सममितीय मोज़ेक. पेनरोज मोज़ेक तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम - मॉडेल आणि क्वासिक्रिस्टल्स. वेगवेगळ्या देशांतील मोज़ाइक

पेनरोज मोज़ेक तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम - मॉडेल आणि क्वासिक्रिस्टल्स

विद्यार्थी
व्लादिमीर स्टेट युनिव्हर्सिटीचे नाव

ए.जी. आणि, शैक्षणिक संस्था,
भौतिकशास्त्र आणि गणित विद्याशाखा, व्लादिमीर, रशिया
ईमेल:*****@****com

क्वासिक्रिस्टल्स हे तुलनेने अलीकडेच सापडलेले घन, क्रिस्टल्स आणि अनार्फस सॉलिड्समधील मध्यवर्ती प्रकार आहेत. त्यांची घटना 1982 मध्ये प्रायोगिकरित्या शोधलेल्या पदार्थांशी संबंधित आहे जे कार्यात्मक ब्रॅग शिखरांसह विवर्तन पॅटर्न देतात आणि अनुवाद जाळीशी विसंगत सममिती देतात. त्यांच्या शोधासाठी, इस्रायली भौतिकशास्त्रज्ञ आणि रसायनशास्त्रज्ञ डॅन शेटमन यांना 2011 मध्ये नोबेल पारितोषिक मिळाले.

दीर्घ-श्रेणी क्रमासह नॉन-पीरियडिक पॉइंट सिस्टम सहसा क्वासिक्रिस्टल्सचे गणितीय मॉडेल म्हणून वापरले जातात. असे गणितीय क्वासिक्रिस्टल्स, भौतिक गोष्टींपेक्षा वेगळे, कोणत्याही परिमाणात परिभाषित केले जाऊ शकतात.

क्वासिक्रिस्टलचे द्विमितीय मॉडेल म्हणजे पेनरोज मोज़ेक, ज्याचा गणितज्ञांनी क्वासिक्रिस्टल्सचा शोध लागण्यापूर्वीच केला होता. पेनरोज मोज़ेक हे नियतकालिक विभाजन नाही, कारण ते कोणत्याही समांतर हस्तांतरण - भाषांतरांद्वारे स्वतःमध्ये रूपांतरित होत नाही. तथापि, त्यामध्ये एक कठोर क्रम आहे, हे विभाजन बांधण्यासाठी अल्गोरिदमद्वारे निर्धारित केले जाते.

गणितीय quasicrystals परिभाषित करण्यासाठी अनेक दृष्टिकोन आहेत. सर्वात सुप्रसिद्ध दृष्टीकोन उच्च-आयामी स्पेसेसमधून कमी-आयामी स्पेसमध्ये जाळी प्रोजेक्ट करण्यावर आधारित आहे, ज्याला "मॉडेल सेट" म्हणतात. पेनरोज टाइलिंगवर लागू केल्यावर, या पद्धतीला बाकी पद्धत म्हणतात.

सैद्धांतिक दृष्टिकोनातून आणि संगणक अल्गोरिदमच्या दृष्टिकोनातून क्वासिक्रिस्टल्सच्या विवर्तन पद्धतीचा अभ्यास आणि विश्लेषण करण्यासाठी ही पद्धत सर्वात सोयीस्कर आहे. या विश्लेषणाच्या आधारे, क्वासिक्रिस्टल्सच्या गुणधर्मांबद्दल पुढील निष्कर्ष काढले जाऊ शकतात.

पेनरोझ मोज़ेकच्या गुणधर्मांचे विश्लेषण करण्यासाठी, आम्ही बाकी अल्गोरिदम वापरून एक संगणक प्रोग्राम लिहिला, ज्यानुसार विंडो निर्धारित केली जाते https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, कुठे .

https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , सोनेरी गुणोत्तर कुठे आहे हे सेट करते. नंतर बिंदूंचे अंदाज मॉडेल संच खालीलप्रमाणे असेल: आणि जेथे https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">. शिरोबिंदू एका काठाने जोडलेले असतात जेव्हा त्यांच्यातील अंतर 1 असते. अशा प्रकारे, वरील अल्गोरिदम वापरून पेनरोझ मोज़ेक तयार केला जातो.

आम्हाला आढळले की बाकीची पद्धत पूर्णपणे अचूक नाही आणि परिणामी विभाजन पेनरोझ विभाजन नाही, कारण विभाजनाचे “अतिरिक्त” शिरोबिंदू आणि कडा दिसतात. असे दिसून आले की हे बांधकाम पंचकोनच्या शिरोबिंदू आणि सीमांपर्यंत योग्य आहे.

संगणक प्रयोग वापरून, बाकी पद्धत परिष्कृत करणे शक्य झाले, परिणामी पेनरोज मोज़ेक (चित्र 1):

Fig.1 बाकी अल्गोरिदममधील बदल वापरून प्राप्त केलेले पेनरोज मोज़ेक

पेनरोज टाइलिंग बांधण्यासाठी वर वर्णन केलेल्या पद्धतीला पेनरोज टाइलिंगचे कमकुवत पॅरामीटरायझेशन म्हणतात.

आणखी एक बांधकाम पद्धत आहे - विभाजन शिरोबिंदूंचे सशक्त पॅरामीटरायझेशन, जेथे आपण दिलेल्या शिरोबिंदूचे पॅरामीटर वापरून शेजारच्या शिरोबिंदूंचे मापदंड मिळवू शकता. पॅरामीटर्सचा संपूर्ण संच बहुभुजांमध्ये विभागलेला आहे, ज्यामध्ये प्रत्येक बिंदूचे प्रथम स्थानिक वातावरण अद्वितीयपणे परिभाषित केले आहे, तसेच बिंदूला शेजारच्या बिंदूंशी जोडणारा वेक्टर असलेला तारा.

1973 मध्ये, इंग्लिश गणितज्ञ रॉजर पेनरोज यांनी भौमितिक आकारांचे एक विशेष मोज़ेक तयार केले, जे पेनरोझ मोज़ेक म्हणून ओळखले जाऊ लागले.
पेनरोज मोज़ेक हा दोन विशिष्ट आकारांच्या (थोडे वेगळे समभुज चौकोन) बहुभुज टाइल्समधून एकत्रित केलेला नमुना आहे. ते अंतर न ठेवता अंतहीन विमान तयार करू शकतात.

पेनरोज मोज़ेक त्याच्या निर्मात्यानुसार.
हे दोन प्रकारच्या समभुज चौकोनांपासून एकत्र केले जाते,
एक 72 अंशांचा कोन, दुसरा 36 अंशांचा कोन.
चित्र सममितीय आहे, परंतु नियतकालिक नाही.

परिणामी प्रतिमा असे दिसते की हे काही प्रकारचे "लयबद्ध" अलंकार आहे - अनुवादात्मक सममिती असलेले चित्र. या प्रकारच्या सममितीचा अर्थ असा आहे की आपण एका पॅटर्नमध्ये विशिष्ट तुकडा निवडू शकता जो विमानात "कॉपी" केला जाऊ शकतो आणि नंतर समांतर हस्तांतरणाद्वारे हे "डुप्लिकेट" एकमेकांशी एकत्र करू शकता (दुसऱ्या शब्दात, रोटेशनशिवाय आणि मोठे न करता).

तथापि, आपण बारकाईने पाहिल्यास, आपण पाहू शकता की पेनरोझ पॅटर्नमध्ये अशा पुनरावृत्ती संरचना नाहीत - ते एपिरिओडिक आहे. परंतु बिंदू हा ऑप्टिकल भ्रम नाही, परंतु मोज़ेक गोंधळलेला नाही हे तथ्य: त्यात पाचव्या क्रमाची रोटेशनल सममिती आहे.

याचा अर्थ असा की प्रतिमा 360 / n अंशांच्या किमान कोनाने फिरविली जाऊ शकते, जेथे n हा सममितीचा क्रम आहे, या प्रकरणात n = 5. म्हणून, रोटेशन कोन, जो काहीही बदलत नाही, एक बहुविध असणे आवश्यक आहे. 360 / 5 = 72 अंश.

सुमारे एक दशकापर्यंत, पेनरोजचा शोध हा एक गोंडस गणिती अमूर्त व्यतिरिक्त काहीही मानला जात नव्हता. तथापि, 1984 मध्ये, इस्त्राईल इन्स्टिट्यूट ऑफ टेक्नॉलॉजी (तंत्रज्ञान) येथील प्राध्यापक डॅन शेचमन यांनी अॅल्युमिनियम-मॅग्नेशियम मिश्र धातुच्या संरचनेचा अभ्यास करताना शोधून काढले की या पदार्थाच्या अणू जाळीवर विवर्तन होते.

सॉलिड स्टेट फिजिक्समध्ये अस्तित्वात असलेल्या पूर्वीच्या कल्पनांनी ही शक्यता वगळली: विवर्तन पॅटर्नच्या संरचनेत पाचव्या क्रमाची सममिती आहे. त्याचे भाग समांतर हस्तांतरणाद्वारे एकत्र केले जाऊ शकत नाहीत, याचा अर्थ असा की तो क्रिस्टल नाही. पण विवर्तन हे क्रिस्टल जाळीचे वैशिष्ट्य आहे! शास्त्रज्ञांनी मान्य केले की या पर्यायाला क्वासिक्रिस्टल्स म्हटले जाईल - पदार्थाच्या विशेष स्थितीसारखे काहीतरी. बरं, शोधाचे सौंदर्य हे आहे की त्यासाठी एक गणितीय मॉडेल फार पूर्वीपासून तयार होते - पेनरोज मोज़ेक.

आणि अगदी अलीकडे हे स्पष्ट झाले की हे गणितीय बांधकाम एखाद्याच्या कल्पनेपेक्षा खूप जुने आहे. 2007 मध्ये, पीटर जे. लू, हार्वर्ड विद्यापीठातील भौतिकशास्त्रज्ञ, पॉल जे. स्टीनहार्ट, परंतु प्रिन्सटन विद्यापीठातील, इतर भौतिकशास्त्रज्ञांसह, मोझॅक पेनरोजवर विज्ञानात एक लेख प्रकाशित केला. असे दिसते की येथे थोडेसे अनपेक्षित आहे: क्वासिक्रिस्टल्सच्या शोधामुळे या विषयात उत्सुकता निर्माण झाली, ज्यामुळे वैज्ञानिक प्रेसमध्ये प्रकाशनांचा समूह दिसू लागला.

तथापि, कामाचे वैशिष्ट्य म्हणजे ते आधुनिक विज्ञानाला समर्पित नाही. आणि सर्वसाधारणपणे - विज्ञान नाही. पीटर लूने मध्ययुगात बांधलेल्या आशियातील मशिदींचा समावेश असलेल्या नमुन्यांकडे लक्ष वेधले. हे सहज ओळखता येण्याजोगे डिझाईन्स मोज़ेक टाइल्सपासून बनविलेले आहेत. त्यांना गिरिही ("नॉट" साठी अरबी शब्दापासून) म्हटले जाते आणि ते इस्लामिक कलेचे वैशिष्ट्यपूर्ण आणि बहुभुज आकार असलेले एक भौमितिक डिझाइन आहे.

15 व्या शतकातील अरबी हस्तलिखितामध्ये दर्शविलेल्या टाइल लेआउटचे उदाहरण.
संशोधकांनी पुनरावृत्ती होणारी क्षेत्रे हायलाइट करण्यासाठी रंगांचा वापर केला.
सर्व भौमितिक नमुने या पाच घटकांच्या आधारे तयार केले जातात.
मध्ययुगीन अरब मास्टर्स. पुनरावृत्ती घटक
टाइलच्या सीमांशी एकरूप होणे आवश्यक नाही.

इस्लामिक अलंकारात दोन शैली आहेत: भौमितिक - गिरिख आणि फुलांचा - इस्लामी.
गिरिख(pers.) - आयताकृती आणि बहुभुज आकारांमध्ये शैलीबद्ध केलेल्या रेषांनी बनलेला एक जटिल भौमितिक नमुना. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, ते मोठ्या प्रकाशनांमध्ये मशिदी आणि पुस्तकांच्या बाह्य सजावटीसाठी वापरले जाते.
इस्लामी(pers.) – बाइंडवीड आणि सर्पिल यांच्या मिश्रणावर बांधलेला एक प्रकारचा अलंकार. सदैव विकसित होणाऱ्या फुलांच्या पर्णसंभाराच्या कल्पनेला शैलीबद्ध किंवा नैसर्गिक स्वरूपात मूर्त रूप देते आणि त्यात अनेक प्रकारचे पर्याय समाविष्ट आहेत. हे कपडे, पुस्तके, मशिदींच्या अंतर्गत सजावट आणि पदार्थांमध्ये सर्वात व्यापक आहे.

1306-1315 च्या कुराणचे मुखपृष्ठ आणि भौमितिक तुकड्यांचे रेखाचित्र,
ज्यावर नमुना आधारित आहे. ही आणि खालील उदाहरणे जुळत नाहीत
पेनरोज जाळी, परंतु पाचव्या क्रमाची रोटेशनल सममिती आहे

पीटर लूच्या शोधापूर्वी, असे मानले जात होते की प्राचीन वास्तुविशारदांनी शासक आणि होकायंत्र (प्रेरणेने नसल्यास) वापरून गिरिहा नमुने तयार केले. तथापि, काही वर्षांपूर्वी, उझबेकिस्तानमध्ये प्रवास करताना, लूला स्थानिक मध्ययुगीन वास्तुकला सुशोभित करणार्‍या मोज़ेक नमुन्यांमध्ये रस निर्माण झाला आणि त्यांच्याबद्दल काहीतरी परिचित दिसले. हार्वर्डला परत आल्यावर, शास्त्रज्ञाने अफगाणिस्तान, इराण, इराक आणि तुर्कस्तानमधील मध्ययुगीन इमारतींच्या भिंतींवर मोज़ाइकमधील समान स्वरूपांचे परीक्षण करण्यास सुरवात केली.

हे उदाहरण नंतरच्या काळातील आहे - 1622 (भारतीय मशीद).
ते आणि त्याच्या संरचनेचे रेखाचित्र पाहून, कठोर परिश्रमाची प्रशंसा केल्याशिवाय कोणीही मदत करू शकत नाही
संशोधक आणि, अर्थातच, मास्टर्स स्वतः.

पीटर लूने शोधून काढले की गिरिखांचे भौमितिक नमुने जवळजवळ सारखेच होते आणि ते सर्व भूमितीय रचनांमध्ये वापरलेले मूलभूत घटक ओळखण्यास सक्षम होते. याव्यतिरिक्त, त्याला या प्रतिमांची रेखाचित्रे प्राचीन हस्तलिखितांमध्ये सापडली, जी प्राचीन कलाकारांनी भिंती सजवण्यासाठी एक प्रकारची चीट शीट म्हणून वापरली.
हे नमुने तयार करण्यासाठी, त्यांनी साधे, यादृच्छिकपणे शोधलेले आकृतिबंध वापरले नाहीत, परंतु विशिष्ट क्रमाने मांडलेल्या आकृत्या वापरल्या. प्राचीन नमुने पेनरोझ मोज़ेकचे अचूक बांधकाम असल्याचे दिसून आले!

या प्रतिमा समान क्षेत्रे हायलाइट करतात,
जरी ही विविध मशिदींमधील छायाचित्रे आहेत

इस्लामिक परंपरेत, लोक आणि प्राण्यांच्या चित्रणावर कठोर बंदी होती, म्हणून इमारतींच्या डिझाइनमध्ये भौमितिक नमुने खूप लोकप्रिय झाले. मध्ययुगीन मास्टर्सने ते वैविध्यपूर्ण बनवले. पण त्यांच्या "रणनीती" चे रहस्य काय आहे हे कोणालाही माहिती नव्हते. तर, रहस्य हे विशेष मोज़ाइकच्या वापरामध्ये असल्याचे दिसून येते जे सममितीय राहून, स्वतःची पुनरावृत्ती न करता विमान भरू शकते.

या प्रतिमांची आणखी एक "युक्ती" अशी आहे की, विविध मंदिरांमध्ये रेखाचित्रांनुसार अशा योजना "कॉपी" करून, कलाकारांना अपरिहार्यपणे विकृतीस परवानगी द्यावी लागेल. परंतु या स्वरूपाचे उल्लंघन अत्यल्प आहे. हे केवळ या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केले जाऊ शकते की मोठ्या प्रमाणात रेखाचित्रे काढण्यात काही अर्थ नव्हता: मुख्य गोष्ट म्हणजे चित्र तयार करणे हे तत्त्व होते.

गिरिखांना एकत्र करण्यासाठी, पाच प्रकारच्या फरशा वापरल्या गेल्या (दहा- आणि पंचकोनी समभुज चौकोन आणि "फुलपाखरे"), ज्या त्यांच्यामध्ये मोकळी जागा न ठेवता एकमेकांना लागून असलेल्या मोज़ेकमध्ये एकत्र केल्या गेल्या. त्यांच्यापासून तयार केलेल्या मोझॅकमध्ये एकाच वेळी एकतर रोटेशनल आणि ट्रान्सलेशनल सममिती असू शकते किंवा फक्त पाचव्या क्रमाची रोटेशनल सममिती असू शकते (म्हणजे ते पेनरोझ मोज़ेक होते).

1304 च्या इराणी समाधीच्या दागिन्यांचा तुकडा. उजवीकडे - गिरिखांची पुनर्रचना

मध्ययुगीन मुस्लिम साइट्सच्या शेकडो छायाचित्रांचे परीक्षण केल्यानंतर, लू आणि स्टीनहार्ट हे ट्रेंड 13 व्या शतकापर्यंत पोहोचू शकले. हळूहळू या पद्धतीची लोकप्रियता वाढत गेली आणि 15 व्या शतकापर्यंत ती व्यापक झाली. डेटिंगचा अंदाजे राजवाडे, मशिदी आणि विविध बहुभुजांच्या आकारात चमकदार रंगीत सिरेमिक टाइल्ससह विविध महत्त्वाच्या इमारती सजवण्याच्या तंत्राच्या विकासाच्या कालावधीशी जुळते. म्हणजेच, विशेष आकाराच्या सिरेमिक टाइल्स विशेषतः गिरिखांसाठी तयार केल्या गेल्या.

संशोधकांनी इराणच्या इस्फहान शहरातील इमाम दर्ब-i चे अभयारण्य, 1453 पासूनचे, जवळजवळ आदर्श क्वासिक्रिस्टलाइन संरचनेचे उदाहरण मानले.

इस्फहान (इराण) मधील इमाम दर्ब-इच्या मंदिराचे पोर्टल.
येथे गिरिखांच्या दोन प्रणाली एकमेकांवर अधिभारित आहेत.

तुर्कीमधील मशिदीच्या अंगणातील स्तंभ (सुमारे १२००)
आणि इराणमधील मदरशाच्या भिंती (१२१९). ही सुरुवातीची कामे आहेत
आणि ते Lu द्वारे सापडलेले फक्त दोन संरचनात्मक घटक वापरतात

आता गिरिख आणि पेनरोझ मोज़ेकच्या इतिहासातील अनेक रहस्यांची उत्तरे शोधणे बाकी आहे. प्राचीन गणितज्ञांनी क्वासिक्रिस्टलाइन संरचना कशा आणि का शोधल्या? मध्ययुगीन अरबांनी मोझॅकला कलात्मक व्यतिरिक्त काही अर्थ दिला का? अशी मनोरंजक गणिती संकल्पना अर्ध्या सहस्राब्दीसाठी का विसरली गेली? आणि सर्वात मनोरंजक गोष्ट म्हणजे इतर कोणते आधुनिक शोध नवीन आहेत, जे खरं तर जुने विसरलेले आहेत?

पेनरोज मोज़ेक, पेनरोज टाइल्स - समतल नॉन-पीरियडिक डिव्हिजन, एपिरिओडिक रेग्युलर स्ट्रक्चर्स, दोन प्रकारच्या समभुज चौकोनांसह समतल टाइलिंग - 72° आणि 108° ("जाड समभुज चौकोन") आणि 36° आणि 144° (" पातळ समभुज चौकोन"), असे (प्रमाण "गोल्डन रेशो" च्या अधीन आहेत) की कोणतेही दोन समीप (म्हणजे एक सामाईक बाजू असलेले) समभुज चौकोन एकत्र समांतरभुज चौकोन तयार करत नाहीत.रॉजर पेनरोजच्या नावावरून, ज्यांना "टेसेलेशन" च्या समस्येमध्ये रस होता, म्हणजेच अंतर किंवा ओव्हरलॅपशिवाय समान आकाराच्या आकृत्यांसह विमान भरणे.

अशा सर्व टाइलिंग नॉन-पीरियडिक असतात आणि एकमेकांना स्थानिक पातळीवर समरूपी असतात (म्हणजे, एका पेनरोज टाइलिंगचा कोणताही मर्यादित तुकडा इतर कोणत्याही ठिकाणी आढळतो). "स्व-समानता" - आपण शेजारच्या मोज़ेक टाइल अशा प्रकारे एकत्र करू शकता की आपल्याला पुन्हा पेनरोज मोज़ेक मिळेल.

दोन टाइल्सपैकी प्रत्येकावर अनेक सेगमेंट काढले जाऊ शकतात जेणेकरुन मोज़ेक घालताना, या सेगमेंट्सची टोके संरेखित केली जातील आणि समांतर सरळ रेषांची अनेक कुटुंबे (अम्मान पट्टे) तयार होतील.

समीप समांतर रेषांमधील अंतर दोन भिन्न मूल्ये घेतात (आणि समांतर रेषांच्या प्रत्येक कुटुंबासाठी या मूल्यांचा क्रम स्वत: सारखा असतो).

पेनरोज टाइलिंग, ज्यामध्ये छिद्रे आहेत, मर्यादित क्षेत्रफळाची आकृती वगळता संपूर्ण विमान व्यापतात. काही (मर्यादित संख्या) फरशा काढून छिद्र मोठे करणे आणि नंतर उघडलेला भाग पूर्णपणे मोकळा करणे शक्य नाही.

ठराविक काळाने पुनरावृत्ती होणारा पॅटर्न तयार करणाऱ्या आकृत्यांसह टाइल टाकून समस्या सोडवली जाते, परंतु पेनरोजला अशी आकृती शोधायची होती की, जेव्हा विमानात टाइल लावल्यास, पुनरावृत्ती नमुने तयार होणार नाहीत. असे मानले जात होते की अशा कोणत्याही टाइल्स नाहीत ज्यातून केवळ नॉन-नियतकालिक मोज़ाइक बांधले जाऊ शकतात. पेनरोजने विविध आकारांच्या अनेक टाइल्स निवडल्या, शेवटी त्यापैकी फक्त 2 होत्या, ज्यात "सुवर्ण गुणोत्तर" होते, जे सर्व सुसंवादी संबंधांना अधोरेखित करते. 108° आणि 72° कोन असलेल्या या हिऱ्याच्या आकाराच्या आकृत्या आहेत. नंतर, "सुवर्ण त्रिकोण" च्या तत्त्वावर आधारित, आकृत्या एका साध्या समभुज चौकोनाच्या आकारात (36° आणि 144°) सरलीकृत केल्या गेल्या.

परिणामी नमुन्यांमध्ये 5व्या क्रमाची अक्षीय सममिती असलेला क्वासिक्रिस्टलाइन आकार असतो. मोज़ेकची रचना फिबोनाची क्रमाशी संबंधित आहे.
( विकिपीडिया)

पेनरोज मोज़ेक. पांढरा बिंदू 5व्या क्रमाच्या रोटेशनल सममितीचे केंद्र चिन्हांकित करतो: त्याच्याभोवती 72° फिरणे मोज़ेकचे स्वतःमध्ये रूपांतर करते.

चेन आणि मोज़ेक (विज्ञान आणि जीवन मासिक, 2005 क्रमांक 10)

प्रथम खालील आदर्श मॉडेलचा विचार करूया. समतोल स्थितीतील कण वाहतूक अक्ष z च्या बाजूने स्थित असू द्या आणि भौमितिक प्रगतीच्या नियमानुसार बदलत, चल कालावधीसह एक रेखीय साखळी तयार करू द्या:

аn = a1·Dn-1,

जेथे a1 हा कणांमधील प्रारंभिक कालावधी आहे, n हा कालावधीचा अनुक्रमांक आहे, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1.6180339… ही सुवर्ण प्रमाणाची संख्या आहे.

कणांची बांधलेली साखळी दीर्घ-श्रेणी सममिती क्रमासह एक-आयामी क्वासिक्रिस्टलचे उदाहरण म्हणून काम करते. रचना पूर्णपणे क्रमबद्ध आहे, अक्षावरील कणांच्या व्यवस्थेमध्ये एक पद्धतशीर नमुना आहे - त्यांचे निर्देशांक एका कायद्याद्वारे निर्धारित केले जातात. त्याच वेळी, कोणतीही पुनरावृत्तीक्षमता नसते - कणांमधील कालावधी भिन्न असतात आणि सतत वाढतात. म्हणून, परिणामी एक-आयामी संरचनेत अनुवादात्मक सममिती नसते आणि हे कणांच्या अव्यवस्थित व्यवस्थेमुळे (अनाकार रचनांप्रमाणे) नसून दोन समीप कालखंडांच्या अपरिमेय गुणोत्तरामुळे होते (डी ही अपरिमेय संख्या आहे).

क्वासिक्रिस्टलच्या मानल्या गेलेल्या एक-आयामी संरचनेची तार्किक निरंतरता ही एक द्विमितीय रचना आहे, ज्याचे वर्णन दोन भिन्न घटक, दोन प्राथमिक पेशी असलेले नॉन-पीरियडिक मोज़ेक (नमुने) तयार करण्याच्या पद्धतीद्वारे केले जाऊ शकते. हे मोज़ेक 1974 मध्ये ऑक्सफर्ड विद्यापीठातील सैद्धांतिक भौतिकशास्त्रज्ञाने विकसित केले होते. आर. पेनरोज.त्याला समान बाजू असलेले दोन समभुज चौकोनाचे मोज़ेक सापडले. अरुंद समभुज चौकोनाचे अंतर्गत कोन 36° आणि 144° आहेत आणि रुंद समभुज चौकोनाचे - 72° आणि 108° आहेत.

या समभुजांचे कोन सोनेरी गुणोत्तराशी संबंधित आहेत, जे x2 - x - 1 = 0 किंवा y2 + y - 1 = 0 या समीकरणाने बीजगणितानुसार व्यक्त केले जातात. या द्विघात समीकरणांची मुळे त्रिकोणमितीय स्वरूपात लिहिता येतात:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

समीकरणांच्या मुळांचे प्रतिनिधित्व करण्याचा हा अपारंपरिक प्रकार दर्शवितो की या समभुज चौकोनांना अरुंद आणि रुंद सोनेरी समभुज असे म्हटले जाऊ शकते.

पेनरोज मोज़ेकमध्ये, अंतर किंवा ओव्हरलॅप न करता विमान सोनेरी समभुजांनी झाकलेले असते आणि ते लांबी आणि रुंदीमध्ये अमर्यादपणे वाढवता येते. परंतु अनंत मोज़ेक तयार करण्यासाठी, काही नियमांचे पालन करणे आवश्यक आहे, जे क्रिस्टल बनवणार्या समान प्राथमिक पेशींच्या नीरस पुनरावृत्तीपेक्षा लक्षणीय भिन्न आहेत. जर सोनेरी हिरे समायोजित करण्याच्या नियमाचे उल्लंघन केले गेले तर काही काळानंतर मोज़ेकची वाढ थांबेल, कारण न काढता येण्याजोग्या विसंगती दिसून येतील.

पेनरोजच्या अनंत मोज़ेकमध्ये, सोनेरी समभुज चौकोन कठोर नियतकालिकतेशिवाय व्यवस्थित केले जातात. तथापि, रुंद सोनेरी हिऱ्यांच्या संख्येचे आणि अरुंद सोनेरी हिऱ्यांच्या संख्येचे गुणोत्तर सोनेरी संख्या D = (1 + √5)/2= = 1.6180339 …. D संख्या अपरिमेय असल्याने, अशा मोज़ेकमध्ये प्रत्येक प्रकारच्या समभुजांच्या पूर्णांक संख्येसह प्राथमिक सेल निवडणे अशक्य आहे, ज्याचे भाषांतर संपूर्ण मोज़ेक मिळवू शकते.

पेनरोज मोज़ेकमध्ये मनोरंजक गणिताची वस्तू म्हणून स्वतःचे विशेष आकर्षण आहे. या समस्येच्या सर्व पैलूंमध्ये न जाता, आम्ही लक्षात घेतो की अगदी पहिली पायरी - मोज़ेक तयार करणे - खूप मनोरंजक आहे, कारण त्यासाठी लक्ष, संयम आणि विशिष्ट बुद्धिमत्ता आवश्यक आहे. आणि आपण मोज़ेक बहु-रंगीत केल्यास आपण बरीच सर्जनशीलता आणि कल्पनाशक्ती दर्शवू शकता. रंग, जे ताबडतोब गेममध्ये बदलते, असंख्य मूळ मार्गांनी केले जाऊ शकते, त्यातील भिन्नता चित्रांमध्ये (खाली) सादर केल्या आहेत. पांढरा बिंदू मोज़ेकच्या मध्यभागी चिन्हांकित करतो, एक परिभ्रमण ज्याभोवती 72° ने ते स्वतःमध्ये बदलते.

पेनरोज मोज़ेक हे विविध विषयांच्या छेदनबिंदूवर स्थित एक सुंदर बांधकाम कसे आवश्यक आहे याचे एक उत्कृष्ट उदाहरण आहे. जर नोडल पॉइंट्स अणूंनी बदलले असतील, तर पेनरोज मोज़ेक द्विमितीय क्वासिक्रिस्टलचे एक चांगले अॅनालॉग बनते, कारण त्यात पदार्थाच्या या अवस्थेचे अनेक गुणधर्म आहेत. आणि म्हणूनच.

प्रथम, मोज़ेकचे बांधकाम एका विशिष्ट अल्गोरिदमनुसार अंमलात आणले जाते, परिणामी ते यादृच्छिक नसून ऑर्डर केलेली रचना असल्याचे दिसून येते. त्याचा कोणताही मर्यादित भाग संपूर्ण मोज़ेकमध्ये असंख्य वेळा आढळतो.

दुसरे म्हणजे, मोज़ेकमध्ये आपण अनेक नियमित दशभुजांमध्ये फरक करू शकतो ज्यांचे अभिमुखता अगदी समान आहे. ते एक लांब-श्रेणी ओरिएंटेशनल ऑर्डर तयार करतात, ज्याला क्वासिपेरियोडिक म्हणतात. याचा अर्थ असा की दूरच्या मोज़ेक स्ट्रक्चर्समध्ये परस्परसंवाद आहे जो हिऱ्यांचे स्थान आणि सापेक्ष अभिमुखता एक अतिशय विशिष्ट, संदिग्ध, मार्गाने समन्वयित करतो.

तिसरे म्हणजे, तुम्ही क्रमाने सर्व समभुज चौकोनांवर कोणत्याही निवडलेल्या दिशेला समांतर बाजूंनी रंग दिल्यास, त्या तुटलेल्या रेषांची मालिका तयार करतील. या तुटलेल्या रेषांसह, तुम्ही एकमेकांपासून अंदाजे समान अंतरावर सरळ समांतर रेषा काढू शकता. या मालमत्तेबद्दल धन्यवाद, आम्ही पेनरोज मोज़ेकमधील काही अनुवादात्मक सममितीबद्दल बोलू शकतो.

चौथे, अनुक्रमे छायांकित हिरे 72° च्या पटीत असलेल्या कोनात छेदणाऱ्या समान समांतर रेषांची पाच कुटुंबे बनवतात. या तुटलेल्या रेषांच्या दिशा नियमित पंचकोनच्या बाजूंच्या दिशानिर्देशांशी संबंधित आहेत. म्हणून, पेनरोझ मोज़ेकमध्ये काही प्रमाणात, 5 व्या क्रमाची घूर्णन सममिती आहे आणि या अर्थाने क्वासिक्रिस्टल सारखीच आहे.

दृश्ये: 367

सायन्स मासिकाच्या फेब्रुवारी 2007 च्या अंकात, अमेरिकन शास्त्रज्ञ पीटर लू आणि पॉल स्टीनहार्ट यांचा मध्ययुगीन इस्लामिक वास्तुकलावर एक लेख प्रकाशित झाला, जो लगेचच एक वैज्ञानिक खळबळ बनला. लेखाच्या लेखकांच्या मते, मध्ययुगीन समाधी, मशिदी आणि राजवाडे यांच्या भिंती सजवणारे मोज़ेक नमुने केवळ विसाव्या शतकाच्या 70 च्या दशकात युरोपियन शास्त्रज्ञांनी शोधलेल्या गणितीय कायद्यांचा वापर करून तयार केले गेले. येथून, हे स्पष्टपणे खालीलप्रमाणे आहे की मध्ययुगीन वास्तुविशारद त्यांच्या युरोपियन सहकाऱ्यांपेक्षा कित्येक शतके पुढे होते.

हा शोध, आधुनिक विज्ञानातील अनेक गोष्टींप्रमाणे, पूर्णपणे अपघाताने झाला. 2005 मध्ये हार्वर्ड विद्यापीठाचा पदवीधर विद्यार्थी पीटर लू पर्यटक म्हणून उझबेकिस्तानला आला होता. बुखारा येथील अब्दुल्लाखान समाधीच्या भिंतीच्या सजावटीचे कौतुक करून, त्यांनी त्यात जटिल भौमितिक रचनांचे एक अॅनालॉग पाहिले ज्याचा त्याने एकदा विद्यापीठात अभ्यास केला होता. असंख्य समरकंद अलंकारांवरील नमुन्यांची विचित्र रूपे केवळ त्याच्या अंदाजाच्या अचूकतेची पुष्टी करतात. घरी परतल्यावर, त्यांनी प्रिन्सटन युनिव्हर्सिटीचे प्रोफेसर पॉल स्टेनहार्ट यांना त्यांच्या शोधाबद्दल सांगितले.

उझबेकिस्तान, अफगाणिस्तान, इराण, इराक, तुर्कस्तान आणि भारतातील मध्ययुगीन मुस्लिम वास्तुशिल्प स्मारकांच्या भिंतीवरील चित्रांच्या संरचनेचा आणि अलंकाराचा सखोल अभ्यास केल्याने पीटर लूच्या अंदाजाच्या अचूकतेची पुष्टी झाली आणि वर उल्लेख केलेल्या सनसनाटी लेखाचा विषय बनला.

पीटर लू आणि पॉल स्टीनहाडच्या शोधाचा अर्थ समजून घेण्यासाठी, एखाद्याने पार्केट समस्या, क्वासिक्रिस्टलाइन रचना, सुवर्ण संख्या इत्यादीसारख्या संकल्पनांशी परिचित व्हायला हवे. म्हणून, क्रमाने सादरीकरण सुरू करूया.

पर्केट समस्या आणि पेनरोज संरचना

गणितामध्ये, अंतर किंवा ओव्हरलॅप न करता बहुभुजांसह विमान पूर्णपणे भरण्याच्या समस्येला म्हणतात parquets. अगदी प्राचीन ग्रीक लोकांना देखील माहित होते की नियमित त्रिकोण, चौरस आणि षटकोनी सह विमान झाकून ही समस्या सहजपणे सोडवली जाते.

त्याच वेळी, नियमित पेंटागॉन पर्केटचे प्राथमिक घटक म्हणून काम करू शकत नाहीत, कारण ते अंतराशिवाय विमानात एकमेकांना घट्ट बसवता येत नाहीत. सात-, आठ-, नऊ-, दहा-, इत्यादींबद्दलही असेच म्हणता येईल. चौरस हळूहळू, वेगवेगळ्या प्रकारच्या आणि आकारांच्या नियमित बहुभुजांसह विमान भरण्याचे मार्ग शोधले गेले. उदाहरणार्थ, वेगवेगळ्या आकाराचे चतुर्भुज आणि अष्टकोन एकत्र करून तुम्ही विमान कसे भरू शकता:

या समस्येचा एक अधिक गुंतागुंतीचा विकास ही परिस्थिती होती की अनेक प्रकारच्या बहुभुजांनी बनलेली आणि पूर्णपणे विमानाला झाकून ठेवणारी पार्केटची रचना अगदी "नियमित" किंवा "जवळजवळ" नियतकालिक असणार नाही. बर्याच काळापासून असे मानले जात होते की या समस्येचे कोणतेही निराकरण नाही. तथापि, गेल्या शतकाच्या 60 च्या दशकात ते शेवटी सोडवले गेले, परंतु यासाठी विविध प्रकारच्या हजारो बहुभुजांचा संच आवश्यक आहे. टप्प्याटप्प्याने, प्रजातींची संख्या कमी झाली आणि शेवटी, 70 च्या दशकाच्या मध्यात, ऑक्सफर्ड विद्यापीठाचे प्राध्यापक रॉजर पेनरोज यांनी फक्त दोन प्रकारचे हिरे वापरून समस्या सोडवली. खाली 72 आणि 36° च्या तीव्र कोनांसह समभुज चौकोनांनी समतल भरणारा quasiperiodic (म्हणजे जवळजवळ नियतकालिक) प्रकार दर्शविला आहे. त्यांना "जाड" आणि "पातळ" हिरे देखील म्हणतात.

हिरे व्यवस्थित करताना नॉन-नियतकालिक नमुना प्राप्त करण्यासाठी, आपण त्यांच्या संयोजनासाठी काही गैर-क्षुल्लक नियमांचे पालन केले पाहिजे. असे दिसून आले की या उशिर साध्या संरचनेत खूप मनोरंजक गुणधर्म आहेत. उदाहरणार्थ, जर आपण पातळ समभुजांच्या संख्येचे जाड समभुजांच्या संख्येचे गुणोत्तर घेतले तर ते नेहमी तथाकथित “गोल्डन रेशो” 1.618 च्या बरोबरीचे असते... कारण ही संख्या “अचूक नाही” आहे. , आणि गणितज्ञ म्हणतात त्याप्रमाणे, तर्कहीन, रचना नियतकालिक नसून जवळजवळ नियतकालिक असल्याचे दिसून येते. शिवाय, ही संख्या दशकोनमधील विभागांमधील संबंध निर्धारित करते जे पाच-बिंदू तारा बनवतात - एक पेंटाग्राम, ज्याला आदर्श प्रमाणांसह एक भौमितिक आकृती मानली जाते. लक्षात घ्या की हायलाइट केलेल्या दशकोनमध्ये समान अभिमुखता आहे, जे पेनरोज टाइलिंग बनवणाऱ्या हिऱ्यांच्या व्यवस्थेचे समन्वय आणि व्याख्या करते. हे आश्चर्यकारक आहे की हे पूर्णपणे भौमितिक बांधकाम 1984 मध्ये सापडलेल्या क्वासिक्रिस्टल्सचे वर्णन करण्यासाठी सर्वात योग्य गणितीय मॉडेल ठरले.

quasicrystals काय आहेत

शास्त्रज्ञांच्या शुद्ध कल्पनेचे फळ असलेल्या गणितीय बांधकामाला अनपेक्षितपणे महत्त्वाचे व्यावहारिक उपयोग कसे मिळाले याबद्दल आणखी एक मनोरंजक कथा सांगण्यासाठी आम्ही हा विभाग आमच्या लेखात समाविष्ट केला आहे.

निसर्गातील सर्व पदार्थ दोन प्रकारांमध्ये विभागले जाऊ शकतात: अनाकार, ज्यामध्ये अणूंच्या परस्पर व्यवस्थेमध्ये नियमितता नसते आणि क्रिस्टलीय, त्यांच्या काटेकोरपणे ऑर्डर केलेल्या व्यवस्थेद्वारे वैशिष्ट्यीकृत. क्रिस्टलोग्राफीच्या नियमांवरून असे दिसून येते की क्रिस्टल्ससाठी फक्त पहिल्या, द्वितीय, तृतीय, चौथ्या आणि सहाव्या ऑर्डरचे सममिती अक्ष शक्य आहेत, म्हणजे. पार्केटच्या सादृश्यतेनुसार, पाचव्या क्रमाची सममिती असलेले क्रिस्टल्स निसर्गात अस्तित्वात असू शकत नाहीत. ही परिस्थिती बहुआयामी अवकाशातील गटांच्या गणितीय सिद्धांताच्या आधारे काटेकोरपणे सिद्ध झाली. परंतु निसर्ग, नेहमीप्रमाणेच, अधिक कल्पक असल्याचे दिसून आले आणि 1984 मध्ये शेखमनच्या गटाचे कार्य प्रकाशित झाले, ज्यामध्ये पाचव्या क्रमाच्या रोटेशनल सममितीसह अॅल्युमिनियम-मॅंगनीज मिश्र धातुचा शोध नोंदवला गेला. त्यानंतर, आतापर्यंत अज्ञात गुणधर्मांसह अनेक समान मिश्रधातूंचे संश्लेषण केले गेले. या मिश्रधातूंना क्वासिक्रिस्टल्स म्हटले जात होते, आणि आता ते पदार्थाच्या आकारहीन आणि स्फटिकासारखे मध्यवर्ती मानले जातात.

या शोधामुळेच पेनरोसचे भौमितिक बांधकाम, जे क्वासिक्रिस्टल्सच्या संरचनेचे मॉडेलिंग करण्यासाठी सर्वात योग्य साधन ठरले, त्याला खूप लोकप्रियता मिळाली आणि पुढे विकसित केले गेले. आणि म्हणूनच विद्यापीठाच्या अभ्यासक्रमांमध्ये त्याचा समावेश केला जातो. सध्या, पेनरोज मोज़ेकचे त्रि-आयामी सामान्यीकरण आधीच प्राप्त झाले आहे, पातळ आणि जाड समभुज चौकोनांनी बनलेले आहे - षटकोनी आकृत्या, ज्याचा प्रत्येक चेहरा समभुज चौकोन आहे.

मध्ययुगीन मोज़ेक कोणत्या भूमितीत अंतर्भूत आहेत

सुमारे 3,700 मोझॅक टाइल्सचे विश्लेषण केल्यानंतर, लू आणि स्टीनहार्ट या निष्कर्षापर्यंत पोहोचले की 13 व्या शतकाच्या शेवटी, पाच बहुभुजांच्या संचाने बनलेल्या नियतकालिक मोझॅकसह समाधी, मशिदी आणि इतर इमारती सजवण्याचे तंत्रज्ञान, म्हणजे एक दशभुज, एक षटकोनी, आणि धनुष्य बांध, मुस्लिम देशांमध्ये पसरले होते. (लेखाच्या लेखकांची संज्ञा), पंचकोन आणि समभुज चौकोन. हे मूलत: पाच "मुस्लिम" बहुभुजांचा संच वापरून वर वर्णन केलेल्या पार्केट समस्येचे निराकरण होते. अशा बहुभुजांनी बनलेल्या नमुन्यांना “गिरीख” (पर्शियनमधून - गाठ) म्हणतात.

कृपया लक्षात घ्या की सर्व बहुभुजांचे चेहरे समान परिमाण आहेत, जे त्यांना कोणत्याही बाजूला जोडण्याची परवानगी देतात. याव्यतिरिक्त, प्रत्येक बहुभुज टाइलमध्ये सजावटीच्या रेषा असतात, परंतु त्या कठोर भौमितीय नियमांनुसार काढल्या जातात: कोणत्याही दोन पॅटर्न रेषा प्रत्येक बाजूच्या मध्यभागी 72 किंवा 108° च्या कोनात एकत्र येतात, म्हणजे. 36° च्या गुणाकार. हे सुनिश्चित करते की तुम्ही एका टाइलवरून दुसर्‍या टाइलवर जाताना नमुना सुसंगत राहील.

असे मोज़ेक तयार करण्यासाठी, आपल्या विल्हेवाटीवर कंपास आणि शासक असणे पुरेसे होते. तसे, अमेरिकन शास्त्रज्ञांच्या शोधापूर्वी, असे मानले जात होते की मध्ययुगीन मास्टर्स, इमारतींची सजावट तयार करताना, शासक आणि होकायंत्र सारख्या फक्त सोप्या साधनांचा वापर करतात. हे पूर्णपणे खरे नाही हे आता उघड झाले आहे.

15 वे शतक हे तैमुरीड्सच्या अधिपत्याखालील देशांमध्ये विज्ञान आणि संस्कृतीच्या फुलांचा सर्वात सर्जनशील काळ आहे. याच वेळी अलंकार कलेमध्ये गुणात्मक झेप लागली. इराणमधील दरब-ए-इमामची समाधी, हेरातमधील हज अब्दुल्ला अन्सारी यांची समाधी आणि इतर तैमुरीद काळातील अनेक अभ्यासपूर्ण स्मारके या वस्तुस्थितीवरून याची पुष्टी होते.

यावेळी पारंपारिक बनलेल्या गिरिह मोज़ेकचे संयोजन आणि "बाण" आणि "पतंग" (पुन्हा लू आणि स्टीनहार्टच्या शब्दावलीत) भौमितिक आकृत्या तयार करणे शक्य झाले.

पेनरोज मोज़ेकची आठवण करून देणारे नॉन-पीरियडिक नमुने. यावरून असे दिसून येते की या वेळेपर्यंत ते अधिक अत्याधुनिक साधने वापरत असावेत, परंतु हे स्पष्ट आहे की 15 व्या शतकात सजावटीच्या तंत्रात वैचारिक झेप होती!

लेखाच्या प्रकाशनानंतर त्यानंतरच्या मुलाखतींमध्ये, लू आणि स्टीनहार्ट यांनी नमूद केले की मध्ययुगीन वास्तुविशारदांना त्यांच्या शोधाचे तपशील किती प्रमाणात समजले होते हे ते सांगू शकत नाहीत, परंतु ते पेनरोजच्या संरचनेचे अॅनालॉग म्हणून पाहतात. आणि त्यांना खात्री आहे की त्यांनी जे शोधून काढले तो काही यादृच्छिक योगायोग असू शकत नाही.

गेय विषयांतर

झाले आहे. आपल्या पूर्वजांच्या निर्मितीला अनोखे सौंदर्य देणार्‍या भौमितिक नमुन्यांची गुंतागुंत मी समजून घेण्यात यशस्वी झालो आणि मला आशा आहे की काही प्रमाणात आपल्या देशबांधवांची उत्सुकता पूर्ण होईल. अर्थात, एक प्रकारचा असंतोष कायम आहे, कारण मी देखील, समरकंदच्या दागिन्यांच्या सौंदर्याची आणि अभिजाततेची शेकडो वेळा प्रशंसा केली आहे. हा विचार माझ्या मनात का आला नाही? स्वत:चे औचित्य सिद्ध करण्यासाठी, मी एवढेच म्हणू शकतो की जेव्हा विद्यापीठ अभ्यासक्रमांमध्ये क्वासिपेरिओडिक पेनरोज रचना समाविष्ट करण्यात आली होती, तेव्हा मी माझ्या संकुचित वैशिष्ट्यामध्ये माझ्या पीएचडी थीसिसवर आधीपासूनच काम करत होतो. आणि पीटर लू फक्त 28 वर्षांचा आहे आणि तो आधीच विद्यापीठातील पेनरोज संरचनांमधून गेला आहे. अर्थात, पूर्णपणे अनपेक्षित ठिकाणी काही पॅटर्नचे प्रकटीकरण जाणून घेणे आणि ओळखणे या पूर्णपणे भिन्न गोष्टी आहेत, परंतु हे करण्यासाठी, आपल्याला किमान हे माहित असणे आवश्यक आहे की असा कायदा अस्तित्वात आहे.

पण हे विषयांतर याविषयी नाही. सायन्स मॅगझिनमधील लेखाचे सार समजून घेण्यासाठी मला दोन दिवस, किंवा त्याऐवजी दोन निद्रानाश रात्री लागल्या, परंतु मी हे आधी का केले नाही याची कारणे, मला एक खोल तात्विक अर्थ वाटतो. जेव्हा मी इंटरनेटवर लू आणि स्टीनहार्ट यांच्या लेखाबद्दल वाचले तेव्हा मी ताबडतोब माझ्या सहकाऱ्याला, भूमिती क्षेत्रातील तज्ञांना कॉल केला. त्याला काय चालले आहे ते लगेच समजले, परंतु विमानतळावर जाण्यापूर्वी मी त्याला पकडले आहे असे सांगून मला अस्वस्थ केले. तीन महिन्यांनंतर तो परदेशी व्यवसायाच्या सहलीवरून परत येत आहे हे समजल्यावर, मी त्याला किमान मला पेनरोजच्या रचनांबद्दल वाचता येईल अशा पुस्तकाची शिफारस करण्यास सांगितले. त्याने मला पुस्तक सांगितले आणि जोडले की हे खूप क्लिष्ट गणित आहे आणि सर्व काही पटकन समजणे शक्य नाही, सामान्य लोकांना ते लोकप्रियपणे समजावून सांगणे फारच कमी आहे. बहुआयामी अपरिवर्तनीय जागा, संयुग्मित अपरिमेय जागेचे घटक स्थान यासारख्या संकल्पनांनी भरलेल्या, मला शिफारस केलेल्या पुस्तकातून जेव्हा मी पान केले, तेव्हा माझा उत्साह पटकन ओसरला.

जाहोन वृत्तसंस्थेच्या वृत्तानंतर, या प्रकरणातील आपल्या वैज्ञानिकांचीच नव्हे तर वैज्ञानिक समुदायाची आवड हिमस्खलनासारखी वाढू लागली. अकादमी ऑफ सायन्सेस आणि नॅशनल युनिव्हर्सिटीच्या विद्वान लोकांमध्ये, अर्थातच, लाय बीजगणित, समूह सिद्धांत, बहुआयामी सममिती इत्यादी जटिल समस्या समजून घेणारे विशेषज्ञ होते. परंतु या गोष्टींचे लोकप्रियतेने स्पष्टीकरण करणे अशक्य आहे यावर ते सर्व एकमत होते. दुसऱ्या दिवशी अचानक एक क्षुल्लक विचार माझ्या मनात आला: थांब. परंतु मध्ययुगीन वास्तुविशारदांनी हे कसे केले, कारण त्यांच्याकडे आधुनिक गणिताचे सर्वात शक्तिशाली उपकरण नव्हते? यावेळी मी पेनरोज क्वासिपेरिओडिक संरचनेच्या जटिल गणिती उपकरणाद्वारे हे समजून घेण्याचा प्रयत्न करण्याचा निर्णय घेतला नाही, जे माझ्यासाठी गडद जंगल ठरले, परंतु मध्ययुगीन आर्किटेक्टच्या मार्गावर जाण्याचा प्रयत्न केला. प्रथम, मी इंटरनेटवरून लू आणि स्टीनहार्ट यांचे मूळ लेख डाउनलोड केले. त्यांची पद्धत मला थक्क करून गेली. त्यांच्या शोधाचे सार समजावून सांगण्यासाठी त्यांनी नेमका हाच मार्ग स्वीकारला, म्हणजे. मध्ययुगीन वास्तुविशारदांच्या वैचारिक यंत्राचा वापर करून आणि “गिरीख” मोज़ेक, “बाण” टाइल्स, “पतंग” इत्यादीसारख्या साध्या गोष्टींसह कार्य करणे.

या सगळ्याचा तात्विक मुद्दा असा आहे की निसर्गाचे (आणि कदाचित समाजाचे) नियम समजून घेण्यासाठी प्रत्येकाने एकाच मार्गावर जाणे आवश्यक नाही. मानवी विचारही बहुआयामी आहे. एक पूर्वेचा दृष्टीकोन आहे, आणि एक पश्चिम दृष्टीकोन आहे. आणि त्या प्रत्येकास अस्तित्वाचा अधिकार आहे आणि एखाद्या विशिष्ट प्रकरणात अनपेक्षितपणे उलट पेक्षा अधिक प्रभावी होऊ शकते. या प्रकरणात असेच घडले: पाश्चात्य विज्ञानाने काटेरी अनुभवाच्या प्रचंड सामान्यीकरणाच्या आधारे जे शोधले, पूर्व विज्ञानाने अंतर्ज्ञान आणि सौंदर्याच्या भावनेच्या आधारे केले. आणि परिणाम स्पष्ट आहेत: भूमितीच्या नियमांच्या व्यावहारिक अंमलबजावणीमध्ये, पौर्वात्य विचारवंत पाश्चात्यांपेक्षा पाच शतके पुढे होते!

शुखरत एगम्बरदीव.
उझबेकिस्तान प्रजासत्ताकच्या विज्ञान अकादमीची खगोलशास्त्रीय संस्था.

रंगीत चित्रांसह लेखाचा संपूर्ण मजकूर पुढील (लेख 2008 मध्ये लिहिला गेला होता. EU) “Fan va Turmush” – “Science and Life of Uzbekistan” या मासिकाच्या अंकात आढळू शकतो.

प्रकल्प सहभागी

निकिफोरोव्ह किरिल, आठव्या वर्गाचा विद्यार्थी

रुडनेवा ओक्साना, आठव्या वर्गातील विद्यार्थी

पोटुरेवा केसेनिया, 8 व्या वर्गातील विद्यार्थी

संशोधन विषय

पेनरोज मोज़ेक

समस्याप्रधान प्रश्न

पेनरोज मोज़ेक म्हणजे काय?

संशोधन गृहीतक

विमानाचे नॉन-पीरियडिक टेसेलेशन आहे

अभ्यासाची उद्दिष्टे

पेनरोज मोज़ेकशी परिचित व्हा आणि त्याला "गोल्डन" मोज़ेक का म्हणतात ते शोधा

परिणाम

पेनरोज मोज़ेक

प्लेन टाइलिंग संपूर्ण विमानाला नॉन-ओव्हरलॅपिंग आकारांसह कव्हर करते. गणितामध्ये, अंतर किंवा ओव्हरलॅप न करता बहुभुजांसह विमान पूर्णपणे भरण्याच्या समस्येला पर्केट किंवा मोज़ेक म्हणतात. बहुधा, मोज़ेक, दागिने आणि इतर नमुन्यांच्या बांधकामाच्या संदर्भात प्रथम फरसबंदीची आवड निर्माण झाली. अगदी प्राचीन ग्रीक लोकांना देखील माहित होते की नियमित त्रिकोण, चौरस आणि षटकोनी सह विमान झाकून ही समस्या सहजपणे सोडवली जाते.

विमानाच्या या टाइलिंगला नियतकालिक म्हणतात. नंतर आम्ही अनेक नियमित बहुभुजांच्या मिश्रणाचा वापर करून टाइलिंग कसे करायचे ते शिकलो.

अधिक कठीण काम म्हणजे "योग्य" किंवा "जवळजवळ" नियतकालिक पर्केट तयार करणे. बर्याच काळापासून असे मानले जात होते की या समस्येचे कोणतेही निराकरण नाही. तथापि, गेल्या शतकाच्या 60 च्या दशकात ते शेवटी सोडवले गेले, परंतु यासाठी विविध प्रकारच्या हजारो बहुभुजांचा संच आवश्यक आहे. टप्प्याटप्प्याने, प्रजातींची संख्या कमी झाली आणि शेवटी, 1970 च्या दशकाच्या मध्यात, ऑक्सफर्ड युनिव्हर्सिटीचे प्राध्यापक रॉजर पेनरोज, आमच्या काळातील एक उत्कृष्ट शास्त्रज्ञ, गणित आणि भौतिकशास्त्राच्या विविध क्षेत्रात सक्रियपणे काम करत, फक्त दोन प्रकारांचा वापर करून समस्या सोडवली. समभुज चौकोनाचे.

रॉजर पेनरोज

आम्ही असे मोज़ेक तयार करण्याच्या पद्धतीचा शोध घेतला, ज्याला आता पेनरोज मोज़ेक म्हणतात. हे करण्यासाठी, नियमित पंचकोन (पेंटागोन) मध्ये कर्ण काढा. आम्हाला एक नवीन पंचकोन आणि दोन प्रकारचे समद्विभुज त्रिकोण मिळतात, ज्यांना "गोल्डन" म्हणतात. अशा त्रिकोणांमधील नितंब आणि पायाचे गुणोत्तर "सोनेरी" प्रमाणासारखे असते. त्रिकोणातील कोन एकामध्ये 36°, 72° आणि 72° आणि दुसऱ्यामध्ये 108°, 36° आणि 36° आहेत. चला दोन एकसारखे त्रिकोण जोडू आणि “सोनेरी” समभुज आकार घेऊ. शास्त्रज्ञांनी त्यांचा वापर पार्केटच्या बांधकामात केला, आणि पार्केटलाच "गोल्डन" म्हटले गेले.

पेनरोज मोज़ेक

पेनरोज मोज़ेकमध्ये खालील गुणधर्म आहेत:

1. पातळ समभुजांच्या संख्येचे आणि जाड समभुजांच्या संख्येचे गुणोत्तर नेहमी तथाकथित "सोनेरी" संख्या 1.618 सारखे असते...