Mosaik simetris. Algoritma untuk membuat mosaik Penrose – model dan quasicrystals. Mosaik dari berbagai negara

Algoritma untuk membuat mosaik Penrose – model dan quasicrystals

Murid
Universitas Negeri Vladimir dinamai demikian

A.G.dan, Institut Pedagogis,
Fakultas Fisika dan Matematika, Vladimir, Rusia
Surel:*****@***com

Kuasikristal adalah jenis padatan yang relatif baru ditemukan, perantara antara kristal dan padatan amorf. Kemunculannya dikaitkan dengan zat yang ditemukan secara eksperimental pada tahun 1982 yang memberikan pola difraksi dengan puncak Bragg fungsional dan simetri yang tidak sesuai dengan kisi translasi. Atas penemuannya, fisikawan dan kimiawan Israel Dan Shechtman menerima Hadiah Nobel pada tahun 2011.

Sistem titik non-periodik dengan tatanan jangka panjang biasanya digunakan sebagai model matematika quasicrystals. Kuasikristal matematis seperti itu, tidak seperti kristal fisik, dapat didefinisikan dalam dimensi apa pun.

Model dua dimensi dari quasicrystal adalah mosaik Penrose, yang dipelajari oleh ahli matematika bahkan sebelum penemuan quasicrystal. Mosaik Penrose bukanlah partisi periodik, karena tidak berubah menjadi dirinya sendiri melalui transfer paralel - terjemahan. Namun, ada perintah ketat di dalamnya, yang ditentukan oleh algoritma untuk membangun partisi ini.

Ada banyak pendekatan untuk mendefinisikan quasicrystals matematika. Pendekatan yang paling terkenal didasarkan pada proyeksi kisi-kisi dari ruang berdimensi lebih tinggi ke ruang berdimensi lebih rendah, yang disebut “kumpulan model”. Ketika diterapkan pada ubin Penrose, pendekatan ini disebut metode Baaki.

Metode ini paling nyaman untuk mempelajari dan menganalisis pola difraksi kuasikristal baik dari sudut pandang teoritis maupun dari sudut pandang algoritma komputer. Berdasarkan analisis tersebut, dapat ditarik kesimpulan selanjutnya tentang sifat-sifat quasicrystal.

Untuk menganalisis properti mosaik Penrose, kami menulis program komputer menggunakan algoritma Baaki, yang dengannya jendela ditentukan https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 tinggi=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, di mana .

Setel https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , di mana rasio emasnya. Kemudian proyeksi titik-titiknya ke kumpulan modelnya adalah sebagai berikut : dan di mana https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">. Simpul-simpul tersebut dihubungkan oleh sebuah sisi ketika jarak antara simpul-simpul tersebut adalah 1. Jadi, mosaik Penrose dibuat menggunakan algoritma di atas.

Kami menemukan bahwa metode Baaki tidak sepenuhnya akurat dan partisi yang dihasilkan bukanlah partisi Penrose, karena simpul dan tepi “ekstra” dari partisi muncul. Ternyata konstruksi ini benar sampai pada titik sudut dan batas segi lima.

Dengan menggunakan eksperimen komputer, metode Baaki dapat disempurnakan, sehingga menghasilkan mosaik Penrose (Gbr. 1):

Gambar 1 Mosaik Penrose diperoleh dengan menggunakan modifikasi algoritma Baaki

Metode yang dijelaskan di atas untuk membuat ubin Penrose disebut parameterisasi lemah ubin Penrose.

Ada metode konstruksi lain - parameterisasi kuat dari simpul partisi, di mana Anda bisa mendapatkan parameter simpul tetangga menggunakan parameter simpul tertentu. Seluruh rangkaian parameter dibagi menjadi poligon, yang masing-masing poligon memiliki lingkungan lokal pertama dari titik tersebut didefinisikan secara unik, serta bintang yang terdiri dari vektor-vektor yang menghubungkan suatu titik dengan titik-titik tetangga.

Pada tahun 1973, matematikawan Inggris Roger Penrose menciptakan mosaik khusus berbentuk geometris, yang kemudian dikenal sebagai mosaik Penrose.
Mosaik penrose adalah pola yang dirangkai dari ubin poligonal dengan dua bentuk tertentu (belah ketupat yang sedikit berbeda). Mereka dapat membuat bidang tanpa akhir tanpa celah.

Mosaik Penrose menurut penciptanya.
Itu dirakit dari dua jenis belah ketupat,
satu dengan sudut 72 derajat, yang lain dengan sudut 36 derajat.
Gambarnya ternyata simetris, tapi tidak periodik.

Gambar yang dihasilkan tampak seperti semacam ornamen “ritmik” - gambar dengan simetri translasi. Jenis simetri ini berarti Anda dapat memilih bagian tertentu dalam pola yang dapat “disalin” pada bidang, dan kemudian menggabungkan “duplikat” ini satu sama lain melalui transfer paralel (dengan kata lain, tanpa rotasi dan tanpa pembesaran).

Namun, jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa pola Penrose tidak memiliki struktur berulang - pola ini bersifat aperiodik. Namun intinya bukanlah ilusi optik, melainkan fakta bahwa mozaik tersebut tidak semrawut: ia memiliki simetri rotasi orde kelima.

Artinya bayangan dapat diputar dengan sudut minimal 360 / n derajat, dimana n adalah orde simetri, dalam hal ini n = 5. Oleh karena itu, sudut rotasi yang tidak mengubah apapun harus kelipatan dari 360/5 = 72 derajat.

Selama sekitar satu dekade, penemuan Penrose dianggap tidak lebih dari sebuah abstraksi matematika yang lucu. Namun, pada tahun 1984, Dan Shechtman, seorang profesor di Institut Teknologi Israel (Technion), ketika mempelajari struktur paduan aluminium-magnesium, menemukan bahwa difraksi terjadi pada kisi atom zat ini.

Ide-ide sebelumnya yang ada dalam fisika benda padat mengecualikan kemungkinan ini: struktur pola difraksi memiliki simetri orde kelima. Bagian-bagiannya tidak dapat digabungkan melalui transfer paralel, yang berarti ia sama sekali bukan kristal. Tapi difraksi adalah karakteristik kisi kristal! Para ilmuwan sepakat bahwa opsi ini akan disebut quasicrystals - sesuatu seperti keadaan materi yang khusus. Nah, keindahan dari penemuan ini adalah model matematikanya telah lama siap - mosaik Penrose.

Dan baru-baru ini menjadi jelas bahwa konstruksi matematika ini jauh lebih tua dari yang dibayangkan. Pada tahun 2007, Peter J. Lu, seorang fisikawan dari Universitas Harvard, bersama dengan fisikawan lain, Paul J. Steinhardt, tetapi dari Universitas Princeton, menerbitkan sebuah artikel di Science tentang mosaik Penrose. Tampaknya ada sedikit hal yang tidak terduga di sini: penemuan quasicrystals menarik minat yang besar terhadap topik ini, yang menyebabkan munculnya banyak publikasi di media ilmiah.

Namun, yang menarik dari karya ini adalah bahwa karya tersebut tidak didedikasikan untuk sains modern. Dan secara umum - bukan sains. Peter Lu menarik perhatian pada pola penutup masjid di Asia, yang dibangun pada Abad Pertengahan. Desain yang mudah dikenali ini terbuat dari ubin mosaik. Mereka disebut girihi (dari kata Arab untuk "simpul") dan merupakan ciri desain geometris seni Islam dan terdiri dari bentuk poligonal.

Contoh tata letak ubin ditunjukkan dalam naskah Arab abad ke-15.
Para peneliti menggunakan warna untuk menyorot area yang berulang.
Semua pola geometris dibangun berdasarkan lima elemen ini.
master Arab abad pertengahan. Elemen berulang
belum tentu bertepatan dengan batas ubin.

Ada dua gaya dalam ornamen Islam: geometris - girikh, dan bunga - islimi.
Girik(pers.) - pola geometris kompleks yang terdiri dari garis-garis yang ditata menjadi bentuk persegi panjang dan poligonal. Dalam kebanyakan kasus, ini digunakan untuk dekorasi luar masjid dan buku-buku dalam publikasi besar.
Islami(pers.) – sejenis ornamen yang dibuat dari kombinasi bindweed dan spiral. Mewujudkan dalam bentuk bergaya atau naturalistik gagasan tunas dedaunan berbunga yang terus berkembang dan mencakup beragam pilihan yang tak ada habisnya. Ini paling banyak tersebar luas di pakaian, buku, dekorasi interior masjid, dan piring.

Sampul Alquran tahun 1306-1315 dan gambar pecahan geometris,
yang menjadi dasar pola tersebut. Contoh ini dan contoh berikut tidak cocok
Kisi Penrose, tetapi memiliki simetri rotasi orde kelima

Sebelum penemuan Peter Lu, diyakini bahwa arsitek kuno menciptakan pola giriha menggunakan penggaris dan kompas (jika bukan dengan inspirasi). Namun, beberapa tahun yang lalu, saat bepergian di Uzbekistan, Lou menjadi tertarik pada pola mosaik yang menghiasi arsitektur abad pertengahan setempat dan menyadari sesuatu yang familier tentang pola tersebut. Sekembalinya ke Harvard, ilmuwan tersebut mulai meneliti motif serupa pada mosaik di dinding bangunan abad pertengahan di Afghanistan, Iran, Irak, dan Turki.

Contoh ini berasal dari periode selanjutnya - 1622 (masjid India).
Melihatnya dan gambar strukturnya, orang pasti mengagumi kerja kerasnya
peneliti. Dan, tentu saja, para masternya sendiri.

Peter Lu menemukan bahwa pola geometris girikh hampir identik dan mampu mengidentifikasi elemen dasar yang digunakan dalam semua desain geometris. Selain itu, ia menemukan gambar-gambar tersebut dalam manuskrip kuno, yang digunakan seniman kuno sebagai semacam lembar contekan untuk mendekorasi dinding.
Untuk membuat pola-pola ini, mereka tidak menggunakan kontur sederhana yang dibuat secara acak, tetapi gambar-gambar yang disusun dalam urutan tertentu. Pola kuno tersebut ternyata merupakan konstruksi persis seperti mosaik Penrose!

Gambar-gambar ini menyoroti area yang sama,
meskipun ini adalah foto-foto dari berbagai masjid

Dalam tradisi Islam, terdapat larangan ketat terhadap penggambaran manusia dan hewan, sehingga pola geometris menjadi sangat populer dalam desain bangunan. Para ahli abad pertengahan entah bagaimana berhasil membuatnya beragam. Tapi tidak ada yang tahu apa rahasia “strategi” mereka. Jadi, rahasianya ternyata ada pada penggunaan mosaik khusus yang, meski tetap simetris, dapat mengisi bidang tanpa terulang kembali.

“Trik” lain dari gambar-gambar ini adalah, dengan “menyalin” skema serupa di berbagai candi berdasarkan gambar, sang seniman mau tidak mau harus membiarkan adanya distorsi. Namun pelanggaran seperti ini minimal. Hal ini hanya dapat dijelaskan oleh fakta bahwa tidak ada gunanya membuat gambar berskala besar: yang utama adalah prinsip yang digunakan untuk membuat gambar tersebut.

Untuk merakit girikh, lima jenis ubin digunakan (belah ketupat sepuluh dan pentagonal serta "kupu-kupu"), yang dirangkai dalam mosaik yang berdekatan satu sama lain tanpa ruang kosong di antara keduanya. Mosaik yang dibuat darinya dapat memiliki simetri rotasi dan translasi sekaligus, atau hanya simetri rotasi orde kelima (yaitu, mosaik Penrose).

Fragmen ornamen makam Iran tahun 1304. Di sebelah kanan – rekonstruksi girikh

Setelah memeriksa ratusan foto situs Muslim abad pertengahan, Lu dan Steinhardt dapat menentukan tanggal tren tersebut hingga abad ke-13. Lambat laun metode ini semakin populer dan pada abad ke-15 metode ini menyebar luas. Penanggalan tersebut kira-kira bertepatan dengan masa berkembangnya teknik dekorasi istana, masjid, dan berbagai bangunan penting dengan ubin keramik berwarna mengkilap berbentuk berbagai poligon. Artinya, ubin keramik dengan bentuk khusus dibuat khusus untuk girikh.

Para peneliti menganggap tempat suci Imam Darb-i di kota Isfahan di Iran, yang dibangun pada tahun 1453, sebagai contoh struktur kuasikristalin yang hampir ideal.

Portal kuil Imam Darb-i di Isfahan (Iran).
Di sini dua sistem girikh ditumpangkan satu sama lain.

Kolom dari halaman masjid di Turki (sekitar tahun 1200)
dan tembok madrasah di Iran (1219). Ini adalah karya awal
dan mereka hanya menggunakan dua elemen struktur yang ditemukan oleh Lu

Kini tinggal menemukan jawaban atas sejumlah misteri sejarah Girikh dan mosaik Penrose. Bagaimana dan mengapa matematikawan kuno menemukan struktur kuasikristalin? Apakah orang Arab abad pertengahan memberi makna pada mosaik selain artistik? Mengapa konsep matematika yang begitu menarik dilupakan selama setengah milenium? Dan yang paling menarik adalah penemuan-penemuan modern apa lagi yang baru, yang sebenarnya sudah lama terlupakan?

Mosaik penrose, ubin Penrose - pembagian bidang non-periodik, struktur beraturan aperiodik, ubin bidang dengan dua jenis belah ketupat - dengan sudut 72° dan 108° (“belah ketupat tebal”) dan 36° dan 144° (“ belah ketupat tipis”), sedemikian rupa (proporsinya tunduk pada “Rasio emas”) sehingga dua belah ketupat yang berdekatan (yaitu, mempunyai sisi yang sama) tidak membentuk jajar genjang secara bersamaan.Dinamakan setelah Roger Penrose, yang tertarik dengan masalah “tessellation”, yaitu mengisi bidang dengan gambar-gambar yang bentuknya sama tanpa celah atau tumpang tindih.

Semua ubin tersebut bersifat non-periodik dan isomorfik lokal satu sama lain (yaitu, setiap fragmen terbatas dari satu ubin Penrose muncul di ubin lainnya). "Kesamaan diri" - Anda dapat menggabungkan ubin mosaik yang berdekatan sedemikian rupa sehingga Anda mendapatkan mosaik Penrose lagi.

Beberapa ruas dapat digambar pada masing-masing dua ubin sehingga pada saat meletakkan mozaik, ujung-ujung ruas tersebut sejajar dan beberapa kelompok garis lurus sejajar (garis Amman) terbentuk pada bidang tersebut.

Jarak antara garis sejajar yang berdekatan mengambil tepat dua nilai yang berbeda (dan untuk setiap kelompok garis sejajar, urutan nilai ini serupa).

Ubin penrose, yang berlubang, menutupi seluruh bidang kecuali gambar luas berhingga. Tidak mungkin memperbesar lubang dengan membuang beberapa ubin (yang jumlahnya terbatas) dan kemudian mengaspal seluruh bagian yang tidak tertutup.

Masalahnya diselesaikan dengan menyusun gambar-gambar yang menciptakan pola berulang secara berkala, tetapi Penrose ingin menemukan gambar sedemikian rupa sehingga, ketika disusun pada bidang datar, tidak akan menciptakan pola berulang. Diyakini bahwa tidak ada ubin yang hanya dapat digunakan untuk membuat mosaik non-periodik. Penrose memilih banyak ubin dengan berbagai bentuk, pada akhirnya hanya ada 2 ubin yang memiliki “rasio emas” yang mendasari semua hubungan harmonis. Ini adalah sosok berbentuk berlian dengan sudut 108° dan 72°. Kemudian, angka-angka tersebut disederhanakan menjadi bentuk belah ketupat sederhana (36° dan 144°), berdasarkan prinsip “segitiga emas”.

Pola yang dihasilkan berbentuk kuasikristalin yang memiliki simetri aksial orde 5. Struktur mosaik berhubungan dengan deret Fibonacci.
( Wikipedia)

Mosaik Penrose. Titik putih menandai pusat simetri rotasi orde ke-5: rotasi di sekelilingnya sebesar 72° mengubah mosaik menjadi dirinya sendiri.

Rantai dan mosaik (majalah Sains dan Kehidupan, 2005 No.10)

Mari kita perhatikan model ideal berikut ini. Biarkan partikel-partikel dalam keadaan setimbang ditempatkan di sepanjang sumbu transpor z dan membentuk rantai linier dengan periode variabel, berubah menurut hukum perkembangan geometri:

dan = a1·Dn-1,

dimana a1 adalah periode awal antar partikel, n adalah nomor urut periode, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1.6180339… adalah bilangan proporsi emas.

Rantai partikel yang dibangun berfungsi sebagai contoh quasicrystal satu dimensi dengan tatanan simetri jarak jauh. Strukturnya benar-benar tertata, terdapat pola sistematis dalam susunan partikel pada sumbunya - koordinatnya ditentukan oleh satu hukum. Pada saat yang sama, tidak ada pengulangan - periode antar partikel berbeda dan meningkat setiap saat. Oleh karena itu, struktur satu dimensi yang dihasilkan tidak memiliki simetri translasi, dan hal ini bukan disebabkan oleh susunan partikel yang kacau (seperti pada struktur amorf), tetapi oleh rasio irasional dari dua periode yang berdekatan (D adalah bilangan irasional).

Kelanjutan logis dari struktur satu dimensi kuasikristal adalah struktur dua dimensi, yang dapat dijelaskan dengan metode membangun mosaik (pola) non-periodik yang terdiri dari dua elemen berbeda, dua sel elementer. Mosaik ini dikembangkan pada tahun 1974 oleh seorang ahli fisika teoretis dari Universitas Oxford. R.Penrose. Dia menemukan mosaik dua belah ketupat dengan sisi yang sama. Sudut dalam belah ketupat sempit adalah 36° dan 144°, dan belah ketupat lebar - 72° dan 108°.

Sudut-sudut belah ketupat tersebut berhubungan dengan rasio emas, yang dinyatakan secara aljabar dengan persamaan x2 - x - 1 = 0 atau persamaan y2 + y - 1 = 0. Akar persamaan kuadrat berikut dapat ditulis dalam bentuk trigonometri:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Bentuk representasi akar persamaan yang tidak konvensional ini menunjukkan bahwa belah ketupat ini dapat disebut belah ketupat emas sempit dan belah ketupat emas lebar.

Pada mosaik Penrose, bidangnya ditutupi dengan belah ketupat emas tanpa celah atau tumpang tindih, dan panjang dan lebarnya dapat diperpanjang tanpa batas. Tetapi untuk membangun mosaik tanpa batas, aturan-aturan tertentu harus dipatuhi, yang sangat berbeda dari pengulangan monoton sel-sel elementer identik yang membentuk kristal. Jika aturan penyesuaian berlian emas dilanggar, maka setelah beberapa waktu pertumbuhan mosaik akan berhenti, karena akan muncul ketidakkonsistenan yang tidak dapat diperbaiki.

Dalam mosaik Penrose yang tak terbatas, belah ketupat emas disusun tanpa periodisitas yang ketat. Namun perbandingan jumlah berlian emas lebar dengan jumlah berlian emas sempit sama persis dengan bilangan emas D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Karena bilangan D tidak rasional, dalam mosaik seperti itu tidak mungkin untuk memilih sel dasar dengan bilangan bulat belah ketupat dari setiap jenis, yang terjemahannya dapat memperoleh keseluruhan mosaik.

Mosaik Penrose juga memiliki daya tarik tersendiri sebagai objek hiburan matematika. Tanpa membahas semua aspek masalah ini, kami mencatat bahwa langkah pertama - membangun mosaik - cukup menarik, karena memerlukan perhatian, kesabaran, dan kecerdasan tertentu. Dan Anda dapat menunjukkan banyak kreativitas dan imajinasi jika Anda membuat mosaik berwarna-warni. Mewarnai yang langsung berubah menjadi permainan, dapat dilakukan dengan berbagai cara orisinal, variasinya disajikan pada gambar (di bawah). Titik putih menandai bagian tengah mosaik, rotasi sebesar 72° akan mengubahnya menjadi dirinya sendiri.

Mosaik Penrose adalah contoh yang bagus tentang bagaimana sebuah konstruksi indah, yang terletak di persimpangan berbagai disiplin ilmu, pasti menemukan penerapannya. Jika titik nodal digantikan oleh atom, mosaik Penrose menjadi analog yang baik dari quasicrystal dua dimensi, karena ia memiliki banyak sifat yang menjadi ciri keadaan materi ini. Dan itulah kenapa.

Pertama, konstruksi mosaik dilaksanakan menurut algoritma tertentu, sehingga menghasilkan struktur yang tidak acak, tetapi teratur. Bagian terbatas mana pun muncul berkali-kali di seluruh mosaik.

Kedua, dalam mosaik seseorang dapat membedakan banyak dekagon beraturan yang memiliki orientasi persis sama. Mereka menciptakan tatanan orientasi jangka panjang, yang disebut kuasiperiodik. Artinya, terdapat interaksi antara struktur mosaik jauh yang mengoordinasikan lokasi dan orientasi relatif berlian dengan cara yang sangat spesifik, meski ambigu.

Ketiga, jika Anda mengecat semua belah ketupat secara berurutan dengan sisi sejajar dengan arah yang dipilih, mereka akan membentuk serangkaian garis putus-putus. Di sepanjang garis putus-putus ini, Anda dapat menggambar garis lurus sejajar dengan jarak satu sama lain pada jarak yang kira-kira sama. Berkat properti ini, kita dapat membicarakan beberapa simetri translasi pada mosaik Penrose.

Keempat, berlian yang diarsir secara berurutan membentuk lima kelompok garis paralel serupa yang berpotongan pada sudut kelipatan 72°. Arah garis putus-putus ini sesuai dengan arah sisi segi lima beraturan. Oleh karena itu, mosaik Penrose, sampai batas tertentu, memiliki simetri rotasi orde ke-5 dan dalam pengertian ini mirip dengan quasicrystal.

Dilihat: 367

Dalam majalah Science edisi Februari 2007, muncul artikel ilmuwan Amerika Peter Lu dan Paul Steinhardt tentang arsitektur Islam abad pertengahan, yang langsung menjadi sensasi ilmiah. Menurut penulis artikel tersebut, pola mosaik yang menghiasi dinding mausoleum, masjid, dan istana abad pertengahan dibuat menggunakan hukum matematika yang baru ditemukan oleh para ilmuwan Eropa pada tahun 70-an abad kedua puluh. Oleh karena itu, jelas terlihat bahwa arsitek abad pertengahan beberapa abad lebih maju dari rekan-rekan mereka di Eropa.

Penemuan ini, seperti banyak hal dalam ilmu pengetahuan modern, terjadi sepenuhnya secara kebetulan. Pada tahun 2005, mahasiswa pascasarjana Universitas Harvard Peter Lu datang ke Uzbekistan sebagai turis. Mengagumi dekorasi dinding mausoleum Abdullakhan di Bukhara, dia melihat di dalamnya analogi struktur geometris kompleks yang pernah dia pelajari di universitas. Bentuk pola yang aneh pada berbagai ornamen Samarkand hanya menegaskan kebenaran tebakannya. Sekembalinya ke rumah, dia memberi tahu pembimbing tesisnya, profesor Universitas Princeton Paul Steinhardt, tentang penemuannya.

Kajian menyeluruh terhadap struktur lukisan dinding dan ornamen monumen arsitektur Muslim abad pertengahan di Uzbekistan, Afghanistan, Iran, Irak, Turki, dan India membenarkan kebenaran dugaan Peter Lu dan menjadi subjek artikel sensasional tersebut di atas.

Untuk memahami makna penemuan Peter Lu dan Paul Steinhadt, kita harus mengenal konsep-konsep seperti masalah parket, struktur kuasikristalin, bilangan emas, dll. Oleh karena itu, mari kita mulai presentasinya secara berurutan.

Masalah parket dan struktur Penrose

Dalam matematika, masalah mengisi seluruh bidang dengan poligon tanpa celah atau tumpang tindih disebut parket. Bahkan orang Yunani kuno pun tahu bahwa masalah ini mudah diselesaikan dengan menutupi bidang dengan segitiga beraturan, bujur sangkar, dan segi enam.

Pada saat yang sama, segi lima beraturan tidak dapat berfungsi sebagai elemen dasar parket, karena tidak dapat dipasang rapat satu sama lain pada bidang tanpa celah. Hal yang sama dapat dikatakan tentang tujuh, delapan, sembilan, sepuluh, dan seterusnya. kotak. Secara bertahap, ditemukan cara untuk mengisi bidang dengan poligon beraturan dengan berbagai jenis dan ukuran. Misalnya, berikut cara mengisi bidang dengan menggabungkan segi empat dan segi delapan dengan ukuran berbeda:

Perkembangan yang jauh lebih kompleks dari masalah ini adalah kondisi bahwa struktur parket, yang terdiri dari beberapa jenis poligon dan menutupi seluruh bidang, tidak akan “biasa” atau “hampir” periodik. Untuk waktu yang lama masalah ini diyakini tidak ada solusinya. Namun, pada tahun 60an abad yang lalu hal ini akhirnya terpecahkan, tetapi hal ini membutuhkan sekumpulan ribuan poligon dari berbagai jenis. Selangkah demi selangkah, jumlah spesies berkurang, dan akhirnya, pada pertengahan tahun 70-an, profesor Universitas Oxford Roger Penrose memecahkan masalah tersebut hanya dengan menggunakan dua jenis berlian. Di bawah ini ditunjukkan varian pengisian bidang kuasiperiodik (yaitu hampir periodik) dengan belah ketupat dengan sudut lancip 72 dan 36°. Mereka juga disebut berlian “tebal” dan “tipis”.

Untuk mendapatkan pola non-periodik saat menata berlian, Anda harus mengikuti beberapa aturan non-sepele dalam kombinasinya. Ternyata struktur yang tampak sederhana ini memiliki sifat yang sangat menarik. Misalnya, jika kita mengambil perbandingan jumlah belah ketupat tipis dengan jumlah belah ketupat tebal, maka hasilnya selalu sama dengan apa yang disebut “rasio emas” 1,618... Karena angka ini “tidak eksak” , dan seperti yang dikatakan para ahli matematika, tidak rasional, strukturnya ternyata tidak periodik, tetapi hampir periodik. Selain itu, angka ini menentukan hubungan antara segmen-segmen di dalam dekagon yang membentuk bintang berujung lima - pentagram, yang dianggap sebagai sosok geometris dengan proporsi ideal. Perhatikan bahwa dekagon yang disorot memiliki orientasi yang sama, yang mengoordinasikan dan menentukan susunan berlian yang membentuk ubin Penrose. Sungguh menakjubkan bahwa konstruksi geometris murni ini ternyata menjadi model matematika yang paling cocok untuk menggambarkan quasicrystals yang ditemukan pada tahun 1984.

Apa itu quasicrystal?

Kami menyertakan bagian ini dalam artikel kami untuk menceritakan kisah menarik lainnya tentang bagaimana konstruksi matematika, yang merupakan buah imajinasi murni para ilmuwan, secara tak terduga menemukan penerapan praktis yang penting.

Semua zat di alam dapat dibagi menjadi dua jenis: amorf, di mana tidak ada keteraturan dalam susunan atom-atomnya, dan kristal, yang dicirikan oleh susunannya yang teratur secara ketat. Dari hukum kristalografi dapat disimpulkan bahwa untuk kristal hanya sumbu simetri orde pertama, kedua, ketiga, keempat dan keenam yang mungkin, yaitu. Dengan analogi parket, kristal dengan simetri orde kelima tidak dapat ada di alam. Keadaan ini dibuktikan secara ketat berdasarkan teori matematika tentang kelompok dalam ruang multidimensi. Namun alam, seperti biasa, ternyata jauh lebih inventif, dan pada tahun 1984 karya kelompok Shekhtman diterbitkan, yang melaporkan penemuan paduan aluminium-mangan dengan simetri rotasi orde kelima. Selanjutnya, banyak paduan serupa dengan sifat yang sampai sekarang tidak diketahui disintesis. Paduan ini disebut quasicrystals, dan sekarang dianggap sebagai perantara antara bentuk materi amorf dan kristal.

Berkat penemuan inilah konstruksi geometris Penrose, yang ternyata merupakan alat yang paling cocok untuk memodelkan struktur quasicrystals, mendapatkan popularitas besar dan dikembangkan lebih lanjut. Dan itulah mengapa ini dimasukkan dalam mata kuliah universitas. Saat ini, generalisasi tiga dimensi dari mosaik Penrose telah diperoleh, terdiri dari belah ketupat tipis dan tebal - figur heksagonal, yang masing-masing wajahnya berbentuk belah ketupat.

Geometri apa yang mendasari mosaik abad pertengahan

Setelah menganalisis sekitar 3.700 ubin mosaik, Lu dan Steinhardt sampai pada kesimpulan bahwa pada pergantian abad ke-13, teknologi mendekorasi mausoleum, masjid, dan bangunan lain dengan mosaik periodik terdiri dari kumpulan lima poligon, yaitu satu dekagon, segi enam, dan dasi kupu-kupu, telah menyebar ke seluruh negara-negara Muslim (terminologi penulis artikel), segi lima dan belah ketupat. Ini pada dasarnya adalah solusi untuk masalah parket yang dijelaskan di atas dengan menggunakan lima poligon “Muslim”. Pola yang terbuat dari poligon semacam itu disebut “girikh” (dari bahasa Persia - simpul).

Harap dicatat bahwa permukaan semua poligon memiliki dimensi yang sama, sehingga dapat digabungkan di sisi mana pun. Selain itu, setiap ubin poligon memiliki garis dekoratif, tetapi garis tersebut digambar berdasarkan aturan geometris yang ketat: dua garis pola mana pun bertemu di tengah setiap sisi pada sudut 72 atau 108°, yaitu. kelipatan 36°. Ini memastikan polanya tetap konsisten saat Anda berpindah dari satu ubin ke ubin lainnya.

Untuk membuat mosaik seperti itu, Anda hanya perlu memiliki kompas dan penggaris. Ngomong-ngomong, sebelum penemuan ilmuwan Amerika, diyakini bahwa para ahli abad pertengahan, ketika membuat dekorasi bangunan, hanya menggunakan alat paling sederhana seperti penggaris dan kompas. Kini menjadi jelas bahwa hal ini tidak sepenuhnya benar.

Abad ke-15 menandai periode paling kreatif berkembangnya ilmu pengetahuan dan budaya di negara-negara yang dikuasai Timuriyah. Pada masa inilah terjadi lompatan kualitatif dalam seni ornamen. Hal ini diperkuat dengan fakta bahwa banyak monumen yang diteliti seperti makam Darb-e-Imam di Iran, makam Haji Abdullah Ansari di Herat dan lain-lain berasal dari era Timurid.

Kombinasi mosaik girih, yang saat ini telah menjadi tradisional, dan figur geometris “panah” dan “layang-layang” (sekali lagi dalam terminologi Lu dan Steinhardt) memungkinkan terciptanya

pola non-periodik mengingatkan pada mosaik Penrose. Oleh karena itu, mereka mungkin telah menggunakan peralatan yang lebih canggih pada saat ini, namun jelas bahwa terdapat lompatan konseptual dalam teknik dekoratif pada abad ke-15!

Dalam wawancara berikutnya setelah publikasi artikel tersebut, Lu dan Steinhardt mencatat bahwa mereka tidak dapat mengatakan sejauh mana para arsitek abad pertengahan itu sendiri memahami detail penemuan mereka, namun mereka melihatnya sebagai analogi dari struktur Penrose. Dan mereka sangat yakin bahwa apa yang mereka temukan bukanlah suatu kebetulan belaka.

Penyimpangan liris

Sudah selesai. Saya berhasil memahami seluk-beluk pola geometris yang memberikan keindahan unik pada kreasi nenek moyang kita, dan saya berharap sampai batas tertentu bisa memuaskan rasa penasaran rekan-rekan kita. Tentu saja masih ada rasa ketidakpuasan, karena saya pun sudah ratusan kali mengagumi keindahan dan keanggunan ornamen Samarkand. Mengapa pemikiran ini tidak pernah terpikir olehku? Untuk membenarkan diri saya sendiri, saya hanya dapat mengatakan bahwa ketika struktur Penrose kuasiperiodik dimasukkan dalam mata kuliah universitas, saya sudah mengerjakan tesis PhD saya dalam spesialisasi sempit saya. Dan Peter Lu baru berusia 28 tahun, dan dia telah mempelajari struktur Penrose di universitas. Tentu saja, mengetahui dan mengenali manifestasi suatu pola di tempat yang sama sekali tidak terduga adalah hal yang sangat berbeda, tetapi untuk melakukan ini, Anda setidaknya harus mengetahui bahwa hukum seperti itu ada.

Namun penyimpangan ini bukanlah maksudnya. Saya memerlukan waktu dua hari, atau lebih tepatnya dua malam tanpa tidur, untuk memahami esensi artikel di majalah Science, tetapi alasan mengapa saya tidak melakukan ini sebelumnya, menurut saya, memiliki makna filosofis yang dalam. Ketika saya membaca artikel Lu dan Steinhardt di Internet, saya langsung menelepon rekan saya yang ahli di bidang geometri. Dia segera mengerti apa yang sedang terjadi, tapi membuatku kesal karena memberitahuku bahwa aku telah menangkapnya sebelum berangkat ke bandara. Setelah mengetahui bahwa dia baru kembali dari perjalanan bisnis ke luar negeri setelah tiga bulan, saya memintanya untuk setidaknya merekomendasikan saya beberapa buku yang dapat saya baca tentang struktur Penrose. Dia memberi tahu saya buku itu dan menambahkan bahwa ini adalah matematika yang sangat kompleks dan kecil kemungkinannya untuk memahami semuanya dengan cepat, apalagi menjelaskannya secara populer kepada orang biasa. Ketika saya membuka-buka buku yang direkomendasikan kepada saya, berisi konsep-konsep seperti ruang invarian multidimensi, ruang faktor, dan ruang irasional terkonjugasi, antusiasme saya dengan cepat memudar.

Setelah laporan kantor berita Jahon, minat ilmiah kita, dan bukan hanya komunitas ilmiah terhadap masalah ini, mulai tumbuh seperti longsoran salju. Di antara para terpelajar di Akademi Ilmu Pengetahuan dan Universitas Nasional, tentu saja, terdapat spesialis yang memahami masalah kompleks aljabar Lie, teori grup, simetri multidimensi, dll. Namun mereka semua sepakat dalam pendapatnya bahwa tidak mungkin menjelaskan hal-hal ini secara populer. Suatu hari sebuah pemikiran sepele tiba-tiba terlintas di benak saya: Tunggu. Tetapi bagaimana para arsitek abad pertengahan menemukan hal ini, karena mereka tidak memiliki peralatan matematika modern yang paling kuat? Kali ini saya memutuskan untuk mencoba memahami hal ini bukan melalui peralatan matematika kompleks dari struktur kuasiperiodik Penrose, yang ternyata merupakan hutan gelap bagi saya, tetapi mengikuti jejak para arsitek abad pertengahan. Pertama, saya mendownload artikel asli Lu dan Steinhardt dari Internet. Metode mereka membuat saya takjub. Untuk menjelaskan esensi penemuan mereka, mereka juga mengambil jalan ini, yaitu. menggunakan peralatan konseptual arsitek abad pertengahan, dan beroperasi dengan hal-hal sederhana seperti mosaik “girikh”, ubin “panah”, “layang-layang”, dll.

Inti filosofis dari semua ini adalah bahwa untuk memahami hukum alam (dan mungkin masyarakat), tidak semua orang harus mengikuti jalan yang sama. Pemikiran manusia juga bersifat multidimensi. Ada pendekatan timur dan ada pendekatan barat. Dan masing-masing dari mereka memiliki hak untuk hidup, dan dalam kasus tertentu mungkin secara tidak terduga menjadi lebih efektif daripada sebaliknya. Inilah yang terjadi dalam kasus ini: apa yang berhasil ditemukan oleh sains Barat berdasarkan generalisasi besar dari pengalaman yang sulit, sains Timur lakukan berdasarkan intuisi dan rasa keindahan. Dan hasilnya jelas: dalam penerapan praktis hukum geometri ke dalam praktik, para pemikir Timur lima abad lebih maju daripada pemikir Barat!

Shukhrat Egamberdiev.
Institut Astronomi Akademi Ilmu Pengetahuan Republik Uzbekistan.

Teks lengkap artikel dengan ilustrasi berwarna dapat ditemukan di majalah “Fan va turmush” edisi berikutnya (artikel ditulis pada tahun 2008. EU) - “Ilmu Pengetahuan dan Kehidupan Uzbekistan”.

Peserta proyek

Nikiforov Kirill, siswa kelas 8

Rudneva Oksana, siswa kelas 8

Poturaeva Ksenia, siswa kelas 8

Topik penelitian

Mosaik Penrose

Pertanyaan bermasalah

Apa itu mosaik Penrose?

Hipotesis penelitian

Ada tesselasi non-periodik pada pesawat

Tujuan penelitian

Kenali mosaik Penrose dan cari tahu mengapa ini disebut mosaik “emas”.

Hasil

Mosaik Penrose

Ubin bidang menutupi seluruh bidang dengan bentuk yang tidak tumpang tindih. Dalam matematika, masalah mengisi seluruh bidang dengan poligon tanpa celah atau tumpang tindih disebut parket atau mosaik. Mungkin, minat terhadap pengerasan jalan pertama kali muncul sehubungan dengan konstruksi mosaik, ornamen, dan pola lainnya. Bahkan orang Yunani kuno pun tahu bahwa masalah ini mudah diselesaikan dengan menutupi bidang dengan segitiga beraturan, bujur sangkar, dan segi enam.

Ubin bidang ini disebut periodik. Nanti kita belajar cara membuat ubin menggunakan kombinasi beberapa poligon beraturan.

Tugas yang lebih sulit adalah pembuatan parket yang tidak cukup “benar” atau “hampir” berkala. Untuk waktu yang lama masalah ini diyakini tidak ada solusinya. Namun, pada tahun 60an abad yang lalu hal ini akhirnya terpecahkan, tetapi hal ini membutuhkan sekumpulan ribuan poligon dari berbagai jenis. Selangkah demi selangkah, jumlah spesies berkurang, dan akhirnya, pada pertengahan tahun 1970-an, Profesor Roger Penrose dari Universitas Oxford, seorang ilmuwan terkemuka di zaman kita, yang aktif bekerja di berbagai bidang matematika dan fisika, memecahkan masalah tersebut hanya dengan menggunakan dua jenis. dari belah ketupat.

Roger Penrose

Kami menyelidiki metode pembuatan mosaik semacam itu, yang sekarang disebut mosaik Penrose. Untuk melakukan ini, gambarlah diagonal dalam segi lima beraturan (pentagon). Kami mendapatkan segi lima baru dan dua jenis segitiga sama kaki, yang disebut "emas". Rasio pinggul dan alas segitiga tersebut sama dengan proporsi "emas". Sudut-sudut dalam segitiga adalah 36°, 72° dan 72° pada satu segitiga dan 108°, 36° dan 36° pada segitiga lainnya. Mari kita hubungkan dua segitiga identik dan dapatkan belah ketupat "emas". Ilmuwan menggunakannya dalam konstruksi parket, dan parket itu sendiri disebut “emas”.

Mosaik Penrose

Mosaik penrose memiliki sifat sebagai berikut:

1. perbandingan jumlah belah ketupat tipis dengan jumlah belah ketupat tebal selalu sama dengan apa yang disebut bilangan “emas” 1,618...