a repülőtérre. Miután megtudtam, hogy csak három hónap múlva tér vissza egy külföldi üzleti útról, megkértem, hogy legalább ajánljon nekem valami könyvet, amelyben olvashatok a Penrose szerkezetekről. Elmesélte nekem a könyvet, és hozzátette, hogy ez egy nagyon összetett matematika, és nem valószínű, hogy mindent gyorsan meg lehet majd érteni, és még kevésbé elmagyarázni a közönséges embereknek. Amikor átlapoztam a nekem ajánlott könyvet, tele olyan fogalmakkal, mint a többdimenziós invariáns terek, a konjugált irracionális tér faktortere, a lelkesedésem hamar elhalványult.

A Jahon hírügynökség beszámolója után lavinaként kezdett nőni a tudományos, és nem csak a tudományos közösség érdeklődése a kérdés iránt. A Tudományos Akadémia és a Nemzeti Egyetem tudós emberei között természetesen voltak olyan szakemberek, akik értik a Lie-algebrák, a csoportelmélet, a többdimenziós szimmetriák stb. összetett kérdéseit. De mindannyian egyetértettek abban, hogy lehetetlen ezeket a dolgokat népiesen megmagyarázni. A minap hirtelen eszembe jutott egy triviális gondolat: Várj. De hogyan jutottak erre a középkori építészek, mert nem rendelkeztek a modern matematika legerősebb apparátusával? Ezúttal úgy döntöttem, hogy ezt nem a számomra sötét erdőnek bizonyult Penrose kváziperiodikus szerkezet bonyolult matematikai apparátusán keresztül próbálom megérteni, hanem a középkori építészek útját követem. Először letöltöttem az internetről Lu és Steinhardt eredeti cikkét. Meglepett a módszerük. Felfedezésük lényegének magyarázatára ők is pontosan ezt az utat járták be, i.e. a középkori építészek fogalmi apparátusát használva, és olyan egyszerű dolgokkal operálva, mint a „girikh” mozaik, „nyíl” csempe, „sárkány” stb.

Mindennek az a filozófiai lényege, hogy a természet (és talán a társadalom) törvényeinek megértéséhez nem szükséges, hogy mindenki ugyanazon az úton járjon. Az emberi gondolkodás is többdimenziós. Van keleti megközelítés, és van nyugati megközelítés. És mindegyiküknek joga van létezni, és egy adott esetben váratlanul hatékonyabbnak bizonyulhat, mint az ellenkezője. Ebben az esetben is ez történt: amit a nyugati tudománynak a tüskés tapasztalatok hatalmas általánosítása alapján sikerült felfedeznie, azt a keleti tudomány az intuíció és a szépérzék alapján. Az eredmények pedig nyilvánvalóak: a geometria törvényeinek gyakorlati megvalósításában a keleti gondolkodók öt évszázaddal megelőzték a nyugatiakat!

Shukhrat Egamberdiev.
Az Üzbég Köztársaság Tudományos Akadémia Csillagászati ​​Intézete.

A cikk teljes szövege színes illusztrációkkal a „Fan va turmush” magazin következő (2008-ban íródott. EU) „Üzbegisztán tudománya és élete” című számában található.

Projekt résztvevői

Nikiforov Kirill, 8. osztályos tanuló

Rudneva Oksana, 8. osztályos tanuló

Poturaeva Ksenia, 8. osztályos tanuló

Kutatási téma

Penrose mozaik

Problémás kérdés

Mi az a Penrose mozaik?

Kutatási hipotézis

A sík nem periodikus tesszellációja van

A vizsgálat céljai

Ismerkedjen meg a Penrose mozaikkal, és tudja meg, miért nevezik „arany” mozaiknak

Eredmények

Penrose mozaik

A síkburkolás a teljes síkot nem átfedő formákkal borítja. A matematikában parkettáknak vagy mozaikoknak nevezik azt a problémát, hogy egy síkot teljesen kitöltenek sokszögekkel, hézagok és átfedések nélkül. Valószínűleg először a mozaikok, díszek és egyéb minták építése kapcsán kelt fel az érdeklődés a térkövezés iránt. Már az ókori görögök is tudták, hogy ez a probléma könnyen megoldható, ha a síkot szabályos háromszögekkel, négyzetekkel és hatszögekkel borítják.

A sík ezen csempézését periodikusnak nevezzük. Később megtanultuk, hogyan kell csempézni több szabályos sokszög kombinációjával.

Nehezebb feladatot jelentett a nem egészen „helyes” vagy „majdnem” időszakos parketta elkészítése. Sokáig azt hitték, hogy erre a problémára nincs megoldás. A múlt század 60-as éveiben azonban végül sikerült megoldani, de ehhez több ezer különböző típusú sokszög halmazára volt szükség. Lépésről lépésre csökkent a fajok száma, és végül az 1970-es évek közepén az Oxfordi Egyetem professzora, Roger Penrose, korunk kiemelkedő tudósa, a matematika és a fizika különböző területein aktívan dolgozott, csak két típus felhasználásával oldotta meg a problémát. rombuszokból.

Roger Penrose

Megvizsgáltunk egy módszert egy ilyen mozaik készítésére, amelyet ma Penrose-mozaiknak neveznek. Ehhez rajzoljon átlókat egy szabályos ötszögbe (ötszög). Kapunk egy új ötszöget és kétféle egyenlő szárú háromszöget, amelyeket „aranynak” nevezünk. Az ilyen háromszögekben a csípő és az alap aránya megegyezik az „arany” arányával. A háromszögek szögei az egyikben 36°, 72° és 72°, a másikban pedig 108°, 36° és 36°. Kössünk össze két egyforma háromszöget, és kapjunk „arany” rombuszokat. A tudós a parketta építésénél használta őket, és magát a parkettát „aranynak” nevezték.

Penrose mozaik

A Penrose mozaik a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. a vékony rombuszok számának aránya a vastagok számához viszonyítva mindig egyenlő az úgynevezett „arany” számmal, 1,618...