প্রতিসম মোজাইক। পেনরোজ মোজাইক তৈরির জন্য অ্যালগরিদম - মডেল এবং কোয়াসিক্রিস্টাল। বিভিন্ন দেশের মোজাইক

পেনরোজ মোজাইক তৈরির জন্য অ্যালগরিদম - মডেল এবং কোয়াসিক্রিস্টাল

ছাত্র
ভ্লাদিমির স্টেট ইউনিভার্সিটির নামকরণ করা হয়েছে

এ.জি. এবং, পেডাগোজিকাল ইনস্টিটিউট,
পদার্থবিদ্যা এবং গণিত অনুষদ, ভ্লাদিমির, রাশিয়া
ইমেইল:*****@****com

Quasicrystals হল তুলনামূলকভাবে সম্প্রতি আবিষ্কৃত ধরনের কঠিন, স্ফটিক এবং নিরাকার কঠিন পদার্থের মধ্যবর্তী। তাদের ঘটনাটি 1982 সালে পরীক্ষামূলকভাবে আবিষ্কৃত পদার্থের সাথে সম্পর্কিত যা কার্যকরী ব্র্যাগ শিখরগুলির সাথে একটি বিচ্ছুরণ প্যাটার্ন দেয় এবং অনুবাদ জালির সাথে বেমানান প্রতিসাম্য দেয়। তাদের আবিষ্কারের জন্য, ইসরায়েলি পদার্থবিদ এবং রসায়নবিদ ড্যান শেচম্যান 2011 সালে নোবেল পুরস্কার পেয়েছিলেন।

দীর্ঘ-সীমার ক্রম সহ অ-পর্যায়ক্রমিক পয়েন্ট সিস্টেমগুলি সাধারণত কোয়াসিক্রিস্টালগুলির গাণিতিক মডেল হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এই ধরনের গাণিতিক quasicrystals, ভৌত থেকে ভিন্ন, যেকোনো মাত্রায় সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

কোয়াসিক্রিস্টালের একটি দ্বি-মাত্রিক মডেল হল পেনরোজ মোজাইক, যা কোয়াসিক্রিস্টাল আবিষ্কারের আগেও গণিতবিদরা অধ্যয়ন করেছিলেন। পেনরোজ মোজাইক একটি পর্যায়ক্রমিক বিভাজন নয়, যেহেতু এটি কোনও সমান্তরাল স্থানান্তর - অনুবাদের দ্বারা নিজের মধ্যে রূপান্তরিত হয় না। যাইহোক, এটিতে একটি কঠোর আদেশ রয়েছে, এই পার্টিশনটি নির্মাণের জন্য অ্যালগরিদম দ্বারা নির্ধারিত।

গাণিতিক quasicrystals সংজ্ঞায়িত করার অনেক পন্থা আছে। সবচেয়ে সুপরিচিত পদ্ধতিটি উচ্চ-মাত্রিক স্থান থেকে নিম্ন-মাত্রিক স্থানগুলিতে জালিগুলিকে প্রজেক্ট করার উপর ভিত্তি করে, যাকে "মডেল সেট" বলা হয়। পেনরোজ টাইলিংয়ের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হলে, এই পদ্ধতিটিকে বাকি পদ্ধতি বলা হয়।

এই পদ্ধতিটি তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ এবং কম্পিউটার অ্যালগরিদমের দৃষ্টিকোণ থেকে উভয় কোয়াসিক্রিস্টালগুলির বিচ্ছুরণ প্যাটার্ন অধ্যয়ন এবং বিশ্লেষণের জন্য সবচেয়ে সুবিধাজনক। এই বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে, quasicrystals এর বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে পরবর্তী উপসংহার টানা যেতে পারে।

পেনরোজ মোজাইকের বৈশিষ্ট্যগুলি বিশ্লেষণ করার জন্য, আমরা বাকি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম লিখেছিলাম, যার ভিত্তিতে উইন্ডোটি নির্ধারণ করা হয় https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, যেখানে।

সেট করে https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , কোথায় গোল্ডেন রেশিও। তারপরে পয়েন্টের অনুমান মডেল সেটটি নিম্নরূপ হবে: এবং যেখানে https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" উচ্চতা="23">। শীর্ষবিন্দুগুলি একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত থাকে যখন তাদের মধ্যে দূরত্ব 1 হয়। এইভাবে, উপরের অ্যালগরিদম ব্যবহার করে একটি পেনরোজ মোজাইক তৈরি করা হয়।

আমরা আবিষ্কার করেছি যে বাকির পদ্ধতি সম্পূর্ণরূপে সঠিক নয় এবং ফলস্বরূপ বিভাজনটি ঠিক একটি পেনরোজ পার্টিশন নয়, যেহেতু পার্টিশনের "অতিরিক্ত" শীর্ষবিন্দু এবং প্রান্তগুলি উপস্থিত হয়। দেখা গেল যে এই নির্মাণটি পেন্টাগনের শীর্ষবিন্দু এবং সীমানা পর্যন্ত সঠিক।

একটি কম্পিউটার পরীক্ষা ব্যবহার করে, বাকি পদ্ধতিকে পরিমার্জন করা সম্ভব হয়েছিল, যার ফলে পেনরোজ মোজাইক (চিত্র 1):

চিত্র.1 পেনরোজ মোজাইক বাকি অ্যালগরিদমের একটি পরিবর্তন ব্যবহার করে প্রাপ্ত

একটি পেনরোজ টাইলিং নির্মাণের জন্য উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটিকে পেনরোজ টাইলিংয়ের দুর্বল প্যারামেট্রিাইজেশন বলা হয়।

আরেকটি নির্মাণ পদ্ধতি রয়েছে - পার্টিশনের শীর্ষবিন্দুগুলির শক্তিশালী প্যারামিটারাইজেশন, যেখানে আপনি একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুর পরামিতি ব্যবহার করে প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুগুলির পরামিতিগুলি পেতে পারেন। পরামিতিগুলির সম্পূর্ণ সেটটি বহুভুজে বিভক্ত, যার প্রতিটিতে বিন্দুর প্রথম স্থানীয় পরিবেশটি স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সেইসাথে প্রতিবেশী বিন্দুর সাথে বিন্দুটিকে সংযুক্তকারী ভেক্টর সমন্বিত একটি তারকা।

1973 সালে, ইংরেজ গণিতবিদ রজার পেনরোজ জ্যামিতিক আকারের একটি বিশেষ মোজাইক তৈরি করেছিলেন, যা পেনরোজ মোজাইক নামে পরিচিত হয়েছিল।
পেনরোজ মোজাইক একটি প্যাটার্ন যা দুটি নির্দিষ্ট আকৃতির (সামান্য ভিন্ন রম্বস) বহুভুজ টাইলস থেকে একত্রিত হয়। তারা ফাঁক ছাড়া একটি অবিরাম সমতল প্রশস্ত করতে পারেন.

পেনরোজ মোজাইক এর স্রষ্টার মতে।
এটি দুটি ধরণের রম্বস থেকে একত্রিত হয়,
একটি 72 ডিগ্রি কোণ সহ, অন্যটি 36 ডিগ্রি কোণ সহ।
ছবিটি প্রতিসম হতে দেখা যাচ্ছে, কিন্তু পর্যায়ক্রমিক নয়।

ফলস্বরূপ চিত্রটি দেখে মনে হচ্ছে এটি এক ধরণের "ছন্দবদ্ধ" অলঙ্কার - অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য সহ একটি ছবি। এই ধরনের প্রতিসাম্যের অর্থ হল আপনি একটি প্যাটার্নে একটি নির্দিষ্ট টুকরা নির্বাচন করতে পারেন যা একটি সমতলে "কপি" করা যেতে পারে, এবং তারপরে সমান্তরাল স্থানান্তর (অন্য কথায়, ঘূর্ণন ছাড়া এবং প্রসারিত ছাড়া) দ্বারা একে অপরের সাথে এই "ডুপ্লিকেটগুলি" একত্রিত করুন।

যাইহোক, আপনি যদি ঘনিষ্ঠভাবে তাকান তবে আপনি দেখতে পাবেন যে পেনরোজ প্যাটার্নে এমন পুনরাবৃত্তিমূলক কাঠামো নেই - এটি অ্যাপিরিওডিক। কিন্তু বিন্দু একটি অপটিক্যাল বিভ্রম নয়, কিন্তু বাস্তব যে মোজাইক বিশৃঙ্খল নয়: এটি পঞ্চম-ক্রম ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্য আছে।

এর মানে হল যে চিত্রটি 360 / n ডিগ্রির সমান একটি সর্বনিম্ন কোণ দ্বারা ঘোরানো যেতে পারে, যেখানে n হল প্রতিসাম্যের ক্রম, এই ক্ষেত্রে n = 5। অতএব, ঘূর্ণন কোণ, যা কিছু পরিবর্তন করে না, অবশ্যই একটি মাল্টিপল হতে হবে 360 / 5 = 72 ডিগ্রি।

প্রায় এক দশক ধরে, পেনরোসের আবিষ্কারকে একটি চতুর গাণিতিক বিমূর্ততা ছাড়া আর কিছুই মনে করা হয়নি। যাইহোক, 1984 সালে, ইজরায়েল ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির (টেকনিওন) অধ্যাপক ড্যান শেচম্যান একটি অ্যালুমিনিয়াম-ম্যাগনেসিয়াম মিশ্রণের গঠন অধ্যয়ন করার সময় আবিষ্কার করেছিলেন যে এই পদার্থের পারমাণবিক জালিতে বিবর্তন ঘটে।

কঠিন অবস্থার পদার্থবিজ্ঞানে বিদ্যমান পূর্ববর্তী ধারণাগুলি এই সম্ভাবনাকে বাদ দিয়েছিল: বিচ্ছুরণ প্যাটার্নের কাঠামোতে পঞ্চম-ক্রম প্রতিসাম্য রয়েছে। এর অংশগুলি সমান্তরাল স্থানান্তর দ্বারা একত্রিত করা যায় না, যার মানে এটি একটি স্ফটিক নয়। কিন্তু বিবর্তন একটি স্ফটিক জালির বৈশিষ্ট্য! বিজ্ঞানীরা সম্মত হয়েছেন যে এই বিকল্পটিকে কোয়াসিক্রিস্টাল বলা হবে - পদার্থের একটি বিশেষ অবস্থার মতো কিছু। ঠিক আছে, আবিষ্কারের সৌন্দর্য হল যে এটির জন্য একটি গাণিতিক মডেল অনেক আগেই প্রস্তুত ছিল - পেনরোজ মোজাইক।

এবং বেশ সম্প্রতি এটি স্পষ্ট হয়ে উঠেছে যে এই গাণিতিক নির্মাণটি কল্পনা করার চেয়ে অনেক পুরানো। 2007 সালে, পিটার জে. লু, হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন পদার্থবিজ্ঞানী, অন্য একজন পদার্থবিদ পল জে. স্টেইনহার্ডের সাথে, কিন্তু প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি থেকে, মোজাইক পেনরোজ নিয়ে বিজ্ঞানে একটি নিবন্ধ প্রকাশ করেছিলেন। দেখে মনে হবে যে এখানে সামান্য অপ্রত্যাশিত আছে: কোয়াসিক্রিস্টালগুলির আবিষ্কার এই বিষয়ে গভীর আগ্রহ আকর্ষণ করেছিল, যা বৈজ্ঞানিক প্রেসে একগুচ্ছ প্রকাশনার উপস্থিতির দিকে পরিচালিত করেছিল।

যাইহোক, কাজের বিশেষত্ব হল যে এটি আধুনিক বিজ্ঞানের জন্য নিবেদিত নয়। এবং সাধারণভাবে - বিজ্ঞান নয়। পিটার লু মধ্যযুগে নির্মিত এশিয়ার মসজিদগুলির নিদর্শনগুলির প্রতি দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিলেন। এই সহজে স্বীকৃত নকশা মোজাইক টাইলস থেকে তৈরি করা হয়. এগুলিকে গিরিহি ("গিঁট" এর আরবি শব্দ থেকে) বলা হয় এবং এটি একটি জ্যামিতিক নকশা যা ইসলামী শিল্পের বৈশিষ্ট্য এবং বহুভুজ আকৃতির সমন্বয়ে গঠিত।

15 শতকের আরবি পাণ্ডুলিপিতে দেখানো টাইল বিন্যাসের একটি উদাহরণ।
গবেষকরা পুনরাবৃত্তি করা অঞ্চলগুলিকে হাইলাইট করতে রং ব্যবহার করেছেন।
সমস্ত জ্যামিতিক নিদর্শন এই পাঁচটি উপাদানের ভিত্তিতে নির্মিত।
মধ্যযুগীয় আরব প্রভুরা। পুনরাবৃত্তি উপাদান
অগত্যা টালি সীমানা সঙ্গে মিলিত না.

ইসলামী অলঙ্কারের দুটি শৈলী রয়েছে: জ্যামিতিক - গিরিখ এবং পুষ্পশোভিত - ইসলামি।
গিরিখ(pers.) - একটি জটিল জ্যামিতিক প্যাটার্ন যা আয়তক্ষেত্রাকার এবং বহুভুজ আকারে স্টাইলাইজ করা লাইন দিয়ে তৈরি। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এটি বড় প্রকাশনাগুলিতে মসজিদ এবং বইগুলির বাহ্যিক সজ্জার জন্য ব্যবহৃত হয়।
ইসলামি(pers.) - বিন্ডউইড এবং সর্পিল সংমিশ্রণে নির্মিত এক ধরনের অলঙ্কার। স্টাইলাইজড বা প্রাকৃতিক আকারে একটি চির-বিকশিত ফুলের পাতার অঙ্কুরের ধারণাকে মূর্ত করে এবং এতে অন্তহীন বিভিন্ন বিকল্প রয়েছে। এটি পোশাক, বই, মসজিদের অভ্যন্তরীণ সজ্জা এবং খাবারের ক্ষেত্রে সর্বাধিক বিস্তৃত।

1306-1315 সালের কোরানের প্রচ্ছদ এবং জ্যামিতিক খণ্ডের অঙ্কন,
যার উপর ভিত্তি করে প্যাটার্ন। এই এবং নিম্নলিখিত উদাহরণ মেলে না
পেনরোজ জালি, কিন্তু পঞ্চম-ক্রম ঘূর্ণন প্রতিসাম্য আছে

পিটার লু-এর আবিষ্কারের আগে, এটি বিশ্বাস করা হয়েছিল যে প্রাচীন স্থপতিরা শাসক এবং কম্পাস ব্যবহার করে গিরিহা নিদর্শন তৈরি করেছিলেন (যদি অনুপ্রেরণা না হয়)। যাইহোক, কয়েক বছর আগে, উজবেকিস্তানে ভ্রমণের সময়, লু স্থানীয় মধ্যযুগীয় স্থাপত্যকে শোভিত মোজাইক নিদর্শনগুলির প্রতি আগ্রহী হয়ে ওঠেন এবং তাদের সম্পর্কে পরিচিত কিছু লক্ষ্য করেছিলেন। হার্ভার্ডে ফিরে, বিজ্ঞানী আফগানিস্তান, ইরান, ইরাক এবং তুরস্কের মধ্যযুগীয় ভবনগুলির দেয়ালে মোজাইকের অনুরূপ মোটিফগুলি পরীক্ষা করতে শুরু করেছিলেন।

এই উদাহরণটি পরবর্তী সময়ের তারিখ - 1622 (ভারতীয় মসজিদ)।
এটি এবং এর কাঠামোর অঙ্কন দেখে, কেউ কঠোর পরিশ্রমের প্রশংসা না করে সাহায্য করতে পারে না
গবেষকরা এবং, অবশ্যই, মাস্টাররা নিজেরাই।

পিটার লু আবিষ্কার করেন যে গিরিখদের জ্যামিতিক নিদর্শন প্রায় অভিন্ন এবং সমস্ত জ্যামিতিক নকশায় ব্যবহৃত মৌলিক উপাদানগুলি সনাক্ত করতে সক্ষম। এছাড়াও, তিনি প্রাচীন পাণ্ডুলিপিগুলিতে এই চিত্রগুলির অঙ্কন খুঁজে পেয়েছেন, যা প্রাচীন শিল্পীরা দেয়াল সাজানোর জন্য এক ধরণের চিট শীট হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন।
এই নিদর্শনগুলি তৈরি করতে, তারা সাধারণ, এলোমেলোভাবে উদ্ভাবিত কনট্যুর ব্যবহার করে না, তবে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানো চিত্রগুলি ব্যবহার করেছিল। প্রাচীন নিদর্শনগুলি পেনরোজ মোজাইকের সঠিক নির্মাণ বলে প্রমাণিত হয়েছে!

এই চিত্রগুলি একই অঞ্চলগুলিকে তুলে ধরে,
যদিও এগুলো বিভিন্ন মসজিদের ছবি

ইসলামিক ঐতিহ্যে, মানুষ এবং প্রাণীদের চিত্রণে কঠোর নিষেধাজ্ঞা ছিল, তাই ভবনের নকশায় জ্যামিতিক প্যাটার্ন খুব জনপ্রিয় হয়ে ওঠে। মধ্যযুগীয় প্রভুরা একরকম এটিকে বৈচিত্র্যময় করতে পেরেছিলেন। কিন্তু তাদের "কৌশল" এর রহস্য কী তা কেউ জানত না। সুতরাং, গোপনীয়তা বিশেষ মোজাইক ব্যবহারে প্রমাণিত হয় যা প্রতিসাম্য থাকা সত্ত্বেও নিজেকে পুনরাবৃত্তি না করে সমতলটি পূরণ করতে পারে।

এই চিত্রগুলির আরেকটি "কৌশল" হল যে, অঙ্কন অনুসারে বিভিন্ন মন্দিরে এই জাতীয় স্কিমগুলিকে "কপি" করে, শিল্পীদের অনিবার্যভাবে বিকৃতির অনুমতি দিতে হবে। কিন্তু এই প্রকৃতির লঙ্ঘন ন্যূনতম। এটি কেবলমাত্র এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে বড় আকারের অঙ্কনের কোনও বিন্দু ছিল না: মূল জিনিসটি ছিল সেই নীতিটি যার দ্বারা ছবি তৈরি করা যায়।

গিরিখদের একত্রিত করার জন্য, পাঁচ ধরনের টাইল ব্যবহার করা হয়েছিল (দশ- এবং পঞ্চভুজ রম্বস এবং "প্রজাপতি"), যা তাদের মধ্যে ফাঁকা জায়গা ছাড়াই একে অপরের সংলগ্ন মোজাইকে একত্রিত হয়েছিল। তাদের থেকে তৈরি মোজাইকগুলির হয় একবারে ঘূর্ণনগত এবং অনুবাদমূলক প্রতিসাম্যতা থাকতে পারে, অথবা শুধুমাত্র পঞ্চম-ক্রমের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য (অর্থাৎ, তারা পেনরোজ মোজাইক ছিল)।

1304 সালের ইরানী সমাধির অলঙ্কারের টুকরো। ডানদিকে - গিরিখদের পুনর্গঠন

মধ্যযুগীয় মুসলিম সাইটগুলির শত শত ফটোগ্রাফ পরীক্ষা করার পর, লু এবং স্টেইনহার্ড 13 শতকের প্রবণতাকে ডেট করতে সক্ষম হন। ধীরে ধীরে এই পদ্ধতিটি ক্রমবর্ধমান জনপ্রিয়তা অর্জন করে এবং 15 শতকের মধ্যে এটি ব্যাপক হয়ে ওঠে। ডেটিংটি মোটামুটিভাবে বিভিন্ন বহুভুজের আকারে চকচকে রঙিন সিরামিক টাইলস দিয়ে প্রাসাদ, মসজিদ এবং বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ ভবন সাজানোর কৌশলের বিকাশের সময়ের সাথে মিলে যায়। অর্থাৎ, বিশেষ আকৃতির সিরামিক টাইলস বিশেষভাবে গিরিখদের জন্য তৈরি করা হয়েছিল।

গবেষকরা ইরানের ইসফাহান শহরের ইমাম দার্ব-ই-এর অভয়ারণ্যকে 1453 সালে তৈরি করাকে প্রায় আদর্শ কোয়াসিক্রিস্টালাইন কাঠামোর উদাহরণ হিসেবে বিবেচনা করেছেন।

ইসফাহানে (ইরান) ইমাম দর্ব-ই-এর মাজারের পোর্টাল।
এখানে গিরিখের দুটি ব্যবস্থা একে অপরের উপর চাপানো হয়েছে।

তুরস্কের একটি মসজিদের আঙিনা থেকে স্তম্ভ (প্রায় 1200)
এবং ইরানের একটি মাদ্রাসার দেয়াল (1219)। এগুলো প্রাথমিক কাজ
এবং তারা লু দ্বারা পাওয়া মাত্র দুটি কাঠামোগত উপাদান ব্যবহার করে

এখন গিরিখ এবং পেনরোজ মোজাইকের ইতিহাসে বেশ কয়েকটি রহস্যের উত্তর খুঁজে পাওয়া বাকি রয়েছে। কিভাবে এবং কেন প্রাচীন গণিতবিদরা quasicrystalline কাঠামো আবিষ্কার করেছিলেন? মধ্যযুগীয় আরবরা কি মোজাইককে শৈল্পিক ছাড়া অন্য কোন অর্থ দিয়েছিল? কেন এমন একটি আকর্ষণীয় গাণিতিক ধারণা অর্ধ সহস্রাব্দের জন্য ভুলে গেল? এবং সবচেয়ে মজার বিষয় হল অন্যান্য আধুনিক আবিষ্কারগুলি কি নতুন, যা আসলে পুরানো ভুলে যাওয়া?

পেনরোজ মোজাইক, পেনরোজ টাইলস - সমতলের অ-পর্যায়ক্রমিক বিভাজন, এপিরিওডিক নিয়মিত কাঠামো, দুটি ধরণের রম্বস সহ সমতলের টাইলিং - 72° এবং 108° ("পুরু রম্বস") এবং 36° এবং 144° (" পাতলা রম্বস"), যেমন (অনুপাতগুলি "গোল্ডেন রেশিও" সাপেক্ষে) যে কোনও দুটি সংলগ্ন (অর্থাৎ একটি সাধারণ দিক থাকা) রম্বস একসাথে একটি সমান্তরালগ্রাম তৈরি করে না।রজার পেনরোজের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি "টেসেলেশন" সমস্যায় আগ্রহী ছিলেন, অর্থাৎ, ফাঁক বা ওভারল্যাপ ছাড়াই একই আকৃতির পরিসংখ্যান দিয়ে একটি সমতল ভরাট করা।

এই ধরনের সমস্ত টাইলিং অ-পর্যায়ক্রমিক এবং স্থানীয়ভাবে একে অপরের সাথে আইসোমরফিক (অর্থাৎ, একটি পেনরোজ টাইলিংয়ের যেকোন সীমিত অংশ অন্য যে কোনওটিতে ঘটে)। "স্ব-সাম্য" - আপনি সংলগ্ন মোজাইক টাইলগুলিকে এমনভাবে একত্রিত করতে পারেন যাতে আপনি আবার একটি পেনরোজ মোজাইক পান।

দুটি টাইলের প্রতিটিতে বেশ কয়েকটি অংশ আঁকা যেতে পারে যাতে মোজাইক স্থাপন করার সময়, এই অংশগুলির প্রান্তগুলি সারিবদ্ধ হয় এবং সমতলে সমান্তরাল সরল রেখার (আম্মান স্ট্রাইপ) বেশ কয়েকটি পরিবার তৈরি হয়।

সংলগ্ন সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব ঠিক দুটি ভিন্ন মান নেয় (এবং সমান্তরাল রেখার প্রতিটি পরিবারের জন্য এই মানগুলির ক্রম স্ব-অনুরূপ)।

ছিদ্রযুক্ত পেনরোজ টাইলিংগুলি সসীম ক্ষেত্রফল ব্যতীত সমগ্র সমতলকে আবৃত করে। কয়েকটি (সীমিত সংখ্যা) টাইলস সরিয়ে গর্তটি বড় করা সম্ভব নয় এবং তারপর সম্পূর্ণভাবে খোলা অংশটি প্রশস্ত করা সম্ভব নয়।

সমস্যাটি এমন চিত্রগুলির সাথে টাইল করার মাধ্যমে সমাধান করা হয় যা একটি পর্যায়ক্রমে পুনরাবৃত্তি করা প্যাটার্ন তৈরি করে, তবে পেনরোজ এমন একটি চিত্র খুঁজে পেতে চেয়েছিলেন যা একটি সমতলে টাইল করা হলে, পুনরাবৃত্তির প্যাটার্ন তৈরি করবে না। এটি বিশ্বাস করা হয়েছিল যে এমন কোনও টাইলস ছিল না যা থেকে শুধুমাত্র অ-পর্যায়ক্রমিক মোজাইক তৈরি করা যেতে পারে। পেনরোজ বিভিন্ন আকারের অনেকগুলি টাইল বেছে নিয়েছিল, শেষ পর্যন্ত তাদের মধ্যে মাত্র 2টি ছিল, যার "সুবর্ণ অনুপাত" ছিল, যা সমস্ত সুরেলা সম্পর্কের অন্তর্গত। এগুলি হীরা-আকৃতির 108° এবং 72° কোণ সহ। পরে, "সোনালী ত্রিভুজ" এর নীতির উপর ভিত্তি করে পরিসংখ্যানগুলিকে একটি সাধারণ রম্বস আকারে (36° এবং 144°) সরলীকৃত করা হয়েছিল।

ফলস্বরূপ নিদর্শনগুলির একটি quasicrystalline আকৃতি রয়েছে যার 5ম ক্রম অক্ষীয় প্রতিসাম্য রয়েছে। মোজাইক গঠন ফিবোনাচি ক্রম সম্পর্কিত।
( উইকিপিডিয়া)

পেনরোজ মোজাইক। সাদা বিন্দুটি 5ম ক্রম ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কেন্দ্রকে চিহ্নিত করে: এটির চারপাশে 72° একটি ঘূর্ণন মোজাইকটিকে নিজের মধ্যে রূপান্তরিত করে।

চেইন এবং মোজাইক (সায়েন্স অ্যান্ড লাইফ ম্যাগাজিন, 2005 নং 10)

আসুন প্রথমে নিম্নলিখিত আদর্শ মডেলটি বিবেচনা করি। একটি ভারসাম্য অবস্থায় থাকা কণাগুলিকে পরিবহন অক্ষ z বরাবর অবস্থিত হতে দিন এবং জ্যামিতিক অগ্রগতির নিয়ম অনুসারে পরিবর্তনশীল সময়কাল সহ একটি রৈখিক চেইন তৈরি করুন:

аn = a1·Dn-1,

যেখানে a1 হল কণার মধ্যে প্রাথমিক পর্যায়, n হল সেই সময়ের ক্রমিক সংখ্যা, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1.6180339… হল সোনালী অনুপাতের সংখ্যা।

কণার নির্মিত চেইন দীর্ঘ-সীমার প্রতিসাম্য ক্রম সহ একটি এক-মাত্রিক কোয়াসিক্রিস্টালের উদাহরণ হিসাবে কাজ করে। কাঠামোটি সম্পূর্ণরূপে আদেশ করা হয়েছে, অক্ষের উপর কণাগুলির বিন্যাসে একটি পদ্ধতিগত প্যাটার্ন রয়েছে - তাদের স্থানাঙ্কগুলি একটি আইন দ্বারা নির্ধারিত হয়। একই সময়ে, কোন পুনরাবৃত্তিযোগ্যতা নেই - কণার মধ্যে সময়কাল ভিন্ন এবং সব সময় বৃদ্ধি পায়। অতএব, ফলস্বরূপ এক-মাত্রিক কাঠামোর অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য নেই, এবং এটি কণার বিশৃঙ্খল বিন্যাস (নিরাকার কাঠামোর মতো) দ্বারা নয়, দুটি সন্নিহিত সময়ের অযৌক্তিক অনুপাতের (D একটি অমূলদ সংখ্যা) দ্বারা সৃষ্ট হয়।

কোয়াসিক্রিস্টালের বিবেচিত এক-মাত্রিক কাঠামোর একটি যৌক্তিক ধারাবাহিকতা হল একটি দ্বি-মাত্রিক কাঠামো, যা দুটি ভিন্ন উপাদান, দুটি প্রাথমিক কোষের সমন্বয়ে অ-পর্যায়ক্রমিক মোজাইক (প্যাটার্ন) নির্মাণের পদ্ধতি দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। এই মোজাইকটি 1974 সালে অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন তাত্ত্বিক পদার্থবিদ দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। আর. পেনরোজ।তিনি সমান বাহু সহ দুটি রম্বসের একটি মোজাইক খুঁজে পেয়েছেন। একটি সরু রম্বসের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি হল 36° এবং 144°, এবং একটি প্রশস্ত রম্বসের - 72° এবং 108°।

এই রম্বসগুলির কোণগুলি সোনালী অনুপাতের সাথে সম্পর্কিত, যা x2 - x - 1 = 0 বা সমীকরণ y2 + y - 1 = 0 দ্বারা বীজগণিতিকভাবে প্রকাশ করা হয়। এই দ্বিঘাত সমীকরণগুলির মূলগুলি ত্রিকোণমিতিক আকারে লেখা যেতে পারে:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°।

সমীকরণের শিকড় উপস্থাপনের এই অপ্রচলিত রূপটি দেখায় যে এই রম্বসগুলিকে সরু এবং প্রশস্ত সোনালী রম্বস বলা যেতে পারে।

পেনরোজ মোজাইকে, সমতলটি ফাঁক বা ওভারল্যাপ ছাড়াই সোনার রম্বস দিয়ে আবৃত থাকে এবং এটি দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থে অসীমভাবে প্রসারিত হতে পারে। কিন্তু একটি অসীম মোজাইক তৈরি করতে, কিছু নিয়ম মেনে চলতে হবে, যা একটি স্ফটিক তৈরিকারী অভিন্ন প্রাথমিক কোষগুলির একঘেয়ে পুনরাবৃত্তি থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা। যদি সোনার হীরা সামঞ্জস্য করার নিয়ম লঙ্ঘন করা হয়, তবে কিছু সময়ের পরে মোজাইকের বৃদ্ধি বন্ধ হয়ে যাবে, কারণ অপসারণযোগ্য অসঙ্গতি প্রদর্শিত হবে।

পেনরোজের অসীম মোজাইকে, সোনার রম্বসগুলি কঠোর পর্যায়ক্রম ছাড়াই সাজানো হয়েছে। যাইহোক, চওড়া সোনার হীরার সংখ্যার সাথে সংকীর্ণ সোনালী হীরার সংখ্যার অনুপাতটি সোনালী সংখ্যা D = (1 + √5)/2= = 1.6180339... এর সমান। যেহেতু D সংখ্যাটি অযৌক্তিক, তাই এই জাতীয় মোজাইকে প্রতিটি ধরণের রম্বসের পূর্ণসংখ্যা সহ একটি প্রাথমিক কোষ নির্বাচন করা অসম্ভব, যার অনুবাদ সম্পূর্ণ মোজাইক পেতে পারে।

পেনরোজ মোজাইকেরও গণিতের বিনোদনের একটি বস্তু হিসাবে নিজস্ব বিশেষ আকর্ষণ রয়েছে। এই সমস্যাটির সমস্ত দিকগুলিতে না গিয়ে, আমরা লক্ষ্য করি যে এমনকি প্রথম পদক্ষেপটি - একটি মোজাইক তৈরি করা - বেশ আকর্ষণীয়, কারণ এটির জন্য মনোযোগ, ধৈর্য এবং একটি নির্দিষ্ট বুদ্ধির প্রয়োজন। এবং আপনি যদি মোজাইকটিকে বহু রঙের করে তোলেন তবে আপনি অনেক সৃজনশীলতা এবং কল্পনা দেখাতে পারেন। রঙ করা, যা অবিলম্বে একটি গেমে পরিণত হয়, অনেকগুলি মূল উপায়ে করা যেতে পারে, যার বৈচিত্রগুলি ছবিতে (নীচে) উপস্থাপিত হয়েছে। সাদা বিন্দুটি মোজাইকের কেন্দ্রকে চিহ্নিত করে, একটি ঘূর্ণন যা 72° দ্বারা এটিকে নিজের মধ্যে পরিণত করে।

পেনরোজ মোজাইক কীভাবে একটি সুন্দর নির্মাণ, বিভিন্ন শাখার সংযোগস্থলে অবস্থিত, অগত্যা তার প্রয়োগ খুঁজে পায় তার একটি দুর্দান্ত উদাহরণ। যদি নোডাল পয়েন্টগুলি পরমাণু দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে পেনরোজ মোজাইক একটি দ্বি-মাত্রিক কোয়াসিক্রিস্টালের একটি ভাল অ্যানালগ হয়ে ওঠে, কারণ এতে পদার্থের এই অবস্থার বৈশিষ্ট্যযুক্ত অনেক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। আর এই কারণে.

প্রথমত, মোজাইক নির্মাণ একটি নির্দিষ্ট অ্যালগরিদম অনুযায়ী প্রয়োগ করা হয়, যার ফলস্বরূপ এটি একটি এলোমেলো নয়, একটি আদেশকৃত কাঠামো হিসাবে পরিণত হয়। এর যে কোনো সীমিত অংশ মোজাইক জুড়ে অসংখ্যবার ঘটে।

দ্বিতীয়ত, মোজাইকে আপনি অনেক নিয়মিত ডেকাগনকে আলাদা করতে পারেন যেগুলির ঠিক একই অভিযোজন রয়েছে। তারা একটি দীর্ঘ-সীমার ওরিয়েন্টেশনাল অর্ডার তৈরি করে, যাকে বলা হয় কোয়াসিপিরিওডিক। এর অর্থ হল দূরবর্তী মোজাইক কাঠামোর মধ্যে একটি মিথস্ক্রিয়া রয়েছে যা হীরাগুলির অবস্থান এবং আপেক্ষিক অভিযোজনকে একটি খুব নির্দিষ্ট, যদিও অস্পষ্ট উপায়ে সমন্বয় করে।

তৃতীয়ত, আপনি যদি ক্রমানুসারে সমস্ত রম্বসের উপর বাহুগুলি দিয়ে যেকোন নির্বাচিত দিকের সমান্তরাল রঙ করেন, তাহলে সেগুলি ভাঙা রেখার একটি সিরিজ তৈরি করবে। এই ভাঙা রেখাগুলি বরাবর, আপনি প্রায় একই দূরত্বে একে অপরের থেকে ব্যবধানে সোজা সমান্তরাল রেখা আঁকতে পারেন। এই সম্পত্তির জন্য ধন্যবাদ, আমরা পেনরোজ মোজাইকের কিছু অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য সম্পর্কে কথা বলতে পারি।

চতুর্থত, ক্রমানুসারে ছায়াযুক্ত হীরা 72° এর গুণিতক কোণে ছেদকারী একই সমান্তরাল রেখার পাঁচটি পরিবার গঠন করে। এই ভাঙা রেখাগুলির দিকনির্দেশগুলি একটি নিয়মিত পেন্টাগনের পাশের দিকগুলির সাথে মিলে যায়। অতএব, পেনরোজ মোজাইকের কিছু পরিমাণে 5ম ক্রমের ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্য রয়েছে এবং এই অর্থে একটি কোয়াসিক্রিস্টালের মতো।

ভিউ: 367

সায়েন্স ম্যাগাজিনের ফেব্রুয়ারি 2007 সংখ্যায়, মধ্যযুগীয় ইসলামিক স্থাপত্যের উপর আমেরিকান বিজ্ঞানী পিটার লু এবং পল স্টেইনহার্ডের একটি নিবন্ধ প্রকাশিত হয়েছিল, যা অবিলম্বে একটি বৈজ্ঞানিক সংবেদন হয়ে ওঠে। নিবন্ধটির লেখকদের মতে, মধ্যযুগীয় সমাধি, মসজিদ এবং প্রাসাদের দেয়াল সাজানোর মোজাইক প্যাটার্নগুলি শুধুমাত্র বিংশ শতাব্দীর 70 এর দশকে ইউরোপীয় বিজ্ঞানীদের দ্বারা আবিষ্কৃত গাণিতিক আইন ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছিল। এখান থেকে, এটি স্পষ্টভাবে অনুসরণ করে যে মধ্যযুগীয় স্থপতিরা তাদের ইউরোপীয় সহকর্মীদের থেকে কয়েক শতাব্দী এগিয়ে ছিলেন।

আধুনিক বিজ্ঞানের অনেক কিছুর মতো এই আবিষ্কারটি সম্পূর্ণ দুর্ঘটনাক্রমে ঘটেছিল। 2005 সালে, হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের স্নাতক ছাত্র পিটার লু একজন পর্যটক হিসেবে উজবেকিস্তানে এসেছিলেন। বুখারার আবদুল্লাহখান সমাধির দেয়াল সজ্জার প্রশংসা করে, তিনি এতে জটিল জ্যামিতিক কাঠামোর একটি অ্যানালগ দেখেছিলেন যা তিনি একবার বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যয়ন করেছিলেন। অসংখ্য সমরকন্দের অলঙ্কারে প্যাটার্নের উদ্ভট রূপ শুধুমাত্র তার অনুমানের সঠিকতা নিশ্চিত করেছে। দেশে ফিরে তিনি তার থিসিস সুপারভাইজার, প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক পল স্টেইনহার্ডকে তার আবিষ্কারের কথা জানান।

উজবেকিস্তান, আফগানিস্তান, ইরান, ইরাক, তুরস্ক এবং ভারতে মধ্যযুগীয় মুসলিম স্থাপত্য নিদর্শনগুলির প্রাচীর চিত্রের গঠন এবং অলঙ্করণের একটি পুঙ্খানুপুঙ্খ অধ্যয়ন পিটার লু-এর অনুমানের সঠিকতা নিশ্চিত করেছে এবং উপরে উল্লিখিত চাঞ্চল্যকর নিবন্ধের বিষয় হয়ে উঠেছে।

পিটার লু এবং পল স্টেইনহাড্টের আবিষ্কারের অর্থ বোঝার জন্য, একজনকে পারকুয়েট সমস্যা, কোয়াসিক্রিস্টালাইন গঠন, গোল্ডেন নম্বর ইত্যাদির মতো ধারণাগুলির সাথে পরিচিত হওয়া উচিত। অতএব, ক্রমানুসারে উপস্থাপনা শুরু করা যাক।

কাঠবাদাম সমস্যা এবং পেনরোজ কাঠামো

গণিতে, ফাঁক বা ওভারল্যাপ ছাড়াই বহুভুজ দিয়ে একটি সমতল সম্পূর্ণভাবে পূরণ করার সমস্যাকে বলা হয় parquets. এমনকি প্রাচীন গ্রীকরাও জানত যে নিয়মিত ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র এবং ষড়ভুজ দিয়ে সমতলকে আচ্ছাদন করে এই সমস্যাটি সহজেই সমাধান করা হয়েছিল।

একই সময়ে, নিয়মিত পেন্টাগনগুলি কাঠের প্রাথমিক উপাদান হিসাবে পরিবেশন করতে পারে না, যেহেতু তারা ফাঁক ছাড়াই সমতলে একে অপরের সাথে শক্তভাবে লাগানো যায় না। সাত-, আট-, নয়-, দশ- ইত্যাদি সম্পর্কেও একই কথা বলা যেতে পারে। বর্গক্ষেত্র ধীরে ধীরে, বিভিন্ন ধরণের এবং আকারের নিয়মিত বহুভুজ দিয়ে সমতলটি পূরণ করার উপায় উদ্ভাবন করা হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, এইভাবে আপনি চতুর্ভুজ এবং বিভিন্ন আকারের অষ্টভুজ একত্রিত করে একটি সমতল পূর্ণ করতে পারেন:

এই সমস্যার একটি আরও জটিল বিকাশ এই শর্ত ছিল যে বিভিন্ন ধরণের বহুভুজ দ্বারা গঠিত এবং সম্পূর্ণরূপে সমতলকে আচ্ছাদিত করা কাঠের কাঠামোটি "নিয়মিত" বা "প্রায়" পর্যায়ক্রমিক হবে না। দীর্ঘদিন ধরে বিশ্বাস করা হয়েছিল যে এই সমস্যার কোন সমাধান নেই। যাইহোক, গত শতাব্দীর 60 এর দশকে এটি অবশেষে সমাধান করা হয়েছিল, তবে এর জন্য বিভিন্ন ধরণের হাজার হাজার বহুভুজের একটি সেট প্রয়োজন। ধাপে ধাপে, প্রজাতির সংখ্যা হ্রাস করা হয়েছিল, এবং অবশেষে, 70-এর দশকের মাঝামাঝি, অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক রজার পেনরোজ শুধুমাত্র দুই ধরনের হীরা ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করেছিলেন। নীচে 72 এবং 36° এর তীব্র কোণ সহ সমতলকে রম্বস দিয়ে ভরাট করা কোয়াসিপিরিওডিক (অর্থাৎ প্রায় পর্যায়ক্রমিক) একটি রূপ দেখানো হয়েছে। এগুলিকে "মোটা" এবং "পাতলা" হীরাও বলা হয়।

হীরা সাজানোর সময় একটি অ-পর্যায়ক্রমিক প্যাটার্ন পেতে, আপনাকে তাদের সংমিশ্রণের জন্য কিছু অ-তুচ্ছ নিয়ম মেনে চলতে হবে। দেখা গেল যে এই আপাতদৃষ্টিতে সহজ কাঠামোর খুব আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা পাতলা রম্বসের সংখ্যার অনুপাতটি পুরু সংখ্যার সাথে নিই, তবে এটি সর্বদা তথাকথিত "সোনালি অনুপাত" 1.618 এর সমান হতে দেখা যায়... যেহেতু এই সংখ্যাটি "সঠিক নয়" , এবং গণিতবিদরা যেমন বলছেন, অযৌক্তিক, গঠনটি পর্যায়ক্রমিক নয়, প্রায় পর্যায়ক্রমিক হতে দেখা যাচ্ছে। তদুপরি, এই সংখ্যাটি ডেকাগনের অভ্যন্তরে থাকা অংশগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করে যা একটি পাঁচ-বিন্দুযুক্ত তারকা তৈরি করে - একটি পেন্টাগ্রাম, যা আদর্শ অনুপাতের সাথে একটি জ্যামিতিক চিত্র হিসাবে বিবেচিত হয়। উল্লেখ্য যে হাইলাইট করা ডেকাগনগুলির একই অভিযোজন রয়েছে, যা পেনরোজ টাইলিং তৈরি করে এমন হীরাগুলির বিন্যাসকে সমন্বয় করে এবং সংজ্ঞায়িত করে। এটি আশ্চর্যজনক যে এই বিশুদ্ধভাবে জ্যামিতিক নির্মাণটি 1984 সালে আবিষ্কৃত কোয়াসিক্রিস্টালগুলি বর্ণনা করার জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত গাণিতিক মডেল হিসাবে পরিণত হয়েছিল।

quasicrystals কি

কীভাবে একটি গাণিতিক নির্মাণ, যা বিজ্ঞানীদের বিশুদ্ধ কল্পনার ফল, অপ্রত্যাশিতভাবে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছিল সে সম্পর্কে আরেকটি আকর্ষণীয় গল্প বলার জন্য আমরা আমাদের নিবন্ধে এই বিভাগটি অন্তর্ভুক্ত করেছি।

প্রকৃতির সমস্ত পদার্থকে দুই প্রকারে বিভক্ত করা যায়: নিরাকার, যেখানে পরমাণুর পারস্পরিক বিন্যাসে কোন নিয়মিততা নেই এবং স্ফটিক, তাদের কঠোরভাবে নির্দেশিত বিন্যাসের দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। ক্রিস্টালোগ্রাফির সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে স্ফটিকগুলির জন্য শুধুমাত্র প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয়, চতুর্থ এবং ষষ্ঠ ক্রমগুলির প্রতিসাম্য অক্ষগুলি সম্ভব, যেমন parquet সঙ্গে সাদৃশ্য দ্বারা, পঞ্চম ক্রম প্রতিসাম্য সঙ্গে স্ফটিক প্রকৃতিতে বিদ্যমান থাকতে পারে না. এই পরিস্থিতিটি বহুমাত্রিক স্থানগুলিতে গোষ্ঠীগুলির গাণিতিক তত্ত্বের ভিত্তিতে কঠোরভাবে প্রমাণিত হয়েছিল। তবে প্রকৃতি, সর্বদা হিসাবে, অনেক বেশি উদ্ভাবক হয়ে উঠেছে এবং 1984 সালে শেখম্যানের গ্রুপের কাজ প্রকাশিত হয়েছিল, যা পঞ্চম-ক্রম ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্য সহ একটি অ্যালুমিনিয়াম-ম্যাঙ্গানিজ খাদ আবিষ্কারের কথা জানিয়েছে। পরবর্তীকালে, এখনও পর্যন্ত অজানা বৈশিষ্ট্য সহ অনেক অনুরূপ অ্যালয় সংশ্লেষিত হয়েছিল। এই সংকর ধাতুগুলিকে বলা হত quasicrystals, এবং এখন পদার্থের নিরাকার এবং স্ফটিক ফর্মগুলির মধ্যে মধ্যবর্তী হিসাবে বিবেচিত হয়।

এই আবিষ্কারের জন্য ধন্যবাদ ছিল যে পেনরোসের জ্যামিতিক নির্মাণ, যা কোয়াসিক্রিস্টালগুলির কাঠামোর মডেলিংয়ের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত হাতিয়ার হিসাবে পরিণত হয়েছিল, এটি দুর্দান্ত জনপ্রিয়তা অর্জন করেছিল এবং আরও বিকশিত হয়েছিল। আর এ কারণেই এটি বিশ্ববিদ্যালয়ের পাঠ্যক্রমের অন্তর্ভুক্ত। বর্তমানে, পেনরোজ মোজাইকের একটি ত্রি-মাত্রিক সাধারণীকরণ ইতিমধ্যে প্রাপ্ত হয়েছে, যা পাতলা এবং পুরু রম্বোহেড্রনগুলির সমন্বয়ে গঠিত - ষড়ভুজাকার চিত্র, যার প্রতিটি মুখ একটি রম্বস।

কি জ্যামিতি মধ্যযুগীয় মোজাইক underlies

প্রায় 3,700টি মোজাইক টাইলস বিশ্লেষণ করার পর, লু এবং স্টেইনহার্ড এই সিদ্ধান্তে উপনীত হন যে 13 শতকের শুরুতে, পাঁচটি বহুভুজের একটি সেট দিয়ে তৈরি সমাধি, মসজিদ এবং অন্যান্য ভবনগুলিকে পর্যায়ক্রমিক মোজাইক দিয়ে সাজানোর প্রযুক্তি, যথা, একটি দশভুজ, একটি ষড়ভুজ, এবং একটি নম টাই, মুসলিম দেশগুলিতে ছড়িয়ে পড়েছিল। (নিবন্ধের লেখকদের পরিভাষা), পঞ্চভুজ এবং রম্বস। এটি মূলত পাঁচটি "মুসলিম" বহুভুজের একটি সেট ব্যবহার করে উপরে বর্ণিত parqueet সমস্যার সমাধান ছিল। এই জাতীয় বহুভুজ দ্বারা গঠিত নিদর্শনগুলিকে "গিরিখ" (ফার্সি থেকে - গিঁট) বলা হয়।

দয়া করে মনে রাখবেন যে সমস্ত বহুভুজের মুখ একই মাত্রা রয়েছে, যা তাদের যে কোনও দিকে যুক্ত হতে দেয়। এছাড়াও, প্রতিটি বহুভুজ টাইলের আলংকারিক রেখা রয়েছে, তবে সেগুলি কঠোর জ্যামিতিক নিয়ম অনুসারে আঁকা হয়: যেকোন দুটি প্যাটার্ন লাইন প্রতিটি বাহুর মাঝখানে 72 বা 108° কোণে একত্রিত হয়, অর্থাৎ 36° এর গুণিতক। এটি নিশ্চিত করে যে আপনি একটি টাইল থেকে অন্য টাইলে যাওয়ার সাথে সাথে প্যাটার্নটি সামঞ্জস্যপূর্ণ থাকে।

এই জাতীয় মোজাইক তৈরি করার জন্য, আপনার নিষ্পত্তিতে একটি কম্পাস এবং একটি শাসক থাকা যথেষ্ট ছিল। যাইহোক, আমেরিকান বিজ্ঞানীদের আবিষ্কারের আগে, এটি বিশ্বাস করা হয়েছিল যে মধ্যযুগীয় প্রভুরা, ভবনগুলির সজ্জা তৈরি করার সময়, শুধুমাত্র শাসক এবং কম্পাসের মতো সহজ সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করেছিলেন। এটি এখন স্পষ্ট হয়ে উঠেছে যে এটি সম্পূর্ণ সত্য নয়।

15 শতক তিমুরিদের শাসিত দেশগুলিতে বিজ্ঞান ও সংস্কৃতির ফুলের সবচেয়ে সৃজনশীল সময়কে চিহ্নিত করে। এই সময়ে অলঙ্কার শিল্পে একটি গুণগত উল্লম্ফন ঘটেছিল। ইরানের দরব-ই-ইমামের সমাধি, হেরাতে হজ আবদুল্লাহ আনসারীর সমাধি এবং অন্যান্য তিমুরিদের যুগের মতো অসংখ্য অধ্যয়ন করা স্মৃতিস্তম্ভের দ্বারা এটি নিশ্চিত করা যায়।

গিরিহ মোজাইকের সংমিশ্রণ, যা এই সময়ের মধ্যে ঐতিহ্যগত হয়ে উঠেছে এবং জ্যামিতিক চিত্র "তীর" এবং "ঘুড়ি" (আবার লু এবং স্টেইনহার্ডের পরিভাষায়) এটি তৈরি করা সম্ভব করেছে।

অ-পর্যায়ক্রমিক নিদর্শন Penrose মোজাইক মনে করিয়ে দেয়। এটি অনুসরণ করে যে তারা এই সময়ের মধ্যে আরও অত্যাধুনিক সরঞ্জাম ব্যবহার করে থাকতে পারে, তবে এটি স্পষ্ট যে 15 শতকে আলংকারিক কৌশলগুলিতে একটি ধারণাগত লাফ ছিল!

নিবন্ধটি প্রকাশের পর পরবর্তী সাক্ষাত্কারে, লু এবং স্টেইনহার্ড উল্লেখ করেছেন যে তারা বলতে পারেননি যে মধ্যযুগীয় স্থপতিরা নিজেরাই তাদের আবিষ্কারের বিশদটি কতটা বুঝতে পেরেছিলেন, তবে তারা এটিকে পেনরোসের কাঠামোর একটি অ্যানালগ হিসাবে দেখেন। এবং তারা নিশ্চিত যে তারা যা আবিষ্কার করেছে তা কিছু এলোমেলো কাকতালীয় হতে পারে না।

লিরিক্যাল ডিগ্রেশন

এটা করা হয়. আমি জ্যামিতিক নিদর্শনগুলির জটিলতাগুলি বুঝতে পেরেছি যা আমাদের পূর্বপুরুষদের সৃষ্টিকে অনন্য সৌন্দর্য দেয় এবং আমি আশা করি কিছুটা হলেও আমাদের দেশবাসীদের কৌতূহলকে সন্তুষ্ট করবে। অবশ্যই, কিছুটা অসন্তোষ থেকে যায়, কারণ আমিও সমরকন্দের অলঙ্কারের সৌন্দর্য এবং কমনীয়তার প্রশংসা করেছি। কেন এই চিন্তা কখনও আমার মনে আসে না? নিজেকে ন্যায্যতা দেওয়ার জন্য, আমি কেবল বলতে পারি যে যখন বিশ্ববিদ্যালয়ের কোর্সে কোয়াসিপিরিওডিক পেনরোজ কাঠামো অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছিল, আমি ইতিমধ্যে আমার সংকীর্ণ বিশেষত্বে আমার পিএইচডি থিসিসে কাজ করছিলাম। এবং পিটার লু মাত্র 28 বছর বয়সী, এবং তিনি ইতিমধ্যে বিশ্ববিদ্যালয়ের পেনরোজ কাঠামোর মধ্য দিয়ে গেছেন। অবশ্যই, একটি সম্পূর্ণ অপ্রত্যাশিত জায়গায় কিছু প্যাটার্নের প্রকাশকে জানা এবং স্বীকৃতি দেওয়া সম্পূর্ণ ভিন্ন জিনিস, কিন্তু এটি করার জন্য, আপনাকে অন্তত জানতে হবে যে এই ধরনের একটি আইন বিদ্যমান।

কিন্তু এই ডিগ্রেশন সম্পর্কে এই কি না. সায়েন্স ম্যাগাজিনের প্রবন্ধের সারমর্ম বুঝতে আমার দুই দিন বা বরং দুই ঘুমহীন রাত লেগেছে, কিন্তু আমি যে কারণে আগে এটা করিনি, তার একটা গভীর দার্শনিক অর্থ মনে হয়। যখন আমি ইন্টারনেটে লু এবং স্টেইনহার্ডের নিবন্ধটি পড়ি, তখন আমি অবিলম্বে আমার সহকর্মী, জ্যামিতি ক্ষেত্রের একজন বিশেষজ্ঞকে ফোন করি। তিনি তৎক্ষণাৎ বুঝতে পারলেন কী ঘটছে, কিন্তু আমাকে বলে যে আমি বিমানবন্দরে যাওয়ার আগে তাকে ধরে ফেলেছিলাম। জানতে পেরে যে তিনি মাত্র তিন মাস পর বিদেশী ব্যবসায়িক সফর থেকে ফিরছেন, আমি তাকে অন্তত আমাকে এমন কিছু বই সুপারিশ করতে বলেছিলাম যাতে আমি পেনরোজ কাঠামো সম্পর্কে পড়তে পারি। তিনি আমাকে বইটি বলেছিলেন এবং যোগ করেছিলেন যে এটি খুব জটিল গণিত এবং এটি অসম্ভব যে এটি দ্রুত সবকিছু বোঝা সম্ভব হবে, সাধারণ মানুষের কাছে এটি জনপ্রিয়ভাবে ব্যাখ্যা করা খুব কম। বহুমাত্রিক অপরিবর্তনীয় স্থান, যৌগিক অযৌক্তিক স্থানের ফ্যাক্টর স্পেস-এর মতো ধারণায় পূর্ণ আমার সুপারিশকৃত বইটি যখন আমি পাতায় পড়ি, তখন আমার উৎসাহ দ্রুত ম্লান হয়ে যায়।

জাহোন নিউজ এজেন্সির প্রতিবেদনের পর এই বিষয়ে আমাদের বৈজ্ঞানিক নয়, বৈজ্ঞানিক মহলের আগ্রহও তুষারপাতের মতো বাড়তে শুরু করেছে। একাডেমি অফ সায়েন্সেস এবং ন্যাশনাল ইউনিভার্সিটির বিজ্ঞ ব্যক্তিদের মধ্যে অবশ্যই এমন বিশেষজ্ঞ ছিলেন যারা লাই বীজগণিত, গোষ্ঠী তত্ত্ব, বহুমাত্রিক প্রতিসাম্য ইত্যাদির জটিল বিষয়গুলি বোঝেন। কিন্তু তারা সকলেই তাদের মতামতে একমত ছিল যে এই বিষয়গুলি জনপ্রিয়ভাবে ব্যাখ্যা করা অসম্ভব। অন্য দিন হঠাৎ একটা তুচ্ছ চিন্তা আমাকে তাড়িত করল: দাঁড়াও। কিন্তু কীভাবে মধ্যযুগীয় স্থপতিরা এটি নিয়ে এসেছেন, কারণ তাদের কাছে আধুনিক গণিতের সবচেয়ে শক্তিশালী যন্ত্রপাতি ছিল না? এবার আমি সিদ্ধান্ত নিয়েছি পেনরোজ কোয়াসিপিরিওডিক কাঠামোর জটিল গাণিতিক যন্ত্রপাতির মাধ্যমে নয়, যা আমার জন্য অন্ধকার বনে পরিণত হয়েছে, বরং মধ্যযুগীয় স্থপতিদের পথ অনুসরণ করার জন্য। প্রথমে, আমি ইন্টারনেট থেকে লু এবং স্টেইনহার্ডের মূল নিবন্ধটি ডাউনলোড করেছি। তাদের পদ্ধতি আমাকে অবাক করেছে। তাদের আবিষ্কারের সারমর্ম ব্যাখ্যা করার জন্য, তারা ঠিক এই পথটিও নিয়েছিল, অর্থাৎ মধ্যযুগীয় স্থপতিদের ধারণাগত যন্ত্রপাতি ব্যবহার করে এবং "গিরিখ" মোজাইক, "তীর" টাইলস, "ঘুড়ি" ইত্যাদির মতো সাধারণ জিনিসগুলির সাথে কাজ করা।

এই সবের দার্শনিক বিষয় হল যে প্রকৃতির (এবং সম্ভবত সমাজের) নিয়মগুলি বোঝার জন্য প্রত্যেকের একই পথ অনুসরণ করা আবশ্যক নয়। মানুষের চিন্তাভাবনাও বহুমাত্রিক। একটি পূর্ব পন্থা আছে, এবং একটি পশ্চিম পদ্ধতি আছে। এবং তাদের প্রত্যেকের অস্তিত্বের অধিকার রয়েছে এবং একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে অপ্রত্যাশিতভাবে বিপরীতের চেয়ে বেশি কার্যকর হতে পারে। এই ক্ষেত্রে যা ঘটেছিল: পাশ্চাত্য বিজ্ঞান কাঁটাযুক্ত অভিজ্ঞতার বিশাল সাধারণীকরণের ভিত্তিতে যা আবিষ্কার করতে পেরেছিল, প্রাচ্য বিজ্ঞান অন্তর্দৃষ্টি এবং সৌন্দর্যের বোধের ভিত্তিতে করেছিল। এবং ফলাফলগুলি সুস্পষ্ট: জ্যামিতির আইনগুলিকে বাস্তবে প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে, প্রাচ্যের চিন্তাবিদরা পশ্চিমাদের থেকে পাঁচ শতাব্দী এগিয়ে ছিলেন!

শুকরাত এগাম্বারদিভ।
উজবেকিস্তান প্রজাতন্ত্রের বিজ্ঞান একাডেমির জ্যোতির্বিদ্যা ইনস্টিটিউট।

রঙিন চিত্র সহ নিবন্ধটির সম্পূর্ণ পাঠ্য পরবর্তীতে পাওয়া যাবে (নিবন্ধটি 2008 সালে লেখা হয়েছিল। ইইউ) ম্যাগাজিনের "ফ্যান ভা টারমাশ" - "উজবেকিস্তানের বিজ্ঞান এবং জীবন" সংখ্যায়।

প্রকল্পের অংশগ্রহণকারীরা

নিকিফোরভ কিরিল, ৮ম শ্রেণীর ছাত্র

রুদনেভা ওকসানা, ৮ম শ্রেণীর ছাত্রী

Poturaeva Ksenia, 8 ম শ্রেণীর ছাত্র

গবেষণা বিষয়ে

পেনরোজ মোজাইক

সমস্যাযুক্ত প্রশ্ন

পেনরোজ মোজাইক কি?

গবেষণা অনুমান

সমতলের একটি অ-পর্যায়ক্রমিক টেসেলেশন আছে

গবেষণার উদ্দেশ্য

পেনরোজ মোজাইকের সাথে পরিচিত হন এবং কেন এটিকে "সোনালি" মোজাইক বলা হয় তা খুঁজে বের করুন

ফলাফল

পেনরোজ মোজাইক

প্লেন টাইলিং অ ওভারল্যাপিং আকার দিয়ে সমগ্র সমতল আবরণ করা হয়. গণিতে, ফাঁক বা ওভারল্যাপ ছাড়াই বহুভুজ দিয়ে একটি সমতলকে সম্পূর্ণরূপে ভরাট করার সমস্যাটিকে প্যারকেট বা মোজাইক বলা হয়। সম্ভবত, মোজাইক, অলঙ্কার এবং অন্যান্য নিদর্শন নির্মাণের সাথে প্রথম পাকা করার আগ্রহ দেখা দেয়। এমনকি প্রাচীন গ্রীকরাও জানত যে নিয়মিত ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র এবং ষড়ভুজ দিয়ে সমতলকে আচ্ছাদন করে এই সমস্যাটি সহজেই সমাধান করা হয়েছিল।

সমতলের এই টাইলিংকে পর্যায়ক্রমিক বলা হয়। পরে আমরা বেশ কয়েকটি নিয়মিত বহুভুজের সংমিশ্রণ ব্যবহার করে কীভাবে টাইলিং করতে হয় তা শিখেছি।

একটি আরও কঠিন কাজ ছিল "সঠিক" বা "প্রায়" পর্যায়ক্রমিক কাঠের তৈরি করা। দীর্ঘদিন ধরে বিশ্বাস করা হয়েছিল যে এই সমস্যার কোন সমাধান নেই। যাইহোক, গত শতাব্দীর 60 এর দশকে এটি অবশেষে সমাধান করা হয়েছিল, তবে এর জন্য বিভিন্ন ধরণের হাজার হাজার বহুভুজের একটি সেট প্রয়োজন। ধাপে ধাপে, প্রজাতির সংখ্যা হ্রাস করা হয়েছিল, এবং অবশেষে, 1970-এর দশকের মাঝামাঝি, অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক রজার পেনরোজ, আমাদের সময়ের একজন অসামান্য বিজ্ঞানী, সক্রিয়ভাবে গণিত এবং পদার্থবিদ্যার বিভিন্ন ক্ষেত্রে কাজ করে, শুধুমাত্র দুটি ধরনের ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করেছিলেন। রম্বস এর

রজার পেনরোজ

আমরা এই ধরনের একটি মোজাইক নির্মাণের জন্য একটি পদ্ধতি তদন্ত করেছি, যাকে এখন পেনরোজ মোজাইক বলা হয়। এটি করার জন্য, একটি নিয়মিত পেন্টাগন (পেন্টাগন) এ তির্যক আঁকুন। আমরা একটি নতুন পঞ্চভুজ এবং দুই ধরনের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ পাই, যাকে "সোনালি" বলা হয়। এই জাতীয় ত্রিভুজগুলির ভিত্তি থেকে নিতম্বের অনুপাত "সোনালি" অনুপাতের সমান। ত্রিভুজের কোণগুলি একটিতে 36°, 72° এবং 72° এবং অন্যটিতে 108°, 36° এবং 36°। আসুন দুটি অভিন্ন ত্রিভুজকে সংযুক্ত করি এবং "সোনালি" রম্বস পাই। বিজ্ঞানী এগুলি কাঠের তৈরিতে ব্যবহার করেছিলেন এবং কাঠের কাঠকে "সোনালি" বলা হত।

পেনরোজ মোজাইক

পেনরোজ মোজাইকের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1. পাতলা রম্বসের সংখ্যা এবং পুরুগুলির সংখ্যার অনুপাত সর্বদা তথাকথিত "সোনালি" সংখ্যা 1.618...