Simmetrik mozaika. Penrose mozaikasının qurulması alqoritmi - modellər və kvazikristallar. Müxtəlif ölkələrdən mozaikalar

Penrose mozaikasının qurulması alqoritmi - modellər və kvazikristallar

tələbə
adına Vladimir Dövlət Universiteti

A. G. və Pedaqoji İnstitutu,
Fizika-riyaziyyat fakültəsi, Vladimir, Rusiya
E-poçt:****@***com

Kvasikristallar nisbətən yaxınlarda aşkar edilmiş bərk növdür, kristallar və amorf bərk cisimlər arasında aralıqdır. Onların meydana gəlməsi 1982-ci ildə eksperimental olaraq kəşf edilmiş, funksional Bragg zirvələri və tərcümə şəbəkəsi ilə uyğun olmayan simmetriya ilə difraksiya nümunəsi verən maddələrlə əlaqələndirilir. Kəşflərinə görə israilli fizik və kimyaçı Dan Şextman 2011-ci ildə Nobel mükafatı aldı.

Kvazikristalların riyazi modelləri kimi adətən uzunmüddətli nizama malik qeyri-dövri nöqtə sistemlərindən istifadə olunur. Belə riyazi kvazikristallar fiziki olanlardan fərqli olaraq istənilən ölçüdə müəyyən edilə bilər.

Kvazikristalın ikiölçülü modeli, hələ kvazikristalların kəşfindən əvvəl riyaziyyatçılar tərəfindən tədqiq edilmiş Penrouz mozaikasıdır. Penrose mozaikası dövri arakəsmə deyil, çünki heç bir paralel köçürmələrlə - tərcümələrlə özünə çevrilmir. Bununla birlikdə, bu bölmənin qurulması alqoritmi ilə müəyyən edilmiş ciddi bir nizam var.

Riyazi kvazikristalları təyin etmək üçün bir çox yanaşma var. Ən məşhur yanaşma, qəfəslərin daha yüksək ölçülü fəzalardan aşağı ölçülü fəzalara proyeksiya edilməsinə əsaslanır ki, bu da “model dəstləri” adlanır. Penrose kirəmitinə tətbiq edildikdə, bu yanaşma Baaki metodu adlanır.

Bu üsul həm nəzəri baxımdan, həm də kompüter alqoritmləri nöqteyi-nəzərindən kvazikristalların difraksiya sxemini öyrənmək və təhlil etmək üçün ən əlverişlidir. Bu təhlil əsasında kvazikristalların xassələri haqqında sonrakı nəticələrə gəlmək olar.

Penrose mozaikasının xüsusiyyətlərini təhlil etmək üçün Baaki alqoritmindən istifadə edərək kompüter proqramı yazdıq, ona görə pəncərə müəyyən edilir https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51" height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, burada .

https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , qızıl nisbət haradadır. Sonra nöqtələrin proyeksiyalarını təyin edir. model dəsti aşağıdakı kimi olacaq : və burada https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">. Təpələr aralarındakı məsafə 1 olduqda kənar ilə birləşdirilir. Beləliklə, yuxarıdakı alqoritmdən istifadə etməklə Penrose mozaikası qurulur.

Biz aşkar etdik ki, Baaki metodu tam dəqiq deyil və nəticədə yaranan bölmə tam olaraq Penrose bölməsi deyil, çünki bölmənin “əlavə” təpələri və kənarları görünür. Məlum oldu ki, bu konstruksiya beşbucaqlıların təpələrinə və sərhədlərinə qədər düzgündür.

Kompüter təcrübəsindən istifadə edərək, Baaki metodunu təkmilləşdirmək mümkün oldu, nəticədə Penrose mozaikası yarandı (şək. 1):

Fig.1 Baaki alqoritminin modifikasiyasından istifadə edərək əldə edilmiş Penrose mozaikası

Penrose kirəmitinin qurulması üçün yuxarıda təsvir edilən üsul Penrose kirəmitinin zəif parametrləşdirilməsi adlanır.

Başqa bir tikinti üsulu var - bölmə təpələrinin güclü parametrləşdirilməsi, burada verilmiş təpənin parametrindən istifadə edərək qonşu təpələrin parametrlərini əldə edə bilərsiniz. Parametrlərin bütün dəsti çoxbucaqlılara bölünür, onların hər birində nöqtənin ilk yerli mühiti unikal şəkildə müəyyən edilir, həmçinin nöqtəni qonşu nöqtələrlə birləşdirən vektorlardan ibarət ulduz.

1973-cü ildə ingilis riyaziyyatçısı Rocer Penrose həndəsi fiqurlardan ibarət xüsusi mozaika yaratdı və bu mozaika Penrouz mozaikası kimi tanındı.
Penrose mozaikası iki xüsusi formanın (bir qədər fərqli romblar) çoxbucaqlı plitələrindən yığılmış naxışdır. Boşluqlar olmadan sonsuz bir müstəvini asfaltlaya bilərlər.

Yaradıcısına görə Penrose mozaikası.
İki növ rombdan yığılmışdır,
biri 72 dərəcə bucaq, digəri 36 dərəcə bucaq ilə.
Şəkil simmetrikdir, lakin dövri deyil.

Yaranan görüntü bir növ "ritmik" ornament kimi görünür - tərcümə simmetriyası olan bir şəkil. Bu simmetriya növü o deməkdir ki, müstəvidə "kopyalana" bilən naxışda müəyyən bir parça seçə və sonra bu "dublikatları" paralel köçürmə ilə bir-biri ilə birləşdirə bilərsiniz (başqa sözlə, fırlanma və böyüdülmədən).

Ancaq diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, Penrose naxışında belə təkrarlanan strukturlar yoxdur - bu, aperiodikdir. Amma məsələ optik illüziya deyil, mozaikanın xaotik olmamasıdır: onun beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyası var.

Bu o deməkdir ki, təsvir 360 / n dərəcəyə bərabər minimum bucaqla fırlana bilər, burada n simmetriya qaydasıdır, bu halda n = 5. Buna görə də heç nəyi dəyişməyən fırlanma bucağı çoxlu olmalıdır. 360/5 = 72 dərəcə.

Təxminən on il ərzində Penrose ixtirası sevimli riyazi abstraksiyadan başqa bir şey hesab edilmirdi. Lakin 1984-cü ildə İsrail Texnologiya İnstitutunun (Technion) professoru Dan Şextman alüminium-maqnezium ərintisinin strukturunu öyrənərkən aşkar etdi ki, bu maddənin atom qəfəsində difraksiya baş verir.

Bərk cisim fizikasında mövcud olan əvvəlki fikirlər bu ehtimalı istisna edirdi: difraksiya nümunəsinin strukturu beşinci dərəcəli simmetriyaya malikdir. Onun hissələri paralel köçürmə ilə birləşdirilə bilməz, yəni o, ümumiyyətlə kristal deyil. Lakin difraksiya kristal qəfəs üçün xarakterikdir! Alimlər razılaşdılar ki, bu variant kvazikristal adlandırılacaq - maddənin xüsusi vəziyyəti kimi bir şey. Yaxşı, kəşfin gözəlliyi ondadır ki, onun üçün riyazi model çoxdan hazır idi - Penrose mozaikası.

Və bu yaxınlarda məlum oldu ki, bu riyazi konstruksiya təsəvvür ediləndən daha qədimdir. 2007-ci ildə Harvard Universitetindən olan fizik Peter J. Lu başqa bir fizik Paul J. Steinhardt ilə birlikdə, lakin Prinston Universitetindən, Science jurnalında Penrose mozaikasına dair məqalə dərc etdi. Burada gözlənilməz bir şey olmadığı görünür: kvazikristalların kəşfi bu mövzuya böyük maraq göstərdi və bu, elmi mətbuatda bir dəstə nəşrin meydana çıxmasına səbəb oldu.

Lakin əsərin diqqət çəkən cəhəti onun müasir elmə həsr edilməməsidir. Və ümumiyyətlə - elm deyil. Peter Lu orta əsrlərdə tikilmiş Asiyada məscidləri əhatə edən naxışlara diqqət çəkib. Bu asanlıqla tanınan dizaynlar mozaik plitələrdən hazırlanır. Onlar girihi (ərəbcə “düyün” sözündəndir) adlanır və İslam incəsənətinə xas olan və çoxbucaqlı formalardan ibarət həndəsi dizayndır.

15-ci əsr ərəb əlyazmasında göstərilən kafel planının nümunəsi.
Tədqiqatçılar təkrarlanan sahələri vurğulamaq üçün rənglərdən istifadə ediblər.
Bütün həndəsi naxışlar bu beş element əsasında qurulur.
orta əsr ərəb ustaları. Təkrarlanan elementlər
mütləq kafel sərhədləri ilə üst-üstə düşmür.

İslam ornamentində iki üslub var: həndəsi - girix və nəbati - islimi.
Girikh(pers.) - düzbucaqlı və çoxbucaqlı formalara stilləşdirilmiş xətlərdən ibarət mürəkkəb həndəsi naxış. Əksər hallarda məscidlərin xarici bəzədilməsi və böyük nəşrlərdəki kitablar üçün istifadə olunur.
islimi(pers.) – bindweed və spiral birləşməsi üzərində qurulan ornament növü. Stilize və ya naturalistik formada daim inkişaf edən çiçəkli yarpaq tumurcuqları ideyasını təcəssüm etdirir və sonsuz çeşidli seçimləri ehtiva edir. Ən çox geyimdə, kitablarda, məscidlərin daxili bəzəyində, qab-qacaqda geniş yayılmışdır.

1306-1315-ci illərə aid Quranın üz qabığı və həndəsi fraqmentlərin təsviri,
nümunənin əsaslandığı. Bu və aşağıdakı nümunələr uyğun gəlmir
Penrose qəfəsləri, lakin beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyasına malikdir

Piter Lunun kəşfindən əvvəl qədim memarların hökmdar və kompasdan istifadə edərək (ilhamla deyilsə) giriha naxışları yaratdıqlarına inanılırdı. Ancaq bir neçə il əvvəl Özbəkistanda səyahət edərkən Lou yerli orta əsr memarlığını bəzəyən mozaika naxışları ilə maraqlandı və onlar haqqında tanış bir şey gördü. Harvarda qayıdan alim Əfqanıstan, İran, İraq və Türkiyədə orta əsrlərə aid tikililərin divarlarında mozaikalarda oxşar motivləri tədqiq etməyə başlayıb.

Bu nümunə sonrakı dövrə - 1622-ci ilə (Hind məscidi) aiddir.
Ona və konstruksiyasının cizgilərinə baxanda zəhmətə heyran olmamaq olmur
tədqiqatçılar. Və əlbəttə ki, ustaların özləri.

Peter Lu girixlərin həndəsi naxışlarının demək olar ki, eyni olduğunu kəşf etdi və bütün həndəsi dizaynlarda istifadə olunan əsas elementləri müəyyən edə bildi. Bundan əlavə, o, qədim rəssamların divarları bəzəmək üçün bir növ fırıldaqçı vərəq kimi istifadə etdiyi qədim əlyazmalarda bu təsvirlərin təsvirlərini tapdı.
Bu naxışları yaratmaq üçün onlar sadə, təsadüfi icad edilmiş konturlardan deyil, müəyyən ardıcıllıqla düzülmüş fiqurlardan istifadə ediblər. Qədim naxışlar Penrose mozaikasının dəqiq konstruksiyaları olduğu ortaya çıxdı!

Bu şəkillər eyni sahələri vurğulayır,
Baxmayaraq ki, bunlar müxtəlif məscidlərdən fotoşəkillərdir

İslam ənənəsində insanların və heyvanların təsvirinə ciddi qadağalar var idi, buna görə də binaların dizaynında həndəsi naxışlar çox populyarlaşdı. Orta əsr ustaları birtəhər onu müxtəlifləşdirməyi bacardılar. Amma heç kim onların “strategiyasının” sirrinin nə olduğunu bilmirdi. Beləliklə, sirr simmetrik qalaraq, özünü təkrarlamadan təyyarəni doldura bilən xüsusi mozaikaların istifadəsində olduğu ortaya çıxır.

Bu təsvirlərin başqa bir “hiyləsi” ondan ibarətdir ki, müxtəlif məbədlərdə belə sxemləri çertyojlara uyğun “kopyalayaraq” rəssamlar istər-istəməz təhriflərə yol verməli olacaqlar. Ancaq bu təbiət pozuntuları minimaldır. Bu, yalnız geniş miqyaslı rəsmlərdə heç bir məna olmadığı ilə izah edilə bilər: əsas odur ki, şəklin qurulması prinsipi idi.

Girixləri yığmaq üçün aralarında boş yer qalmadan bir-birinə bitişik mozaika şəklində yığılmış beş növ plitələr (on və beşbucaqlı romblar və "kəpənəklər") istifadə edilmişdir. Onlardan yaradılan mozaikalar həm fırlanma, həm də tərcümə simmetriyasına malik ola bilər, ya da yalnız beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyasına malik ola bilərdi (yəni Penrose mozaikaları idi).

1304-cü il İran məqbərəsinin ornamentinin fraqmenti. Sağda – girixlərin yenidən qurulması

Lu və Steinhardt orta əsr müsəlman yerlərinin yüzlərlə fotoşəkilini araşdırdıqdan sonra bu tendensiyanın 13-cü əsrə aid olduğunu müəyyən edə bildilər. Tədricən bu üsul getdikcə populyarlıq qazandı və 15-ci əsrə qədər geniş yayıldı. Bu tarix təxminən sarayların, məscidlərin və müxtəlif mühüm tikililərin müxtəlif poliqonlar şəklində şirli rəngli keramik plitələrlə bəzədilməsi texnikasının inkişaf dövrünə təsadüf edir. Yəni xüsusi formalı keramik plitələr xüsusi olaraq girixlər üçün yaradılmışdır.

Tədqiqatçılar İranın İsfahan şəhərində 1453-cü ilə aid İmam Dərbi-i ziyarətgahını demək olar ki, ideal kvazkristal quruluşa nümunə hesab ediblər.

İsfahanda (İran) İmam Dərb-i hərəminin portalı.
Burada iki girix sistemi bir-birinin üstünə qoyulur.

Türkiyədə bir məscidin həyətindən sütun (təxminən 1200)
və İranda mədrəsənin divarları (1219). Bunlar ilkin əsərlərdir
və Lu tərəfindən tapılan yalnız iki struktur elementdən istifadə edirlər

İndi Girikx və Penrose mozaikasının tarixinin bir sıra sirlərinə cavab tapmaq qalır. Qədim riyaziyyatçılar kvazikristal strukturları necə və nə üçün kəşf etdilər? Orta əsr ərəbləri mozaikaya bədii mənadan başqa bir məna veriblərmi? Niyə belə maraqlı riyazi anlayış yarım minillik ərzində unudulub? Ən maraqlısı isə odur ki, başqa hansı müasir kəşflər yenidir, əslində yaxşı unudulmuş köhnədir?

Penrose mozaikası, Penrose plitələr - təyyarənin dövri olmayan bölünməsi, aperiodik nizamlı strukturlar, təyyarənin iki növ romb ilə döşənməsi - 72 ° və 108 ° bucaqları ilə (“qalın romblar”) və 36 ° və 144 ° (“qalın romblar”) nazik romblar”), elə (nisbətlər “Qızıl nisbət”ə tabedir) ki, hər hansı iki qonşu (yəni ümumi tərəfi olan) romb birlikdə paraleloqram yaratmasın.Adını "mozalama" problemi ilə maraqlanan Roger Penrose, yəni boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmadan eyni formalı fiqurlarla doldurmaq idi.

Bütün bu cür plitələr qeyri-periodikdir və bir-birinə lokal olaraq izomorfdur (yəni bir Penrose plitəsinin istənilən sonlu fraqmenti hər hansı digərində baş verir). "Özünə bənzərlik" - bitişik mozaika plitələrini yenidən Penrose mozaikasını əldə edəcək şəkildə birləşdirə bilərsiniz.

İki plitənin hər birinə bir neçə seqment çəkilə bilər ki, mozaika düzülərkən bu seqmentlərin ucları düzlənsin və müstəvidə bir neçə paralel düz xətlər (Amman zolaqları) ailəsi yaransın.

Qonşu paralel xətlər arasındakı məsafələr tam olaraq iki fərqli dəyər alır (və paralel xətlərin hər bir ailəsi üçün bu dəyərlərin ardıcıllığı özünə bənzəyir).

Delikləri olan Penrose plitələr, sonlu sahənin rəqəmi istisna olmaqla, bütün müstəvini əhatə edir. Bir neçə (sonlu sayda) plitələr çıxararaq çuxuru böyütmək və sonra örtülməyən hissəni tamamilə asfaltlamaq mümkün deyil.

Problem vaxtaşırı təkrarlanan naxış yaradan fiqurlarla kafel vurmaqla həll edilir, lakin Penrose elə bir fiqur tapmaq istəyirdi ki, təyyarədə kirəmitlə döşəndikdə təkrarlanan naxışlar yaratmasın. Yalnız dövri olmayan mozaikaların tikilə biləcəyi plitələrin olmadığına inanılırdı. Penrose müxtəlif formalı çoxlu plitələr seçdi, nəticədə bütün ahəngdar münasibətlərin əsasını təşkil edən "qızıl nisbət" olan yalnız 2-si var idi. Bunlar 108° və 72° bucaqları olan almaz formalı fiqurlardır. Daha sonra fiqurlar “qızıl üçbucaq” prinsipi əsasında sadə romb formasına (36° və 144°) sadələşdirilib.

Yaranan nümunələr 5-ci dərəcəli ox simmetriyasına malik olan kvazikristal formaya malikdir. Mozaika quruluşu Fibonaççi ardıcıllığı ilə bağlıdır.
( Vikipediya)

Penrose mozaikası. Ağ nöqtə 5-ci dərəcəli fırlanma simmetriyasının mərkəzini qeyd edir: onun ətrafında 72° fırlanma mozaikanı özünə çevirir.

Zəncirlər və mozaika (Elm və həyat jurnalı, 2005, № 10)

Əvvəlcə aşağıdakı ideallaşdırılmış modeli nəzərdən keçirək. Qoy tarazlıq vəziyyətində olan hissəciklər nəql oxu z boyunca yerləşsinlər və həndəsi irəliləmə qanununa uyğun olaraq dəyişən dövrə malik xətti zəncir əmələ gətirsinlər:

а = a1·Dn-1,

burada a1 hissəciklər arasındakı ilkin dövr, n dövrün seriya nömrəsi, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… qızıl nisbətin sayıdır.

Qurulmuş hissəciklər zənciri uzun diapazonlu simmetriya nizamına malik birölçülü kvazikristala nümunə kimi xidmət edir. Quruluş tamamilə nizamlıdır, hissəciklərin oxda düzülməsində sistematik bir qanunauyğunluq var - onların koordinatları bir qanunla müəyyən edilir. Eyni zamanda, təkrarlanma yoxdur - hissəciklər arasındakı dövrlər fərqlidir və hər zaman artır. Buna görə də, yaranan birölçülü strukturda translyasiya simmetriyası yoxdur və buna zərrəciklərin xaotik düzülüşü (amorf strukturlarda olduğu kimi) deyil, iki bitişik dövrün irrasional nisbəti səbəb olur (D irrasional ədəddir).

Kvazikristalın nəzərdən keçirilən birölçülü strukturunun məntiqi davamı ikiölçülü strukturdur ki, onu iki müxtəlif elementdən, iki elementar hüceyrədən ibarət qeyri-dövri mozaikaların (naxışların) qurulması üsulu ilə təsvir etmək olar. Bu mozaika 1974-cü ildə Oksford Universitetinin nəzəri fiziki tərəfindən hazırlanmışdır. R. Penrose. O, tərəfləri bərabər olan iki rombdan ibarət mozaika tapdı. Dar rombun daxili bucaqları 36° və 144°, geniş rombun isə 72° və 108°-dir.

Bu rombların bucaqları cəbri olaraq x2 - x - 1 = 0 tənliyi və ya y2 + y - 1 = 0 tənliyi ilə ifadə edilən qızıl nisbətlə bağlıdır. Bu kvadrat tənliklərin köklərini triqonometrik formada yazmaq olar:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Tənliklərin köklərini təmsil etməyin bu qeyri-ənənəvi forması göstərir ki, bu rombları dar və enli qızılı romblar adlandırmaq olar.

Penrose mozaikasında təyyarə boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmadan qızılı romblarla örtülmüşdür və uzunluğu və eni sonsuz olaraq uzadıla bilər. Ancaq sonsuz bir mozaika qurmaq üçün bir kristal təşkil edən eyni elementar hüceyrələrin monoton təkrarlanmasından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənən müəyyən qaydalara əməl edilməlidir. Qızıl almazları tənzimləmək qaydası pozulursa, bir müddət sonra mozaikanın böyüməsi dayanacaq, çünki aradan qaldırılmayan uyğunsuzluqlar görünəcəkdir.

Penrose-un sonsuz mozaikasında qızıl romblar ciddi dövrilik olmadan düzülür. Bununla belə, enli qızıl almazların sayının dar qızıl almazların sayına nisbəti tam olaraq D = (1 + √5)/2= = 1,6180339... qızıl nömrəsinə bərabərdir. D sayı irrasional olduğundan, belə bir mozaikada tərcüməsi bütün mozaikanı əldə edə bilən hər bir növdən tam sayda romb olan elementar bir hüceyrə seçmək mümkün deyil.

Penrose mozaikasının da əyləncəli riyaziyyat obyekti kimi özünəməxsus cazibəsi var. Bu məsələnin bütün aspektlərinə varmadan qeyd edirik ki, hətta ilk addım - mozaika qurmaq kifayət qədər maraqlıdır, çünki diqqət, səbir və müəyyən intellekt tələb edir. Mozaikanı çox rəngli etsəniz, bir çox yaradıcılıq və təxəyyül göstərə bilərsiniz. Dərhal oyuna çevrilən rəngləmə çoxsaylı orijinal üsullarla edilə bilər, varyasyonları şəkillərdə (aşağıda) təqdim olunur. Ağ nöqtə mozaikanın mərkəzini işarələyir, ətrafında 72° fırlanma onu özünə çevirir.

Penrose mozaikası, müxtəlif fənlərin kəsişməsində yerləşən gözəl bir tikintinin mütləq tətbiqini necə tapdığının gözəl bir nümunəsidir. Düyün nöqtələri atomlarla əvəz olunarsa, Penrose mozaikası iki ölçülü kvazikristalın yaxşı analoqu olur, çünki o, maddənin bu vəziyyətinə xas olan bir çox xüsusiyyətlərə malikdir. Və buna görə.

Birincisi, mozaikanın qurulması müəyyən bir alqoritmə uyğun olaraq həyata keçirilir, bunun nəticəsində təsadüfi deyil, sifarişli bir quruluş olduğu ortaya çıxır. Onun hər hansı sonlu hissəsi mozaika boyu saysız-hesabsız baş verir.

İkincisi, mozaikada eyni istiqamətlərə malik olan bir çox müntəzəm dekaqonları ayırd etmək olar. Onlar kvazperiodik adlanan uzunmüddətli oriyentasiya nizamı yaradırlar. Bu o deməkdir ki, almazların yerini və nisbi oriyentasiyasını çox spesifik, qeyri-müəyyən də olsa, əlaqələndirən uzaq mozaika strukturları arasında qarşılıqlı əlaqə var.

Üçüncüsü, hər hansı bir seçilmiş istiqamətə paralel tərəfləri olan bütün rombları ardıcıl olaraq rəngləsəniz, onlar bir sıra qırıq xətlər meydana gətirəcəklər. Bu qırıq xətlər boyunca təxminən eyni məsafədə bir-birindən aralı düz paralel xətlər çəkə bilərsiniz. Bu xüsusiyyət sayəsində Penrose mozaikasında bəzi tərcümə simmetriyasından danışa bilərik.

Dördüncüsü, ardıcıl olaraq kölgələnmiş brilyantlar 72°-nin qatları olan bucaqlarda kəsişən oxşar paralel xətlərin beş ailəsini təşkil edir. Bu qırıq xətlərin istiqamətləri düzgün beşbucaqlının tərəflərinin istiqamətlərinə uyğun gəlir. Buna görə də, Penrose mozaikası müəyyən dərəcədə 5-ci dərəcəli fırlanma simmetriyasına malikdir və bu mənada kvazikristala bənzəyir.

Baxış sayı: 367

“Science” jurnalının 2007-ci ilin fevral sayında amerikalı alimlər Peter Lu və Paul Steinhardt-ın orta əsr İslam memarlığı ilə bağlı məqaləsi dərc olundu və bu məqalə dərhal elmi sensasiyaya çevrildi. Məqalə müəlliflərinin fikrincə, orta əsr məqbərələrinin, məscidlərinin və saraylarının divarlarını bəzəyən mozaika naxışları yalnız iyirminci əsrin 70-ci illərində avropalı alimlər tərəfindən aşkar edilmiş riyazi qanunlardan istifadə edilməklə hazırlanıb. Buradan aydın şəkildə belə çıxır ki, orta əsr memarları avropalı həmkarlarından bir neçə əsr irəlidə idilər.

Bu kəşf, müasir elmdəki bir çox şey kimi, tamamilə təsadüfən baş verdi. 2005-ci ildə Harvard Universitetinin aspirantı Piter Lu Özbəkistana turist kimi gəlib. Buxaradakı Abdullaxan məqbərəsinin divar dekorasiyasına heyran qalaraq, burada vaxtilə universitetdə oxuduğu mürəkkəb həndəsi strukturların analoqunu görür. Çoxsaylı Səmərqənd ornamentlərindəki qəribə naxış formaları onun təxmininin doğruluğunu təsdiq edirdi. Evə qayıtdıqdan sonra dissertasiya rəhbəri, Princeton Universitetinin professoru Paul Steinhardt-a kəşfi haqqında danışdı.

Özbəkistan, Əfqanıstan, İran, İraq, Türkiyə və Hindistanda orta əsr müsəlman memarlıq abidələrinin divar rəsmlərinin və ornamentlərinin strukturunun hərtərəfli tədqiqi Peter Lunun təxmininin doğruluğunu təsdiqlədi və yuxarıda qeyd etdiyimiz sensasion məqalənin mövzusuna çevrildi.

Peter Lu və Paul Steinhadtın kəşfinin mənasını başa düşmək üçün parket problemi, kvazikristal quruluş, qızıl nömrə və s. kimi anlayışlarla tanış olmaq lazımdır. Buna görə də, təqdimata ardıcıllıqla başlayaq.

Parket problemi və Penrose strukturları

Riyaziyyatda müstəvini boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmadan çoxbucaqlılarla tamamilə doldurmaq məsələsi deyilir. parket. Hətta qədim yunanlar belə bilirdilər ki, bu problem təyyarəni düz üçbucaqlar, kvadratlar və altıbucaqlılarla örtməklə asanlıqla həll olunur.

Eyni zamanda, adi beşbucaqlılar parketin elementar elementləri kimi xidmət edə bilməz, çünki boşluqlar olmadan bir təyyarədə bir-birinə möhkəm yapışdırıla bilməz. Eyni şeyi yeddi, səkkiz, doqquz, on və s. haqqında da demək olar. kvadratlar. Tədricən, təyyarəni müxtəlif növ və ölçülü müntəzəm çoxbucaqlılarla doldurmaq üçün yollar icad edildi. Məsələn, müxtəlif ölçülü dördbucaqlı və səkkizbucaqlıları birləşdirərək təyyarəni belə doldura bilərsiniz:

Bu problemin daha mürəkkəb inkişafı, bir neçə növ çoxbucaqlılardan ibarət olan və müstəvini tamamilə əhatə edən parketin strukturunun kifayət qədər "müntəzəm" və ya "demək olar ki," dövri olmaması şərti idi. Uzun müddət bu problemin həlli olmadığına inanılırdı. Ancaq keçən əsrin 60-cı illərində nəhayət həll edildi, lakin bunun üçün minlərlə müxtəlif növ çoxbucaqlılar dəsti lazım idi. Addım-addım növlərin sayı azaldı və nəhayət, 70-ci illərin ortalarında Oksford Universitetinin professoru Rocer Penrose yalnız iki növ almazdan istifadə edərək problemi həll etdi. Aşağıda 72 və 36 ° iti bucaqlı romblarla təyyarəni dolduran kvazperiodik (yəni demək olar ki, dövri) variantı göstərilir. Onlara "qalın" və "nazik" almaz da deyilir.

Brilyantları təşkil edərkən dövri olmayan bir nümunə əldə etmək üçün onların birləşməsi üçün bəzi qeyri-ciddi qaydalara riayət etməlisiniz. Məlum oldu ki, sadə görünən bu quruluş çox maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir. Məsələn, nazik rombların sayının qalın olanların sayına nisbətini götürsək, həmişə “qızıl nisbət” deyilən 1,618-ə bərabər olur... Bu rəqəm “dəqiq” olmadığı üçün , və riyaziyyatçıların dediyi kimi, irrasional, strukturun dövri deyil, demək olar ki, dövri olduğu ortaya çıxır. Üstəlik, bu rəqəm beşguşəli ulduzu - ideal nisbətlərə malik həndəsi fiqur sayılan pentaqramı meydana gətirən onbucaqlıların içərisindəki seqmentlər arasındakı əlaqəni müəyyənləşdirir. Qeyd edək ki, vurğulanan dekaqonlar eyni oriyentasiyaya malikdir, bu da Penrose plitəsini təşkil edən almazların düzülməsini əlaqələndirir və müəyyən edir. Təəccüblüdür ki, bu sırf həndəsi konstruksiya 1984-cü ildə kəşf edilmiş kvazikristalları təsvir etmək üçün ən uyğun riyazi model oldu.

Kvazikristallar nədir

Alimlərin xalis təxəyyülünün bəhrəsi olan riyazi konstruksiyanın gözlənilmədən necə mühüm praktik tətbiq tapması barədə daha bir maraqlı əhvalatdan bəhs etmək üçün bu bölməni məqaləmizə daxil etdik.

Təbiətdəki bütün maddələri iki növə bölmək olar: atomların qarşılıqlı düzülüşündə qanunauyğunluq olmayan amorf və ciddi nizamlı düzülüşü ilə xarakterizə olunan kristal. Kristalloqrafiya qanunlarından belə çıxır ki, kristallar üçün yalnız birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü və altıncı dərəcəli simmetriya oxları mümkündür, yəni. Parketə bənzətməklə, təbiətdə beşinci dərəcəli simmetriyaya malik kristallar mövcud ola bilməz. Bu vəziyyət çoxölçülü fəzalarda qrupların riyazi nəzəriyyəsi əsasında ciddi şəkildə sübut edilmişdir. Ancaq təbiət, həmişə olduğu kimi, daha ixtiraçı oldu və 1984-cü ildə beşinci dərəcəli fırlanma simmetriyası ilə alüminium-manqan ərintisi kəşf edildiyini bildirən Şextman qrupunun işi nəşr olundu. Sonradan indiyə qədər naməlum xassələri olan bir çox oxşar ərintilər sintez edilmişdir. Bu ərintilər kvazikristal adlanırdı və indi maddənin amorf və kristal formaları arasında aralıq sayılır.

Məhz bu kəşf sayəsində kvazikristalların strukturunun modelləşdirilməsi üçün ən uyğun alət olduğu ortaya çıxan Penrosun həndəsi konstruksiyası böyük populyarlıq qazandı və daha da inkişaf etdirildi. Və buna görə də universitet kurslarına daxil edilir. Hazırda Penrouz mozaikasının nazik və qalın rombedrlərdən - hər bir üzü romb olan altıbucaqlı fiqurlardan ibarət üçölçülü ümumiləşdirməsi artıq alınmışdır.

Orta əsr mozaikasının əsasında hansı həndəsə dayanır

Təxminən 3700 mozaik plitəni təhlil etdikdən sonra Lu və Steinhardt belə bir nəticəyə gəldilər ki, 13-cü əsrin əvvəllərində məqbərələrin, məscidlərin və digər binaların beş çoxbucaqlı dəstindən, yəni bir onbucaqdan ibarət dövri mozaika ilə bəzədilməsi texnologiyası, altıbucaqlı və papyon bütün müsəlman ölkələrinə yayılmışdı (məqalə müəlliflərinin terminologiyası), beşbucaqlı və romb. Bu, mahiyyətcə yuxarıda təsvir edilən parket probleminin beş “müsəlman” çoxbucaqlı dəstindən istifadə etməklə həlli idi. Belə çoxbucaqlılardan ibarət naxışlara “girix” (farscadan - düyün) deyilir.

Nəzərə alın ki, bütün çoxbucaqlıların üzləri eyni ölçülərə malikdir və bu, onları istənilən tərəfdən birləşdirməyə imkan verir. Bundan əlavə, hər bir çoxbucaqlı kafel dekorativ xətlərə malikdir, lakin onlar ciddi həndəsi qaydalara uyğun olaraq çəkilir: hər hansı iki naxış xətti hər tərəfin ortasında 72 və ya 108 ° açılarda birləşir, yəni. 36°-nin qatları. Bu, bir kafeldən digərinə keçərkən nümunənin ardıcıl qalmasını təmin edir.

Belə bir mozaika qurmaq üçün ixtiyarınızda bir kompas və bir hökmdarın olması kifayət idi. Yeri gəlmişkən, amerikalı alimlərin kəşfindən əvvəl belə hesab olunurdu ki, orta əsr ustaları binaların bəzəyini yaradarkən yalnız hökmdar və kompas kimi ən sadə alətlərdən istifadə edirlər. İndi məlum oldu ki, bu, tamamilə doğru deyil.

XV əsr Teymurilərin hökmranlıq etdiyi ölkələrdə elmin və mədəniyyətin çiçəklənməsinin ən yaradıcı dövrüdür. Məhz bu zaman ornament sənətində keyfiyyət sıçrayışı baş verdi. İranda Dərbi-İmam məqbərəsi, Heratda Hacı Abdullah Ənsarinin türbəsi və başqaları kimi çoxlu tədqiq edilmiş abidələrin Teymurilər dövrünə aid olması bunu təsdiq edir.

Bu zamana qədər ənənəvi hala gələn girih mozaikasının və “ox” və “uçurtma” həndəsi fiqurlarının (yenə Lu və Steinhardt terminologiyasında) birləşməsi

Penrose mozaikasını xatırladan qeyri-dövri naxışlar. Buradan belə nəticə çıxır ki, onlar bu vaxta qədər daha mürəkkəb alətlərdən istifadə etmişlər, lakin 15-ci əsrdə dekorativ texnikada konseptual sıçrayış olduğu aydındır!

Məqalənin dərcindən sonra sonrakı müsahibələrində Lu və Steinhardt qeyd etdilər ki, onlar orta əsr memarlarının özlərinin kəşflərinin təfərrüatlarını nə dərəcədə başa düşdüklərini deyə bilmədiklərini, lakin bunu Penrose strukturlarının analoqu kimi gördüklərini qeyd etdilər. Və onlar tamamilə əmindirlər ki, kəşf etdikləri şey təsadüfi bir təsadüf ola bilməz.

Lirik təxribat

Bu edilir. Mən əcdadlarımızın yaratdıqlarına bənzərsiz gözəllik verən həndəsi naxışların incəliklərini dərk edə bildim və ümid edirəm ki, soydaşlarımızın marağını müəyyən qədər ödəyə bildim. Təbii ki, bir növ narazılıq qalır, çünki mən də yüzlərlə dəfə Səmərqənd ornamentlərinin gözəlliyinə, zərifliyinə heyran olmuşam. Niyə bu fikir heç ağlıma gəlmədi? Özümə haqq qazandırmaq üçün yalnız onu deyə bilərəm ki, kvazperiodik Penrose strukturu universitet kurslarına daxil olanda mən artıq dar ixtisasım üzrə namizədlik dissertasiyası üzərində işləyirdim. Peter Lu isə cəmi 28 yaşındadır və o, artıq universitetdə Penrose strukturlarından keçib. Təbii ki, hansısa nümunənin tamamilə gözlənilməz yerdə təzahürünü bilmək və tanımaq tamam başqa şeylərdir, lakin bunu etmək üçün ən azı belə bir qanunun mövcud olduğunu bilməlisiniz.

Ancaq bu təxribatın məqsədi bu deyil. “Science” jurnalındakı məqalənin mahiyyətini anlamaq üçün iki gün, daha doğrusu, iki yuxusuz gecə lazım idi, amma bunu əvvəllər etməməyimin səbəbləri, mənə elə gəlir ki, dərin fəlsəfi məna daşıyır. İnternetdə Lu və Steinhardtın məqaləsini oxuyanda dərhal həndəsə sahəsində mütəxəssis olan həmkarıma zəng etdim. O, nə baş verdiyini dərhal başa düşdü, amma hava limanına getməzdən əvvəl onu tutduğumu deyərək məni əsəbiləşdirdi. Onun xarici işgüzar səfərdən yalnız üç aydan sonra qayıtdığını öyrəndikdən sonra ondan xahiş etdim ki, heç olmasa Penrose strukturları haqqında oxuya biləcəyim bir kitab tövsiyə etsin. O, mənə kitabı danışdı və əlavə etdi ki, bu, çox mürəkkəb riyaziyyatdır və çətin ki, hər şeyi tez başa düşmək mümkün olsun, nəinki adi insanlara xalq tərəfindən izah olunsun. Çoxölçülü invariant fəzalar, konyuqativ irrasional məkanın faktor məkanı kimi anlayışlarla doldurulmuş mənə tövsiyə olunan kitabı vərəqləyəndə həvəsim tez söndü.

“Jahon” informasiya agentliyinin xəbərindən sonra təkcə elmi ictimaiyyətimizin deyil, elmi ictimaiyyətimizin də bu məsələyə marağı uçqun kimi artmağa başladı. Elmlər Akademiyasının və Milli Universitetin savadlı adamları arasında təbii ki, Li cəbrlərinin, qruplar nəzəriyyəsinin, çoxölçülü simmetriyaların və s. kompleks məsələlərini başa düşən mütəxəssislər var idi. Amma onların hamısı yekdil fikirdədirlər ki, bunları xalq arasında izah etmək mümkün deyil. Keçən gün birdən başıma xırda bir fikir gəldi: Gözləyin. Bəs orta əsr memarları müasir riyaziyyatın ən güclü aparatına malik olmadığı üçün bunu necə ortaya qoydular? Bu dəfə mən bunu mənim üçün qaranlıq meşəyə çevrilən Penrose kvazperiodik strukturunun mürəkkəb riyazi aparatı vasitəsilə deyil, orta əsr memarlarının yolu ilə getməyə çalışmağa qərar verdim. Əvvəlcə İnternetdən Lu və Steinhardtın orijinal məqaləsini yüklədim. Onların metodu məni heyran etdi. Kəşflərinin mahiyyətini izah etmək üçün onlar da məhz bu yolu tutmuşlar, yəni. orta əsr memarlarının konseptual aparatlarından istifadə edərək, “qırıx” mozaikası, “ox” plitələr, “uçurtma” və s. kimi sadə əşyalarla işləmək.

Bütün bunların fəlsəfi məqamı ondan ibarətdir ki, təbiətin (və bəlkə də cəmiyyətin) qanunlarını dərk etmək üçün hər kəsin eyni yolla getməsi vacib deyil. İnsan təfəkkürü də çoxölçülüdür. Şərq yanaşması var, qərb yanaşması var. Və onların hər birinin mövcud olmaq hüququ var və müəyyən bir vəziyyətdə gözlənilmədən əksinə daha təsirli ola bilər. Bu halda belə oldu: Qərb elmi tikanlı təcrübənin nəhəng ümumiləşdirilməsi əsasında kəşf edə bildiyini, Şərq elmi də intuisiya və gözəllik hissi əsasında etdi. Nəticələri isə göz qabağındadır: həndəsə qanunlarının praktiki şəkildə həyata keçirilməsində Şərq mütəfəkkirləri Qərb mütəfəkkirlərini beş əsr qabaqlayırdılar!

Şuxrat Eqamberdiyev.
Özbəkistan Respublikası Elmlər Akademiyasının Astronomiya İnstitutu.

Rəngli illüstrasiyalı məqalənin tam mətni ilə “Fan va turmush” jurnalının növbəti (məqalə 2008-ci ildə yazılmışdır. Aİ) – “Science and Life of Uzbekistan” sayında tanış olmaq olar.

Layihə iştirakçıları

Nikiforov Kirill, 8-ci sinif şagirdi

Rudneva Oksana, 8-ci sinif şagirdi

Poturaeva Kseniya, 8-ci sinif şagirdi

Tədqiqat mövzusu

Penrose mozaikası

Problemli sual

Penrose mozaikası nədir?

Tədqiqat hipotezi

Təyyarənin qeyri-periodik tesselasiyası var

Tədqiqatın məqsədləri

Penrose mozaikası ilə tanış olun və onun niyə "qızıl" mozaika adlandığını öyrənin.

Nəticələr

Penrose mozaikası

Təyyarə plitələri bütün təyyarəni üst-üstə düşməyən formalarla əhatə edir. Riyaziyyatda müstəvini boşluqlar və üst-üstə düşmələr olmadan çoxbucaqlılarla tamamilə doldurmaq probleminə parket və ya mozaika deyilir. Ehtimal ki, asfalt çəkməyə maraq ilk növbədə mozaika, ornament və digər naxışların tikilməsi ilə əlaqədar yaranmışdır. Hətta qədim yunanlar belə bilirdilər ki, bu problem təyyarəni düz üçbucaqlar, kvadratlar və altıbucaqlılarla örtməklə asanlıqla həll olunur.

Təyyarənin bu cür döşənməsinə dövri deyilir. Daha sonra bir neçə müntəzəm çoxbucaqlıların birləşməsindən istifadə edərək kafel döşəməsini necə yerinə yetirməyi öyrəndik.

Daha çətin bir iş olduqca "düzgün" və ya "demək olar ki," dövri parketin yaradılması idi. Uzun müddət bu problemin həlli olmadığına inanılırdı. Ancaq keçən əsrin 60-cı illərində nəhayət həll edildi, lakin bunun üçün minlərlə müxtəlif növ çoxbucaqlılar dəsti lazım idi. Addım-addım növlərin sayı azaldı və nəhayət, 1970-ci illərin ortalarında riyaziyyat və fizikanın müxtəlif sahələrində fəal işləyən Oksford Universitetinin professoru, dövrümüzün görkəmli alimi Rocer Penrose yalnız iki növdən istifadə etməklə problemi həll etdi. romblardan.

Rocer Penrose

Biz indi Penrouz mozaikası adlanan belə bir mozaikanın qurulması üsulunu araşdırdıq. Bunu etmək üçün müntəzəm beşbucaqlı (beşbucaqlı) diaqonallar çəkin. Yeni bir beşbucaq və "qızıl" adlanan iki növ ikitərəfli üçbucaq alırıq. Belə üçbucaqlarda ombanın bazaya nisbəti "qızıl" nisbətə bərabərdir. Üçbucaqlardakı bucaqlar birində 36°, 72° və 72°, digərində 108°, 36° və 36°-dir. Gəlin iki eyni üçbucağı birləşdirək və “qızıl” romblar əldə edək. Alim onlardan parket tikintisində istifadə etdi və parketin özü "qızıl" adlandı.

Penrose mozaikası

Penrose mozaikası aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

1. nazik rombların sayının qalın olanların sayına nisbəti həmişə “qızıl” adlanan 1,618 rəqəminə bərabərdir...