فسيفساء متناظرة. خوارزمية بناء فسيفساء بنروز – النماذج وأشباه البلورات. فسيفساء من بلدان مختلفة
خوارزمية بناء فسيفساء بنروز – النماذج وأشباه البلورات
طالب
جامعة ولاية فلاديمير سميت باسم
AG والمعهد التربوي،
كلية الفيزياء والرياضيات، فلاديمير، روسيا
بريد إلكتروني:*****@***كوم
أشباه البلورات هي نوع من المواد الصلبة تم اكتشافه مؤخرًا نسبيًا، وهو وسيط بين البلورات والمواد الصلبة غير المتبلورة. ويرتبط حدوثها بمواد تم اكتشافها تجريبيًا في عام 1982 والتي تعطي نمط حيود مع قمم براغ الوظيفية وتناظر غير متوافق مع شبكة الترجمة. لاكتشافهم، حصل الفيزيائي والكيميائي الإسرائيلي دان شيختمان على جائزة نوبل في عام 2011.
عادةً ما تُستخدم أنظمة النقاط غير الدورية ذات الترتيب بعيد المدى كنماذج رياضية لأشباه البلورات. يمكن تعريف أشباه البلورات الرياضية هذه، على عكس البلورات الفيزيائية، في أي بعد.
النموذج ثنائي الأبعاد لشبه البلورات هو فسيفساء بنروز، والتي تمت دراستها من قبل علماء الرياضيات حتى قبل اكتشاف أشباه البلورات. إن فسيفساء بنروز ليست قسمًا دوريًا، لأنها لا تتحول إلى نفسها من خلال أي عمليات نقل متوازية - ترجمات. ومع ذلك، هناك ترتيب صارم فيه، تحدده الخوارزمية لإنشاء هذا القسم.
هناك العديد من الأساليب لتحديد أشباه البلورات الرياضية. ويعتمد النهج الأكثر شهرة على إسقاط الشبكات من مساحات ذات أبعاد أعلى إلى مساحات ذات أبعاد أقل، وهو ما يسمى "مجموعات النماذج". عند تطبيقه على تبليط بنروز، يُطلق على هذا الأسلوب اسم طريقة Baaki.
هذه الطريقة هي الأكثر ملاءمة لدراسة وتحليل نمط الحيود لأشباه البلورات من وجهة نظر نظرية ومن وجهة نظر خوارزميات الكمبيوتر. وبناء على هذا التحليل، يمكن استخلاص استنتاجات لاحقة حول خصائص أشباه البلورات.
لتحليل خصائص فسيفساء بنروز قمنا بكتابة برنامج حاسوبي باستخدام خوارزمية Baaki، والتي من خلالها يتم تحديد النافذة https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 الارتفاع = 24" الارتفاع = "24 ">.gif" العرض = "104" الارتفاع = "24">، حيث .
يحدد https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">، , , , أين النسبة الذهبية. ثم إسقاطات النقاط على ستكون مجموعة النماذج كما يلي: وحيث https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height = "23">. ترتبط القمم بحافة عندما تكون المسافة بينها 1. وهكذا، تم إنشاء فسيفساء بنروز باستخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه.
لقد اكتشفنا أن طريقة Baaki ليست دقيقة تمامًا وأن القسم الناتج ليس قسم Penrose تمامًا، حيث تظهر رؤوس وحواف "إضافية" للقسم. وتبين أن هذا البناء صحيح حتى قمم وحدود الخماسيات.
باستخدام تجربة حاسوبية، كان من الممكن تحسين طريقة Baaki، مما أدى إلى فسيفساء بنروز (الشكل 1):
الشكل 1. تم الحصول على فسيفساء بنروز باستخدام تعديل خوارزمية Baaki
تسمى الطريقة الموضحة أعلاه لإنشاء بلاط بنروز بالتحديد الضعيف لبلاط بنروز.
هناك طريقة بناء أخرى - تحديد معلمات قوية لرؤوس التقسيم، حيث يمكنك الحصول على معلمات القمم المجاورة باستخدام معلمات قمة معينة. تنقسم مجموعة المعلمات بأكملها إلى مضلعات، يتم في كل منها تحديد البيئة المحلية الأولى للنقطة بشكل فريد، بالإضافة إلى نجمة تتكون من ناقلات تربط النقطة بالنقاط المجاورة.
وفي عام 1973، قام عالم الرياضيات الإنجليزي روجر بنروز بإنشاء فسيفساء خاصة من الأشكال الهندسية، والتي أصبحت تعرف باسم فسيفساء بنروز.
فسيفساء بنروز عبارة عن نمط تم تجميعه من بلاطات متعددة الأضلاع ذات شكلين محددين (معينات مختلفة قليلاً). يمكنهم تمهيد مستوى لا نهاية له دون ثغرات.
فسيفساء بنروز بحسب خالقها.
ويتم تجميعها من نوعين من المعينات،
أحدهما بزاوية 72 درجة والآخر بزاوية 36 درجة.
تبين أن الصورة متماثلة ولكنها ليست دورية.
تبدو الصورة الناتجة وكأنها نوع من الزخرفة "الإيقاعية" - صورة ذات تناظر انتقالي. هذا النوع من التناظر يعني أنه يمكنك تحديد قطعة معينة في نمط يمكن "نسخها" على مستوى، ثم دمج هذه "النسخ" مع بعضها البعض عن طريق النقل المتوازي (بمعنى آخر، بدون تدوير وبدون تكبير).
ومع ذلك، إذا نظرت عن كثب، يمكنك أن ترى أن نمط بنروز لا يحتوي على مثل هذه الهياكل المتكررة - فهو غير دوري. لكن النقطة ليست وهمًا بصريًا، بل حقيقة أن الفسيفساء ليست فوضوية: فهي تتمتع بتناظر دوراني من الدرجة الخامسة.
وهذا يعني أنه يمكن تدوير الصورة بزاوية دنيا تساوي 360 / n درجة، حيث n هو ترتيب التماثل، وفي هذه الحالة n = 5. ولذلك فإن زاوية الدوران، التي لا تغير شيئًا، يجب أن تكون متعددة 360 / 5 = 72 درجة.
لمدة عقد تقريبًا، لم يكن اختراع بنروز يعتبر أكثر من مجرد تجريد رياضي لطيف. ومع ذلك، في عام 1984، اكتشف دان شيختمان، الأستاذ في معهد إسرائيل للتكنولوجيا (التخنيون)، أثناء دراسة بنية سبائك الألومنيوم والمغنيسيوم، أن الحيود يحدث على الشبكة الذرية لهذه المادة.
استبعدت الأفكار السابقة التي كانت موجودة في فيزياء الحالة الصلبة هذا الاحتمال: بنية نمط الحيود لها تناظر من الدرجة الخامسة. ولا يمكن دمج أجزائه بالنقل المتوازي، مما يعني أنها ليست بلورة على الإطلاق. لكن الحيود هو سمة من سمات الشبكة البلورية! اتفق العلماء على أن هذا الخيار سيُطلق عليه اسم أشباه البلورات - وهو ما يشبه حالة خاصة من المادة. حسنًا، جمال هذا الاكتشاف هو أن النموذج الرياضي له كان جاهزًا منذ فترة طويلة - فسيفساء بنروز.
ومؤخرًا أصبح من الواضح أن هذا البناء الرياضي أقدم بكثير مما يمكن للمرء أن يتخيله. في عام 2007، نشر بيتر جيه لو، عالم فيزياء من جامعة هارفارد، مع فيزيائي آخر، بول جيه. ستينهاردت، ولكن من جامعة برينستون، مقالًا في مجلة العلوم عن فسيفساء بنروز. يبدو أن هناك القليل من الأشياء غير المتوقعة هنا: فقد اجتذب اكتشاف أشباه البلورات اهتمامًا شديدًا بهذا الموضوع، مما أدى إلى ظهور مجموعة من المنشورات في الصحافة العلمية.
ومع ذلك، فإن أبرز ما في العمل هو أنه ليس مخصصًا للعلم الحديث. وبشكل عام - وليس العلم. ولفت بيتر لو الانتباه إلى الأنماط التي تغطي المساجد في آسيا، والتي بنيت في العصور الوسطى. هذه التصاميم التي يسهل التعرف عليها مصنوعة من بلاط الفسيفساء. يطلق عليها اسم "جيريهي" (من الكلمة العربية "عقدة") وهي عبارة عن تصميم هندسي مميز للفن الإسلامي ويتكون من أشكال متعددة الأضلاع.
مثال على تخطيط البلاط الموضح في مخطوطة عربية من القرن الخامس عشر.
استخدم الباحثون الألوان لتسليط الضوء على المناطق المتكررة.
تم بناء جميع الأنماط الهندسية على أساس هذه العناصر الخمسة.
سادة العرب في العصور الوسطى. تكرار العناصر
لا تتزامن بالضرورة مع حدود البلاط.
هناك نمطان في الزخرفة الإسلامية: هندسي - جريخ، وزهري - إسلامي.
جيريك(شخصيات) - نمط هندسي معقد يتكون من خطوط منمقة في أشكال مستطيلة ومتعددة الأضلاع. وفي أغلب الأحيان يستخدم للزخرفة الخارجية للمساجد والكتب في المطبوعات الكبيرة.
إسلامي(بيرس.) - نوع من الزخرفة مبنية على مزيج من الأعشاب والدوامة. يجسد في شكل منمق أو طبيعي فكرة تبادل لاطلاق النار أوراق الشجر المزهرة دائمة التطور ويتضمن مجموعة لا حصر لها من الخيارات. وهو أكثر انتشارا في الملابس والكتب والديكور الداخلي للمساجد والأطباق.
غلاف القرآن 1306-1315 ورسم شظايا هندسية،
الذي يعتمد عليه النمط. هذا والأمثلة التالية غير متطابقة
شبكات بنروز، ولكن لها تناظر دوراني من الدرجة الخامسة
قبل اكتشاف بيتر لو، كان يُعتقد أن المهندسين المعماريين القدماء قاموا بإنشاء أنماط جيريها باستخدام المسطرة والبوصلة (إن لم يكن عن طريق الإلهام). ومع ذلك، قبل عامين، أثناء سفره إلى أوزبكستان، أصبح لو مهتمًا بأنماط الفسيفساء التي تزين الهندسة المعمارية المحلية في العصور الوسطى ولاحظ شيئًا مألوفًا عنها. بالعودة إلى هارفارد، بدأ العالم في فحص زخارف مماثلة في الفسيفساء على جدران مباني العصور الوسطى في أفغانستان وإيران والعراق وتركيا.
يعود تاريخ هذا المثال إلى فترة لاحقة - 1622 (المسجد الهندي).
عند النظر إليه ورسم هيكله، لا يسع المرء إلا أن يعجب بالعمل الجاد
الباحثين. وبالطبع السادة أنفسهم.
اكتشف بيتر لو أن الأنماط الهندسية للجيريخ كانت متطابقة تقريبًا وتمكن من تحديد العناصر الأساسية المستخدمة في جميع التصميمات الهندسية. بالإضافة إلى ذلك، وجد رسومات لهذه الصور في المخطوطات القديمة، والتي استخدمها الفنانون القدماء كنوع من أوراق الغش لتزيين الجدران.
لإنشاء هذه الأنماط، لم يتم استخدام ملامح بسيطة ومبتكرة بشكل عشوائي، ولكن الأشكال التي تم ترتيبها بترتيب معين. تبين أن الأنماط القديمة هي بناءات دقيقة لفسيفساء بنروز!
وهذه الصور تسلط الضوء على نفس المناطق،
على الرغم من أن هذه صور من مجموعة متنوعة من المساجد
في التقليد الإسلامي، كان هناك حظر صارم على تصوير الأشخاص والحيوانات، لذلك أصبحت الأنماط الهندسية تحظى بشعبية كبيرة في تصميم المباني. تمكن أسياد العصور الوسطى بطريقة ما من جعلها متنوعة. لكن لم يكن أحد يعرف ما هو سر "استراتيجيتهم". لذلك، يتبين أن السر يكمن في استخدام الفسيفساء الخاصة التي يمكنها، مع بقائها متناظرة، ملء المستوى دون تكرار نفسها.
"خدعة" أخرى لهذه الصور هي أنه من خلال "نسخ" مثل هذه المخططات في المعابد المختلفة وفقًا للرسومات، سيتعين على الفنانين حتماً السماح بالتحريف. لكن الانتهاكات من هذا النوع ضئيلة. لا يمكن تفسير ذلك إلا من خلال حقيقة أنه لا فائدة من الرسومات واسعة النطاق: الشيء الرئيسي هو المبدأ الذي يتم من خلاله بناء الصورة.
لتجميع الجيريخ، تم استخدام خمسة أنواع من البلاط (المعينات العشرية والخماسية و"الفراشات")، والتي تم تجميعها في فسيفساء مجاورة لبعضها البعض دون وجود مساحة خالية بينها. يمكن أن تحتوي الفسيفساء التي تم إنشاؤها منها إما على تماثل دوراني وانتقالي في وقت واحد، أو على تماثل دوراني من الدرجة الخامسة فقط (أي أنها كانت فسيفساء بنروز).
جزء من زخرفة الضريح الإيراني عام 1304. على اليمين – إعادة بناء الجيريخ
وبعد فحص مئات الصور الفوتوغرافية للمواقع الإسلامية في العصور الوسطى، تمكن لو وستينهاردت من تأريخ هذا الاتجاه إلى القرن الثالث عشر. تدريجيًا، اكتسبت هذه الطريقة شعبية متزايدة وبحلول القرن الخامس عشر أصبحت منتشرة على نطاق واسع. يتزامن التأريخ تقريبًا مع فترة تطور تقنية تزيين القصور والمساجد ومختلف المباني المهمة ببلاط السيراميك الملون المزجج على شكل مضلعات مختلفة. أي أنه تم إنشاء بلاط السيراميك ذو الأشكال الخاصة خصيصًا للجيريخ.
واعتبر الباحثون أن حرم الإمام درب في مدينة أصفهان الإيرانية، والذي يعود تاريخه إلى عام 1453، هو مثال على هيكل شبه بلوري مثالي تقريبًا.
بوابة مرقد الإمام درب في أصفهان (إيران).
هنا يتم فرض نظامين من الجيريخ على بعضهما البعض.
عمود من فناء مسجد في تركيا (حوالي 1200)
وجدران مدرسة في إيران (1219). هذه أعمال مبكرة
ويستخدمون عنصرين هيكليين فقط وجدهما لو
يبقى الآن العثور على إجابات لعدد من الألغاز في تاريخ فسيفساء جيريخ وبنروز. كيف ولماذا اكتشف علماء الرياضيات القدماء الهياكل شبه البلورية؟ هل أعطى العرب في العصور الوسطى للفسيفساء أي معنى آخر غير المعنى الفني؟ لماذا تم نسيان هذا المفهوم الرياضي المثير للاهتمام لمدة نصف ألف عام؟ والشيء الأكثر إثارة للاهتمام هو ما هي الاكتشافات الحديثة الأخرى الجديدة، والتي في الواقع قديمة منسية؟
فسيفساء بنروز، بلاط بنروز - تقسيم غير دوري للمستوى، هياكل منتظمة غير دورية، تبليط المستوى بنوعين من المعينات - بزوايا 72° و108° ("المعينات السميكة") و36° و144° ("" معينات رفيعة")، مثل (النسب تخضع لـ "النسبة الذهبية") بحيث لا يشكل أي معينين متجاورين (أي لهما جانب مشترك) متوازي أضلاع معًا.سميت على اسم روجر بنروز، الذي كان مهتما بمشكلة “الفسيفساء”، أي ملء المستوى بأشكال من نفس الشكل دون فجوات أو تداخلات.
جميع هذه التبليطات غير دورية ومتماثلة محليًا مع بعضها البعض (أي أن أي جزء محدود من تبليط بنروز واحد يحدث في أي جزء آخر). "التشابه الذاتي" - يمكنك الجمع بين بلاط الفسيفساء المجاور بطريقة تحصل مرة أخرى على فسيفساء بنروز.
يمكن رسم عدة شرائح على كل قطعة من البلاطتين بحيث عند وضع الفسيفساء تتم محاذاة أطراف هذه القطع وتتشكل عدة عائلات من الخطوط المستقيمة المتوازية (خطوط عمان) على المستوى.
تأخذ المسافات بين الخطوط المتوازية المتجاورة قيمتين مختلفتين تمامًا (ولكل عائلة من الخطوط المتوازية يكون تسلسل هذه القيم متشابهًا ذاتيًا).
تغطي بلاطات بنروز، التي تحتوي على ثقوب، المستوى بأكمله باستثناء شكل من المساحة المحدودة. لا يمكن تكبير الحفرة عن طريق إزالة عدد قليل من البلاطات (عدد محدود) ثم رصف الجزء المكشوف بالكامل.
تم حل المشكلة عن طريق التجانب باستخدام الأشكال التي تنشئ نمطًا متكررًا بشكل دوري، لكن بنروز أراد العثور على مثل هذا الشكل الذي، عند تجانبه على مستوى، لن يؤدي إلى إنشاء أنماط متكررة. كان يُعتقد أنه لم يكن هناك بلاط يمكن بناء الفسيفساء غير الدورية منه فقط. اختار بنروز العديد من البلاطات ذات الأشكال المختلفة، وفي النهاية لم يكن هناك سوى 2 منها فقط، لهما "النسبة الذهبية"، التي تكمن وراء جميع العلاقات المتناغمة. هذه أشكال على شكل ماسة بزوايا 108 درجة و 72 درجة. وفي وقت لاحق، تم تبسيط الأشكال إلى شكل معين بسيط (36 درجة و144 درجة)، بناءً على مبدأ "المثلث الذهبي".
الأنماط الناتجة لها شكل شبه بلوري له تناظر محوري من الدرجة الخامسة. يرتبط هيكل الفسيفساء بتسلسل فيبوناتشي.
(
ويكيبيديا)
فسيفساء بنروز. تمثل النقطة البيضاء مركز التناظر الدوراني من الدرجة الخامسة: الدوران حولها بمقدار 72 درجة يحول الفسيفساء إلى نفسها.
السلاسل والفسيفساء (مجلة العلم والحياة، 2005 العدد 10)
دعونا نفكر أولاً في النموذج المثالي التالي. دع الجسيمات في حالة التوازن تكون موجودة على طول محور النقل z وتشكل سلسلة خطية ذات فترة متغيرة، تتغير وفقًا لقانون التقدم الهندسي:
аn = a1·Dn-1،
حيث a1 هي الفترة الأولية بين الجزيئات، n هو الرقم التسلسلي للفترة، n = 1، 2، …، D = (1 + √5)/2 = 1.6180339… هو رقم النسبة الذهبية.
تعتبر سلسلة الجسيمات المبنية بمثابة مثال على شبه بلورة أحادية البعد ذات ترتيب تناظر طويل المدى. الهيكل منظم تمامًا، وهناك نمط منهجي في ترتيب الجزيئات على المحور - ويتم تحديد إحداثياتها بموجب قانون واحد. في الوقت نفسه، لا يوجد تكرار - الفترات بين الجزيئات مختلفة وتزداد طوال الوقت. لذلك، فإن البنية أحادية البعد الناتجة ليس لها تناظر انتقالي، وهذا لا يحدث بسبب الترتيب الفوضوي للجسيمات (كما هو الحال في الهياكل غير المتبلورة)، ولكن بسبب النسبة غير المنطقية لفترتين متجاورتين (D هو رقم غير منطقي).
الاستمرار المنطقي للبنية أحادية البعد لشبه البلورة هو بنية ثنائية الأبعاد، والتي يمكن وصفها بطريقة بناء فسيفساء غير دورية (أنماط) تتكون من عنصرين مختلفين، خليتين أوليتين. تم تطوير هذه الفسيفساء في عام 1974 من قبل عالم فيزياء نظرية من جامعة أكسفورد. آر بنروز.وجد فسيفساء مكونة من معينين متساويين الجوانب. الزوايا الداخلية للمعين الضيق هي 36 درجة و144 درجة، وللمعين العريض 72 درجة و108 درجة.
ترتبط زوايا هذه المعينات بالنسبة الذهبية، والتي يتم التعبير عنها جبرياً بالمعادلة x2 - x - 1 = 0 أو المعادلة y2 + y - 1 = 0. ويمكن كتابة جذور هذه المعادلات التربيعية على الصورة المثلثية:
x1 = 2cos36°، x2 = 2cos108°،
y1 = 2cos72°، y2 = cos144°.
يوضح هذا الشكل غير التقليدي لتمثيل جذور المعادلات أنه يمكن تسمية هذه المعينات بالمعينات الذهبية الضيقة والواسعة.
في فسيفساء بنروز، المستوى مغطى بمعينات ذهبية بدون فجوات أو تداخلات، ويمكن تمديده إلى ما لا نهاية في الطول والعرض. ولكن لبناء فسيفساء لا نهاية لها، يجب اتباع قواعد معينة، والتي تختلف بشكل كبير عن التكرار الرتيب للخلايا الأولية المتماثلة التي تشكل البلورة. إذا تم انتهاك قاعدة ضبط الماس الذهبي، فبعد مرور بعض الوقت، سيتوقف نمو الفسيفساء، حيث ستظهر التناقضات غير القابلة للإزالة.
في فسيفساء بنروز اللانهائية، يتم ترتيب المعينات الذهبية دون تواتر صارم. ومع ذلك، فإن نسبة عدد الماسات الذهبية العريضة إلى عدد الماسات الذهبية الضيقة تساوي تمامًا الرقم الذهبي D = (1 + √5)/2= = 1.6180339…. نظرًا لأن الرقم D غير عقلاني، فمن المستحيل في مثل هذه الفسيفساء تحديد خلية أولية تحتوي على عدد صحيح من المعينات من كل نوع، والتي يمكن أن تؤدي ترجمتها إلى الحصول على الفسيفساء بأكملها.
تتمتع فسيفساء بنروز أيضًا بسحرها الخاص كموضوع للرياضيات المسلية. دون الخوض في جميع جوانب هذه المسألة، نلاحظ أنه حتى الخطوة الأولى - بناء الفسيفساء - مثيرة للاهتمام للغاية، لأنها تتطلب الاهتمام والصبر وذكاء معين. ويمكنك إظهار الكثير من الإبداع والخيال إذا جعلت الفسيفساء متعددة الألوان. يمكن إجراء التلوين، الذي يتحول على الفور إلى لعبة، بعدة طرق أصلية، يتم عرض الاختلافات منها في الصور (أدناه). تشير النقطة البيضاء إلى مركز الفسيفساء، حيث يؤدي الدوران حولها بمقدار 72 درجة إلى تحويلها إلى نفسها.
تعد فسيفساء بنروز مثالًا رائعًا على كيفية استخدام البناء الجميل، الذي يقع عند تقاطع مختلف التخصصات، بالضرورة. إذا تم استبدال النقاط العقدية بالذرات، تصبح فسيفساء بنروز نظيرًا جيدًا لشبه البلورات ثنائية الأبعاد، لأنها تحتوي على العديد من الخصائص المميزة لهذه الحالة من المادة. وهذا هو السبب.
أولاً، يتم تنفيذ بناء الفسيفساء وفقًا لخوارزمية معينة، ونتيجة لذلك يتبين أنها ليست بنية عشوائية، ولكنها منظمة. أي جزء محدود منه يتكرر مرات لا تحصى في جميع أنحاء الفسيفساء.
ثانيًا، في الفسيفساء يمكن للمرء أن يميز العديد من الأشكال العشرية المنتظمة التي لها نفس التوجهات تمامًا. إنها تخلق نظامًا توجيهيًا طويل المدى، يُسمى شبه الدوري. وهذا يعني أن هناك تفاعلاً بين هياكل الفسيفساء البعيدة التي تنسق الموقع والاتجاه النسبي للماس بطريقة محددة للغاية، وإن كانت غامضة.
ثالثًا، إذا قمت بالرسم بالتتابع على جميع المعينات ذات الجوانب الموازية لأي اتجاه محدد، فإنها ستشكل سلسلة من الخطوط المتقطعة. على طول هذه الخطوط المتقطعة، يمكنك رسم خطوط متوازية مستقيمة متباعدة عن بعضها البعض على نفس المسافة تقريبًا. بفضل هذه الخاصية، يمكننا التحدث عن بعض التماثل الترجمي في فسيفساء بنروز.
رابعاً، تشكل الماسات المظللة بالتسلسل خمس عائلات من الخطوط المتوازية المتشابهة المتقاطعة بزوايا مضاعفة للـ 72 درجة. تتوافق اتجاهات هذه الخطوط المتقطعة مع اتجاهات جوانب الشكل الخماسي المنتظم. لذلك، فإن فسيفساء بنروز لديها، إلى حد ما، تماثل دوراني من الدرجة الخامسة وبهذا المعنى تشبه شبه البلورة.
المشاهدات: 367
|في عدد فبراير 2007 من مجلة Science، ظهر مقال للعلماء الأمريكيين بيتر لو وبول ستينهاردت حول العمارة الإسلامية في العصور الوسطى، والذي أصبح على الفور ضجة علمية. وبحسب مؤلفي المقال، فإن أنماط الفسيفساء التي تزين جدران الأضرحة والمساجد والقصور في العصور الوسطى، تم صنعها باستخدام قوانين رياضية اكتشفها العلماء الأوروبيون فقط في السبعينيات من القرن العشرين. ومن هنا يترتب على ذلك بوضوح أن المهندسين المعماريين في العصور الوسطى كانوا متقدمين بعدة قرون على زملائهم الأوروبيين.
هذا الاكتشاف، مثل أشياء كثيرة في العلم الحديث، حدث بالصدفة تمامًا. في عام 2005، جاء بيتر لو، طالب الدراسات العليا بجامعة هارفارد، إلى أوزبكستان كسائح. من خلال إعجابه بديكور جدار ضريح عبد الله خان في بخارى، رأى فيه نظيرًا للهياكل الهندسية المعقدة التي درسها ذات يوم في الجامعة. أكدت الأشكال الغريبة للأنماط على العديد من زخارف سمرقند صحة تخمينه. عند عودته إلى المنزل، أخبر المشرف على أطروحته، الأستاذ بجامعة برينستون بول ستينهاردت، عن اكتشافه.
أكدت دراسة شاملة لبنية اللوحات الجدارية وزخارف المعالم المعمارية الإسلامية في العصور الوسطى في أوزبكستان وأفغانستان وإيران والعراق وتركيا والهند صحة تخمين بيتر لو وأصبحت موضوع المقال المثير المذكور أعلاه.
من أجل فهم معنى اكتشاف بيتر لو وبول شتاينهادت، ينبغي للمرء أن يتعرف على مفاهيم مثل مشكلة الباركيه، والبنية شبه البلورية، والرقم الذهبي، وما إلى ذلك. لذلك، دعونا نبدأ العرض بالترتيب.
مشكلة الباركيه وهياكل بنروز
في الرياضيات، تسمى مشكلة ملء المستوى بالكامل بمضلعات دون فجوات أو تداخلات الباركيه. وحتى اليونانيون القدماء عرفوا أن هذه المشكلة يمكن حلها بسهولة عن طريق تغطية المستوى بمثلثات ومربعات وسداسيات منتظمة.
في الوقت نفسه، لا يمكن أن تكون البنتاغونات العادية بمثابة عناصر أولية للباركيه، حيث لا يمكن تركيبها بإحكام على بعضها البعض على متن الطائرة دون ثغرات. ويمكن قول الشيء نفسه عن سبعة، وثمانية، وتسعة، وعشرة، وما إلى ذلك. مربعات. وتدريجياً تم اختراع طرق لملء المستوى بمضلعات منتظمة ذات أنواع وأحجام مختلفة. على سبيل المثال، هذه هي الطريقة التي يمكنك من خلالها ملء المستوى من خلال الجمع بين الأشكال الرباعية والمثمنات ذات الأحجام المختلفة:
كان التطور الأكثر تعقيدًا لهذه المشكلة هو الشرط المتمثل في أن هيكل الباركيه، الذي يتكون من عدة أنواع من المضلعات ويغطي المستوى بالكامل، لن يكون دوريًا "منتظمًا" أو "تقريبًا" تمامًا. لفترة طويلة كان يعتقد أن هذه المشكلة ليس لها حل. ومع ذلك، في الستينيات من القرن الماضي، تم حلها أخيرا، لكن هذا يتطلب مجموعة من الآلاف من المضلعات من أنواع مختلفة. وخطوة بخطوة، تم تقليل عدد الأنواع، وأخيرا، في منتصف السبعينيات، قام أستاذ جامعة أكسفورد روجر بنروز بحل المشكلة باستخدام نوعين فقط من الماس. يظهر أدناه متغير شبه دوري (أي دوري تقريبًا) يملأ المستوى بمعينات بزوايا حادة تبلغ 72 و36 درجة. ويطلق عليهم أيضًا اسم الماس "السميك" و"الرفيع".
للحصول على نمط غير دوري عند ترتيب الماس، عليك الالتزام ببعض القواعد غير التافهة لدمجها. اتضح أن هذا الهيكل الذي يبدو بسيطًا له خصائص مثيرة جدًا للاهتمام. على سبيل المثال، إذا أخذنا نسبة عدد المعينات الرفيعة إلى عدد المعينات السميكة، فسيتبين دائمًا أنها تساوي ما يسمى بـ "النسبة الذهبية" 1.618... وبما أن هذا الرقم "غير دقيق" وكما يقول علماء الرياضيات، غير عقلاني، فإن البنية ليست دورية، ولكنها دورية تقريبًا. علاوة على ذلك، يحدد هذا الرقم العلاقة بين الأجزاء الموجودة داخل العشاري الأضلاع التي تشكل النجمة الخماسية - النجم الخماسي، الذي يعتبر شكلاً هندسيًا بنسب مثالية. لاحظ أن الأشكال العشرية المميزة لها نفس الاتجاه، الذي ينسق ويحدد ترتيب الماسات التي تشكل بلاط بنروز. ومن المثير للدهشة أن هذا البناء الهندسي البحت تحول إلى النموذج الرياضي الأكثر ملاءمة لوصف أشباه البلورات المكتشفة في عام 1984.
ما هي أشباه البلورات
لقد أدرجنا هذا القسم في مقالتنا لنروي قصة أخرى مثيرة للاهتمام حول كيف أن البناء الرياضي، الذي كان ثمرة الخيال الخالص للعلماء، وجد بشكل غير متوقع تطبيقًا عمليًا مهمًا.
يمكن تقسيم جميع المواد الموجودة في الطبيعة إلى نوعين: غير متبلور، حيث لا يوجد انتظام في الترتيب المتبادل للذرات، وبلورية، تتميز بترتيبها المنظم بدقة. يترتب على قوانين علم البلورات أنه بالنسبة للبلورات فقط محاور التماثل من الرتب الأول والثاني والثالث والرابع والسادس ممكنة، أي. قياسا على الباركيه، لا يمكن أن توجد بلورات ذات تناظر من الدرجة الخامسة في الطبيعة. تم إثبات هذا الظرف بشكل صارم على أساس النظرية الرياضية للمجموعات في المساحات متعددة الأبعاد. لكن الطبيعة، كما هي الحال دائمًا، تبين أنها أكثر إبداعًا، وفي عام 1984 نُشرت أعمال مجموعة شيختمان، التي ذكرت اكتشاف سبيكة من الألومنيوم والمنغنيز ذات تناظر دوراني من الدرجة الخامسة. وفي وقت لاحق، تم تصنيع العديد من السبائك المماثلة ذات الخصائص غير المعروفة حتى الآن. كانت تسمى هذه السبائك أشباه البلورات، وتعتبر الآن وسيطة بين الأشكال غير المتبلورة والبلورية للمادة.
بفضل هذا الاكتشاف، اكتسب البناء الهندسي لبنروز، والذي تبين أنه الأداة الأنسب لنمذجة بنية أشباه البلورات، شعبية كبيرة وتم تطويره بشكل أكبر. ولهذا السبب يتم تضمينه في الدورات الجامعية. في الوقت الحاضر، تم بالفعل الحصول على تعميم ثلاثي الأبعاد لفسيفساء بنروز، ويتألف من معينات رفيعة وسميكة - أشكال سداسية، كل وجه منها عبارة عن معين.
ما هي الهندسة التي تقوم عليها فسيفساء العصور الوسطى؟
بعد تحليل حوالي 3700 بلاطة من الفسيفساء، توصل لو وستينهاردت إلى أنه في مطلع القرن الثالث عشر، كانت تقنية تزيين الأضرحة والمساجد والمباني الأخرى بالفسيفساء الدورية تتكون من مجموعة من خمسة مضلعات، وهي عشرية الأضلاع، وقد انتشر الشكل السداسي، وربطة العنق، في بلاد المسلمين (اصطلاحات مؤلفي المقال)، والخماسي، والمعين. وكان هذا في الأساس حلاً لمشكلة الباركيه الموصوفة أعلاه باستخدام مجموعة من خمسة مضلعات "مسلمة". تسمى الأنماط المكونة من هذه المضلعات "جيريخ" (من الفارسية - عقدة).
يرجى ملاحظة أن وجوه جميع المضلعات لها نفس الأبعاد، مما يسمح بضمها من أي جانب. بالإضافة إلى ذلك، تحتوي كل بلاطة مضلعة على خطوط زخرفية، ولكن يتم رسمها وفقًا لقواعد هندسية صارمة: أي خطين نمطيين يتقاربان في منتصف كل جانب بزاوية 72 أو 108 درجة، أي. مضاعفات 36 درجة. يضمن ذلك بقاء النمط ثابتًا أثناء انتقالك من بلاطة إلى أخرى.
لبناء مثل هذه الفسيفساء، كان يكفي أن يكون لديك بوصلة وحاكم تحت تصرفك. بالمناسبة، قبل اكتشاف العلماء الأمريكيين، كان يعتقد أن أساتذة العصور الوسطى عند إنشاء زخرفة المباني استخدموا فقط أبسط الأدوات مثل المسطرة والبوصلة. لقد أصبح من الواضح الآن أن هذا ليس صحيحا تماما.
يمثل القرن الخامس عشر الفترة الأكثر إبداعًا لازدهار العلوم والثقافة في البلدان التي يحكمها التيموريون. وفي هذا الوقت حدثت نقلة نوعية في فن الزخرفة. وهذا ما تؤكده حقيقة أن العديد من الآثار المدروسة مثل ضريح درب الإمام في إيران، وقبر الحاج عبد الله الأنصاري في هرات وغيرها تنتمي إلى العصر التيموري.
إن الجمع بين فسيفساء الجيرة، التي أصبحت تقليدية بحلول هذا الوقت، والأشكال الهندسية "السهم" و"الطائرة الورقية" (مرة أخرى في مصطلحات لو وستينهاردت) جعل من الممكن إنشاء
أنماط غير دورية تذكرنا بفسيفساء بنروز. ويترتب على ذلك أنهم ربما كانوا يستخدمون أدوات أكثر تطوراً بحلول هذا الوقت، ولكن من الواضح أنه كانت هناك قفزة مفاهيمية في التقنيات الزخرفية في القرن الخامس عشر!
وفي مقابلات لاحقة بعد نشر المقال، أشار لو وستينهاردت إلى أنهما لا يستطيعان تحديد إلى أي مدى فهم المهندسون المعماريون في العصور الوسطى أنفسهم تفاصيل اكتشافهم، لكنهم يرون أنه نظير لهياكل بنروز. وهم على يقين تام من أن ما اكتشفوه لا يمكن أن يكون مجرد صدفة عشوائية.
استطراد غنائي
لقد تم ذلك. تمكنت من فهم تعقيدات الأنماط الهندسية التي تعطي جمالا فريدا لإبداعات أسلافنا، وآمل إلى حد ما إرضاء فضول مواطنينا. بالطبع، لا يزال هناك نوع من عدم الرضا، لأنني أيضًا أعجبت بجمال وأناقة زخارف سمرقند مئات المرات. لماذا لم يخطر ببالي هذا الفكر أبداً؟ لتبرير نفسي، لا يسعني إلا أن أقول إنه عندما تم تضمين بنية بنروز شبه الدورية في المقررات الجامعية، كنت أعمل بالفعل على أطروحة الدكتوراه في تخصصي الضيق. وبيتر لو يبلغ من العمر 28 عامًا فقط، وقد مر بالفعل بهياكل بنروز في الجامعة. بالطبع، إن معرفة مظهر بعض الأنماط والتعرف عليها في مكان غير متوقع تمامًا هما أمران مختلفان تمامًا، ولكن للقيام بذلك، عليك على الأقل أن تعرف أن مثل هذا القانون موجود.
ولكن هذا ليس ما يدور حوله هذا الاستطراد. لقد استغرق الأمر مني يومين، أو بالأحرى ليلتين بلا نوم، لأفهم جوهر المقال في مجلة العلوم، لكن الأسباب التي جعلتني لم أفعل ذلك سابقًا لها، على ما يبدو، معنى فلسفي عميق. عندما قرأت مقالة لو وستينهاردت على الإنترنت، اتصلت على الفور بزميلي، الخبير في مجال الهندسة. لقد فهم على الفور ما كان يحدث، لكنه أزعجني بإخباري أنني قبضت عليه قبل مغادرتي إلى المطار. عندما علمت أنه سيعود من رحلة عمل أجنبية بعد ثلاثة أشهر فقط، طلبت منه أن يوصيني على الأقل بكتاب يمكنني أن أقرأ فيه عن هياكل بنروز. أخبرني الكتاب وأضاف أن هذه رياضيات معقدة للغاية ومن غير المرجح أن يكون من الممكن فهم كل شيء بسرعة، ناهيك عن شرحه للناس العاديين. عندما تصفحت الكتاب الموصى به لي، والمليء بمفاهيم مثل الفضاءات الثابتة متعددة الأبعاد، وعامل الفضاء للمكان غير العقلاني المترافق، تلاشت حماستي بسرعة.
وبعد تقرير وكالة أنباء جاهون، بدأ اهتمام مجتمعنا العلمي، وليس فقط المجتمع العلمي، بهذه القضية ينمو كالانهيار الجليدي. ومن بين العلماء في أكاديمية العلوم والجامعة الوطنية، بالطبع، كان هناك متخصصون يفهمون القضايا المعقدة مثل جبر لي، ونظرية المجموعات، والتناظرات متعددة الأبعاد، وما إلى ذلك. ولكنهم أجمعوا جميعا على أنه من المستحيل تفسير هذه الأمور شعبيا. في أحد الأيام خطرت ببالي فجأة فكرة تافهة: انتظر. ولكن كيف توصل المهندسون المعماريون في العصور الوسطى إلى هذا، لأنهم لم يكن لديهم أقوى جهاز للرياضيات الحديثة؟ قررت هذه المرة أن أحاول فهم ذلك ليس من خلال الجهاز الرياضي المعقد لبنية بنروز شبه الدورية، والتي تبين أنها كانت بمثابة غابة مظلمة بالنسبة لي، ولكن من خلال اتباع طريق المهندسين المعماريين في العصور الوسطى. أولاً، قمت بتنزيل المقالة الأصلية التي كتبها لو وستينهاردت من الإنترنت. لقد أذهلتني طريقتهم. لشرح جوهر اكتشافهم، سلكوا أيضًا هذا المسار بالضبط، أي. باستخدام الجهاز المفاهيمي للمهندسين المعماريين في العصور الوسطى، والعمل بأشياء بسيطة مثل فسيفساء "الجيريخ"، وبلاط "السهم"، و"الطائرة الورقية"، وما إلى ذلك.
النقطة الفلسفية في كل هذا هي أنه من أجل فهم قوانين الطبيعة (وربما المجتمع) ليس من الضروري أن يتبع الجميع نفس المسار. التفكير البشري هو أيضا متعدد الأبعاد. هناك نهج شرقي، وهناك نهج غربي. ولكل منهم الحق في الوجود، وفي حالة معينة قد يكون بشكل غير متوقع أكثر فعالية من العكس. وهذا ما حدث في هذه الحالة: ما تمكن العلم الغربي من اكتشافه على أساس تعميم ضخم للتجربة الشائكة، فعله العلم الشرقي على أساس الحدس والشعور بالجمال. والنتائج واضحة: في التنفيذ العملي لقوانين الهندسة، كان المفكرون الشرقيون متقدمين بخمسة قرون على المفكرين الغربيين!
شوخرات اجامبرديف.
المعهد الفلكي التابع لأكاديمية العلوم بجمهورية أوزبكستان.
يمكن العثور على النص الكامل للمقال مع الرسوم التوضيحية الملونة في العدد التالي (تم كتابة المقال في عام 2008. الاتحاد الأوروبي) من مجلة "Fan va turmush" - "العلم والحياة في أوزبكستان".
المشاركون في المشروع
نيكيفوروف كيريل، طالب في الصف الثامن
رودنيفا أوكسانا، طالبة في الصف الثامن
بوتورايفا كسينيا، طالبة في الصف الثامن
موضوع البحث
فسيفساء بنروز
سؤال إشكالي
ما هي فسيفساء بنروز؟
فرضية البحث
هناك فسيفساء غير دوري للطائرة
أهداف الدراسة
تعرف على فسيفساء بنروز واكتشف سبب تسميتها بالفسيفساء "الذهبية".
نتائج
فسيفساء بنروز
يغطي بلاط المستوى المستوى بأكمله بأشكال غير متداخلة. في الرياضيات، تسمى مشكلة ملء المستوى بالكامل بالمضلعات دون فجوات أو تداخلات الباركيه أو الفسيفساء. ربما نشأ الاهتمام بالرصف أولاً فيما يتعلق ببناء الفسيفساء والزخارف والأنماط الأخرى. وحتى اليونانيون القدماء عرفوا أن هذه المشكلة يمكن حلها بسهولة عن طريق تغطية المستوى بمثلثات ومربعات وسداسيات منتظمة.
ويسمى هذا التبليط للطائرة الدورية. تعلمنا لاحقًا كيفية إجراء التبليط باستخدام مجموعة من المضلعات المنتظمة المتعددة.
كانت المهمة الأكثر صعوبة هي إنشاء باركيه دوري غير "صحيح" أو "تقريبًا". لفترة طويلة كان يعتقد أن هذه المشكلة ليس لها حل. ومع ذلك، في الستينيات من القرن الماضي، تم حلها أخيرا، لكن هذا يتطلب مجموعة من الآلاف من المضلعات من أنواع مختلفة. تدريجيًا، تم تقليل عدد الأنواع، وأخيراً، في منتصف السبعينيات، قام البروفيسور روجر بنروز، وهو عالم بارز في عصرنا، وهو عالم بارز في عصرنا، يعمل بنشاط في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء، بحل المشكلة باستخدام نوعين فقط. من المعين.
روجر بنروز
لقد بحثنا في طريقة لبناء مثل هذه الفسيفساء، والتي تسمى الآن فسيفساء بنروز. للقيام بذلك، رسم الأقطار في البنتاغون العادي (البنتاغون). لقد حصلنا على شكل خماسي جديد ونوعين من المثلثات متساوية الساقين تسمى "الذهبية". نسبة الورك إلى القاعدة في مثل هذه المثلثات تساوي النسبة "الذهبية". الزوايا في المثلثات هي 36° و72° و72° في أحدهما، و108° و36° و36° في الآخر. دعونا نربط مثلثين متطابقين ونحصل على معينات "ذهبية". استخدمها العالم في بناء الباركيه، وكان الباركيه نفسه يسمى "الذهبي".
فسيفساء بنروز
تتميز فسيفساء بنروز بالخصائص التالية:
1. نسبة عدد المعينات الرفيعة إلى عدد المعينات السميكة تساوي دائماً ما يسمى بالرقم "الذهبي" 1.618...