Sümmeetriline mosaiik. Algoritm Penrose'i mosaiikide konstrueerimiseks – mudelid ja kvaasikristallid. Mosaiigid erinevatest riikidest

Algoritm Penrose'i mosaiikide konstrueerimiseks – mudelid ja kvaasikristallid

Üliõpilane
nime saanud Vladimiri Riiklik Ülikool

A. G. ja Pedagoogiline Instituut,
Füüsika-matemaatikateaduskond, Vladimir, Venemaa
E-post:***@***com

Kvaasikristallid on suhteliselt hiljuti avastatud tahke aine tüüp, mis on kristallide ja amorfsete tahkete ainete vahepealne. Nende esinemist seostatakse 1982. aastal eksperimentaalselt avastatud ainetega, mis annavad funktsionaalsete Braggi piikide ja translatsioonivõrega kokkusobimatu sümmeetriaga difraktsioonimustri. Nende avastuse eest sai Iisraeli füüsik ja keemik Dan Shechtman 2011. aastal Nobeli preemia.

Kvaasikristallide matemaatiliste mudelitena kasutatakse tavaliselt kaugjärjestusega mitteperioodilisi punktisüsteeme. Selliseid matemaatilisi kvaasikristalle saab erinevalt füüsilistest defineerida mis tahes dimensioonis.

Kvaasikristalli kahemõõtmeline mudel on Penrose'i mosaiik, mida matemaatikud uurisid juba enne kvaasikristallide avastamist. Penrose'i mosaiik ei ole perioodiline partitsioon, kuna see ei muundu iseendaks paralleelsete ülekannete - tõlgete kaudu. Kuid selles on range järjekord, mille määrab selle partitsiooni koostamise algoritm.

Matemaatiliste kvaasikristallide määratlemiseks on palju lähenemisviise. Tuntuim lähenemine põhineb võre projitseerimisel kõrgema mõõtmega ruumidest madalama mõõtmega ruumidesse, mida nimetatakse mudelikomplektideks. Kui seda kasutatakse Penrose'i plaatimisel, nimetatakse seda lähenemisviisi Baaki meetodiks.

See meetod on kõige mugavam kvaasikristallide difraktsioonimustri uurimiseks ja analüüsimiseks nii teoreetilisest kui ka arvutialgoritmide vaatenurgast. Selle analüüsi põhjal saab teha järgnevaid järeldusi kvaasikristallide omaduste kohta.

Penrose'i mosaiigi omaduste analüüsimiseks kirjutasime Baaki algoritmi kasutades arvutiprogrammi, mille järgi määratakse aken https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, kus .

Määrab https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , kus on kuldne suhe. Seejärel punktide projektsioonid mudelite komplekt on järgmine: ja kus https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">. Tipud on ühendatud servaga, kui nendevaheline kaugus on 1. Seega koostatakse ülaltoodud algoritmi kasutades Penrose'i mosaiik.

Avastasime, et Baaki meetod ei ole täiesti täpne ja tulemuseks olev partitsioon pole täpselt Penrose'i partitsioon, kuna ilmuvad partitsiooni “lisa” tipud ja servad. Selgus, et see konstruktsioon on õige kuni viisnurkade tippude ja piirideni.

Arvutikatse abil oli võimalik Baaki meetodit täpsustada, mille tulemuseks oli Penrose'i mosaiik (joonis 1):

Joonis 1 Penrose'i mosaiik, mis on saadud Baaki algoritmi modifikatsiooni abil

Ülalkirjeldatud meetodit Penrose'i plaadistuse konstrueerimiseks nimetatakse Penrose'i plaadistuse nõrgaks parametriseerimiseks.

On veel üks ehitusmeetod - partitsioonitippude tugev parameetrite määramine, kus saab antud tipu parameetrit kasutades hankida naabertippude parameetrid. Kogu parameetrite komplekt on jagatud hulknurkadeks, millest igaühes on üheselt määratletud punkti esimene lokaalne keskkond, samuti täht, mis koosneb punkti naaberpunktidega ühendavatest vektoritest.

1973. aastal lõi inglise matemaatik Roger Penrose geomeetrilistest kujunditest spetsiaalse mosaiigi, mida hakati nimetama Penrose'i mosaiigiks.
Penrose mosaiik on kahe kindla kujuga hulknurksetest plaatidest (veidi erinevad rombid) kokku pandud muster. Nad võivad sillutada lõputu tasapinna ilma lünkadeta.

Penrose'i mosaiik selle looja järgi.
See on kokku pandud kahte tüüpi rombidest,
üks 72-kraadise nurgaga, teine ​​36-kraadise nurgaga.
Pilt osutub sümmeetriliseks, kuid mitte perioodiliseks.

Saadud pilt näib olevat mingi “rütmiline” ornament – ​​translatsioonilise sümmeetriaga pilt. Seda tüüpi sümmeetria tähendab, et saate valida konkreetse tüki mustris, mida saab tasapinnale "kopeerida" ja seejärel kombineerida need "duplikaadid" üksteisega paralleelse ülekandega (teisisõnu, ilma pööramiseta ja ilma suurendamiseta).

Kui aga tähelepanelikult vaadata, siis on näha, et Penrose’i mustril pole selliseid korduvaid struktuure – see on aperioodiline. Kuid asi pole optilises illusioonis, vaid selles, et mosaiik pole kaootiline: sellel on viiendat järku pöörlemissümmeetria.

See tähendab, et pilti saab pöörata minimaalse nurga võrra, mis on võrdne 360 ​​/ n kraadiga, kus n on sümmeetriajärk, antud juhul n = 5. Seetõttu peab pöördenurk, mis ei muuda midagi, olema kordne 360/5 = 72 kraadi.

Umbes kümmekond aastat peeti Penrose'i leiutist vaid armsaks matemaatiliseks abstraktsiooniks. 1984. aastal avastas Iisraeli Tehnoloogiainstituudi (Technion) professor Dan Shechtman aga alumiiniumi-magneesiumisulami struktuuri uurides, et selle aine aatomvõrele tekib difraktsioon.

Varasemad tahkisfüüsikas eksisteerinud ideed välistasid selle võimaluse: difraktsioonimustri struktuuril on viiendat järku sümmeetria. Selle osi ei saa paralleelse ülekandega kombineerida, mis tähendab, et see pole üldse kristall. Kuid difraktsioon on kristallvõrele iseloomulik! Teadlased leppisid kokku, et seda võimalust nimetatakse kvaasikristallideks – umbes nagu aine eriline olek. Noh, avastuse ilu seisneb selles, et selle matemaatiline mudel oli juba ammu valmis - Penrose'i mosaiik.

Ja üsna hiljuti sai selgeks, et see matemaatiline konstruktsioon on palju vanem, kui arvata võiks. 2007. aastal avaldas Harvardi ülikooli füüsik Peter J. Lu koos teise füüsiku Paul J. Steinhardtiga, kuid Princetoni ülikoolist ajakirjas Science artikli Penrose'i mosaiikide kohta. Näib, et siin pole midagi ootamatut: kvaasikristallide avastamine äratas selle teema vastu suurt huvi, mis viis teadusajakirjanduses hulga publikatsioonide ilmumiseni.

Töö tipphetk on aga see, et see ei ole pühendatud kaasaegsele teadusele. Ja üldiselt – mitte teadus. Peter Lu juhtis tähelepanu keskajal ehitatud Aasia mošeesid katvatele mustritele. Need kergesti äratuntavad kujundused on valmistatud mosaiikplaatidest. Neid nimetatakse girihiks (araabiakeelsest sõnast "sõlm") ja need on islami kunstile iseloomulik geomeetriline kujundus, mis koosneb hulknurksetest kujunditest.

Näide plaatide paigutusest, mis on näidatud 15. sajandi araabia käsikirjas.
Teadlased kasutasid korduvate alade esiletõstmiseks värve.
Kõik geomeetrilised mustrid on üles ehitatud nende viie elemendi põhjal.
keskaegsed araabia meistrid. Korduvad elemendid
ei pruugi kattuda plaatide piiridega.

Islami ornamendis on kaks stiili: geomeetriline - girikh ja lilleline - islimi.
Girikh(inimesed) - keeruline geomeetriline muster, mis koosneb ristküliku- ja hulknurkseteks kujunditeks stiliseeritud joontest. Enamasti kasutatakse seda mošeede ja suurte väljaannete raamatute väliseks kaunistamiseks.
Islami(isk.) – ornamenditüüp, mis on ehitatud köite ja spiraali kombinatsioonile. Kehastab stiliseeritud või naturalistlikus vormis ideed pidevalt arenevast õitsvast lehestiku võrsest ja sisaldab lõputult erinevaid võimalusi. See on enim levinud rõivastes, raamatutes, mošeede sisekujunduses ja roogades.

1306–1315. aasta Koraani kaas ja geomeetriliste fragmentide joonis,
millel muster põhineb. See ja järgmised näited ei ühti
Penrose'i võred, kuid neil on viiendat järku pöörlemissümmeetria

Enne Peter Lu avastust usuti, et iidsed arhitektid lõid giriha mustreid joonlaua ja kompassi abil (kui mitte inspiratsiooni järgi). Paar aastat tagasi Usbekistanis reisides hakkas Lou aga huvi tundma kohalikku keskaegset arhitektuuri kaunistavate mosaiikmustrite vastu ja märkas neis midagi tuttavat. Harvardi naastes hakkas teadlane uurima sarnaseid motiive Afganistani, Iraani, Iraagi ja Türgi keskaegsete hoonete seintel olevatel mosaiikidel.

See näide on dateeritud hilisemasse perioodi – aastasse 1622 (India mošee).
Vaadates seda ja selle struktuuri joonist, ei saa jätta imetlemata rasket tööd
uurijad. Ja muidugi meistrid ise.

Peter Lu avastas, et girikhide geomeetrilised mustrid olid peaaegu identsed ja suutis tuvastada kõigis geomeetrilistes kujundustes kasutatud põhielemendid. Lisaks leidis ta iidsetest käsikirjadest nende kujutiste joonised, mida iidsed kunstnikud kasutasid omamoodi petulehena seinte kaunistamisel.
Nende mustrite loomiseks ei kasutanud nad lihtsaid, juhuslikult väljamõeldud kontuure, vaid figuure, mis olid paigutatud teatud järjekorras. Iidsed mustrid osutusid Penrose'i mosaiikide täpseteks konstruktsioonideks!

Need pildid tõstavad esile samu alasid,
kuigi need on fotod erinevatest mošeedest

Islami traditsioonis oli inimeste ja loomade kujutamine rangelt keelatud, mistõttu said geomeetrilised mustrid hoonete kujundamisel väga populaarseks. Keskaegsed meistrid suutsid selle kuidagi mitmekesiseks muuta. Kuid keegi ei teadnud, mis oli nende "strateegia" saladus. Niisiis, saladus peitub spetsiaalsete mosaiikide kasutamises, mis võivad sümmeetriliseks jäädes täita tasapinna ennast kordamata.

Teine nende piltide “nipp” seisneb selles, et selliseid skeeme erinevates templites jooniste järgi “kopeerides” peavad kunstnikud paratamatult lubama moonutusi. Kuid seda laadi rikkumised on minimaalsed. Seda saab seletada vaid sellega, et suuremahulistel joonistel polnud mõtet: peamine oli põhimõte, mille järgi pilt üles ehitada.

Girikhide kokkupanemiseks kasutati viit tüüpi plaate (kümne- ja viisnurksed rombid ja “liblikad”), mis pandi kokku üksteisega külgnevasse mosaiiki ilma vaba ruumita. Nendest loodud mosaiikidel võis olla kas korraga pöörlemis- ja translatsioonisümmeetria või ainult viiendat järku pöörlemissümmeetria (st need olid Penrose'i mosaiigid).

Fragment 1304. aasta Iraani mausoleumi ornamendist. Paremal – girihide rekonstrueerimine

Pärast sadade keskaegsete moslemipaikade fotode uurimist suutsid Lu ja Steinhardt dateerida suundumust 13. sajandisse. Järk-järgult saavutas see meetod üha populaarsemaks ja 15. sajandiks sai see laialt levinud. Dateering langeb ligikaudu kokku paleede, mošeede ja erinevate oluliste hoonete kaunistamise tehnika arenemisperioodiga erinevate polügoonide kujuliste glasuuritud värviliste keraamiliste plaatidega. See tähendab, et spetsiaalse kujuga keraamilised plaadid loodi spetsiaalselt girikhide jaoks.

Teadlased pidasid 1453. aastast pärit imaam Darb-i pühamut Iraani linnas Isfahanis peaaegu ideaalse kvaasikristallilise struktuuri näiteks.

Imam Darb-i pühamu portaal Isfahanis (Iraan).
Siin on kaks girikhi süsteemi üksteise peal.

Sammas mošee hoovist Türgis (umbes 1200)
ja medrese müürid Iraanis (1219). Need on varased tööd
ja nad kasutavad ainult kahte Lu leitud struktuurielementi

Nüüd jääb üle leida vastused paljudele Girikhi ja Penrose'i mosaiikide ajaloo saladustele. Kuidas ja miks avastasid iidsed matemaatikud kvaasikristallilised struktuurid? Kas keskaegsed araablased andsid mosaiikidele peale kunstilise tähenduse? Miks unustati selline huvitav matemaatiline mõiste pooleks aastatuhandeks? Ja kõige huvitavam on see, millised on veel uued kaasaegsed avastused, mis tegelikult on hästi unustatud vanad?

Penrose'i mosaiik, Penrose'i plaadid - tasapinna mitteperioodiline jaotus, perioodilised korrapärased struktuurid, tasapinna plaatimine kahte tüüpi rombidega - nurkadega 72° ja 108° (“paksud rombid”) ning 36° ja 144° (“ õhukesed rombid), sellised (proportsioonid sõltuvad kuldsest lõikest), et kaks kõrvuti asetsevat (see tähendab, et neil on ühine külg) rombi ei moodusta koos rööpkülikut.Nimetatud Roger Penrose'i järgi, keda huvitas "tessellatsiooni" probleem, st tasapinna täitmine sama kujuga figuuridega ilma lünkade ja kattumisteta.

Kõik sellised plaadid on mitteperioodilised ja üksteise suhtes lokaalselt isomorfsed (st ühe Penrose'i plaadistuse iga lõplik fragment esineb mis tahes teises). “Enesesarnasus” - saate kombineerida külgnevaid mosaiikplaate nii, et saate taas Penrose'i mosaiigi.

Mõlemale plaadile saab joonistada mitu segmenti, nii et mosaiigi paigutamisel joonduvad nende segmentide otsad ja tasapinnale moodustatakse mitu paralleelsete sirgjoonte perekonda (Ammani triibud).

Külgnevate paralleelsete joonte vahelised kaugused võtavad täpselt kaks erinevat väärtust (ja iga paralleelsete joonte perekonna puhul on nende väärtuste jada isesarnane).

Penrose plaadid, millel on augud, katavad kogu tasapinna, välja arvatud piiratud pindalaga kujund. Auku ei ole võimalik suurendada, eemaldades mõne (lõpliku arvu) plaadi ja seejärel katmata osa täielikult sillutada.

Probleemi lahendab plaatimine figuuridega, mis loovad perioodiliselt korduva mustri, kuid Penrose tahtis leida just sellise kujundi, mis tasapinnal plaadistades korduvaid mustreid ei tekitaks. Usuti, et pole plaate, millest saaks ehitada ainult mitteperioodilisi mosaiike. Penrose valis välja palju erineva kujuga plaate, lõpuks oli neid ainult 2, millel oli "kuldne suhe", mis on kõigi harmooniliste suhete aluseks. Need on rombikujulised kujundid, mille nurgad on 108° ja 72°. Hiljem lihtsustati kujundeid “kuldse kolmnurga” põhimõttel lihtsaks rombikujuliseks (36° ja 144°).

Saadud mustritel on kvaasikristalliline kuju, millel on 5. järku teljesuunaline sümmeetria. Mosaiigi struktuur on seotud Fibonacci järjestusega.
( Wikipedia)

Penrose mosaiik. Valge täpp tähistab 5. järku pöörlemissümmeetria keskpunkti: selle ümber 72° pööramine muudab mosaiigi iseendaks.

Ketid ja mosaiigid (ajakiri Teadus ja Elu, 2005 nr 10)

Vaatleme esmalt järgmist idealiseeritud mudelit. Olgu tasakaaluolekus olevad osakesed paiknevad piki transporditelge z ja moodustavad muutuva perioodiga lineaarse ahela, mis muutub vastavalt geomeetrilise progressiooni seadusele:

аn = a1 · Dn-1,

kus a1 on osakeste vaheline algperiood, n on perioodi järjekorranumber, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… on kuldse proportsiooni number.

Konstrueeritud osakeste ahel on näide ühemõõtmelisest kvaasikristallist, millel on pikamaa sümmeetria järjestus. Struktuur on absoluutselt korrastatud, osakeste paigutuses teljel on süstemaatiline muster - nende koordinaadid on määratud ühe seadusega. Samas puudub ka korratavus – osakeste vahelised perioodid on erinevad ja suurenevad kogu aeg. Seetõttu ei ole tekkival ühemõõtmelisel struktuuril translatsioonisümmeetriat ja seda ei põhjusta mitte osakeste kaootiline paigutus (nagu amorfsetes struktuurides), vaid kahe kõrvuti asetseva perioodi irratsionaalne suhe (D on irratsionaalne arv).

Kvaasikristalli vaadeldava ühemõõtmelise struktuuri loogiline jätk on kahemõõtmeline struktuur, mida saab kirjeldada kahest erinevast elemendist, kahest elementaarrakust koosnevate mitteperioodiliste mosaiikide (mustrite) konstrueerimise meetodil. Selle mosaiigi töötas välja 1974. aastal Oxfordi ülikooli teoreetiline füüsik. R. Penrose. Ta leidis mosaiigi kahest võrdsete külgedega rombist. Kitsa rombi sisenurgad on 36° ja 144° ning laia rombi sisenurgad - 72° ja 108°.

Nende rombide nurgad on seotud kuldlõikega, mida väljendatakse algebraliselt võrrandiga x2 - x - 1 = 0 või võrrandiga y2 + y - 1 = 0. Nende ruutvõrrandite juured saab kirjutada trigonomeetrilisel kujul:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

See võrrandijuurte ebatavaline esitusviis näitab, et neid rombe võib nimetada kitsasteks ja laiadeks kuldrombideks.

Penrose'i mosaiigis on tasapind kaetud kuldsete rombidega ilma tühikute ja ülekateteta ning seda saab lõpmatult pikendada nii pikkuses kui laiuses. Kuid lõpmatu mosaiigi ehitamiseks tuleb järgida teatud reegleid, mis erinevad oluliselt kristalli moodustavate identsete elementaarrakkude monotoonsest kordumisest. Kui rikutakse kuldsete teemantide reguleerimise reeglit, siis mõne aja pärast mosaiigi kasv peatub, kuna ilmnevad eemaldamatud ebakõlad.

Penrose'i lõpmatus mosaiigis on kuldsed rombid paigutatud range perioodilisuseta. Laiade kuldsete teemantide ja kitsaste kuldsete teemantide arvu suhe on aga täpselt võrdne kuldarvuga D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Kuna arv D on irratsionaalne, on sellises mosaiigis võimatu valida elementaarlahtrit, mille igat tüüpi rombide arv on täisarv, mille tõlge võiks saada kogu mosaiigi.

Penrose'i mosaiigil on ka meelelahutusliku matemaatika objektina oma eriline võlu. Selle teema kõiki aspekte käsitlemata märgime, et isegi esimene samm - mosaiigi ehitamine - on üsna huvitav, kuna see nõuab tähelepanu, kannatlikkust ja teatud intelligentsust. Ja saate näidata palju loovust ja kujutlusvõimet, kui muudate mosaiigi mitmevärviliseks. Värvimist, mis muutub kohe mänguks, saab teha mitmel originaalsel viisil, mille variatsioonid on toodud piltidel (all). Valge täpp tähistab mosaiigi keskpunkti, mille ümber pööramine 72° võrra muudab selle iseendaks.

Penrose'i mosaiik on suurepärane näide sellest, kuidas kaunis konstruktsioon, mis asub erinevate erialade ristumiskohas, leiab tingimata oma rakenduse. Kui sõlmpunktid asendada aatomitega, muutub Penrose'i mosaiik kahemõõtmelise kvaasikristalli heaks analoogiks, kuna sellel on palju sellele aine olekule iseloomulikke omadusi. Ja sellepärast.

Esiteks realiseeritakse mosaiigi ehitamine kindla algoritmi järgi, mille tulemusena ei osutu see juhuslikuks, vaid järjestatud struktuuriks. Selle mis tahes piiratud osa esineb mosaiigis lugematu arv kordi.

Teiseks võib mosaiigis eristada palju korrapäraseid kümnenurki, millel on täpselt sama suund. Need loovad pikamaa orientatsioonijärjekorra, mida nimetatakse kvaasiperioodiliseks. See tähendab, et kaugemate mosaiikstruktuuride vahel on vastastikune mõju, mis koordineerib teemantide asukohta ja suhtelist orientatsiooni väga konkreetsel, kuigi mitmetähenduslikul viisil.

Kolmandaks, kui värvite järjestikku üle kõik rombid, mille küljed on paralleelsed mis tahes valitud suunaga, moodustavad need katkendlike joonte jada. Mööda neid katkendlikke jooni saate tõmmata sirgeid paralleelseid jooni, mis asuvad üksteisest ligikaudu samal kaugusel. Tänu sellele omadusele saame Penrose'i mosaiigis rääkida translatsioonilisest sümmeetriast.

Neljandaks moodustavad järjestikku varjutatud teemandid viis sarnaste paralleelsete joonte perekonda, mis ristuvad 72° nurkade all. Nende katkendlike joonte suunad vastavad tavalise viisnurga külgede suundadele. Seetõttu on Penrose'i mosaiigil teatud määral 5. järku pöörlemissümmeetria ja see sarnaneb selles mõttes kvaasikristalliga.

Vaatamisi: 367

Ajakirja Science 2007. aasta veebruarinumbris ilmus Ameerika teadlaste Peter Lu ja Paul Steinhardti artikkel keskaegsest islamiarhitektuurist, millest sai kohe teadussensatsioon. Artikli autorite sõnul valmistati keskaegsete mausoleumide, mošeede ja paleede seinu kaunistavad mosaiikmustrid matemaatiliste seaduste abil, mille Euroopa teadlased avastasid alles 20. sajandi 70ndatel. Siit järeldub selgelt, et keskaegsed arhitektid olid oma Euroopa kolleegidest mitu sajandit ees.

See avastus, nagu paljud asjad tänapäeva teaduses, juhtus täiesti juhuslikult. 2005. aastal tuli Harvardi ülikooli magistrant Peter Lu Usbekistani turistina. Bukharas asuva Abdullakhani mausoleumi seinakaunistust imetledes nägi ta selles analoogi keerukatele geomeetrilistele struktuuridele, mida ta kunagi ülikoolis õppis. Kummalised mustrite vormid arvukatel Samarkandi ornamentidel vaid kinnitasid tema oletuse õigsust. Koju naastes rääkis ta oma leiust oma lõputöö juhendajale, Princetoni ülikooli professorile Paul Steinhardtile.

Usbekistani, Afganistani, Iraani, Iraagi, Türgi ja India keskaegsete moslemi arhitektuurimälestiste seinamaalingute ehituse ja ornamentika põhjalik uurimine kinnitas Peter Lu oletuse õigsust ja sai ülalmainitud sensatsioonilise artikli teemaks.

Peter Lu ja Paul Steinhadti avastuse tähenduse mõistmiseks tuleks tutvuda selliste mõistetega nagu parketiprobleem, kvaasikristallstruktuur, kuldne number jne. Seetõttu alustame esitlust järjekorras.

Parketi probleem ja Penrose'i konstruktsioonid

Matemaatikas nimetatakse probleemiks tasapinna täielikku täitmist hulknurkadega ilma tühikute ja kattumisteta. parketid. Isegi iidsed kreeklased teadsid, et selle probleemi saab hõlpsasti lahendada, kattes tasapinna korrapäraste kolmnurkade, ruutude ja kuusnurkadega.

Samal ajal ei saa tavalised viisnurgad olla parketi elementaarsed elemendid, kuna neid ei saa tasapinnal tihedalt üksteise külge kinnitada. Sama võib öelda seitsme-, kaheksa-, üheksa-, kümne- jne kohta. ruudud. Tasapisi leiutati viise, kuidas tasapinda täita erinevat tüüpi ja suurusega korrapäraste hulknurkadega. Näiteks erineva suurusega nelinurkade ja kaheksanurkade kombineerimisega saab tasapinna täita järgmiselt:

Hoopis keerulisem edasiarendus sellele probleemile oli tingimus, et mitut tüüpi polügoonidest koosneva ja täielikult tasapinda katva parketi struktuur ei oleks päris “regulaarne” või “peaaegu” perioodiline. Pikka aega arvati, et sellele probleemile pole lahendust. Eelmise sajandi 60ndatel sai see siiski lõplikult lahendatud, kuid selleks oli vaja tuhandeid erinevat tüüpi hulknurki. Samm-sammult liikide arvu vähendati ja lõpuks, 70ndate keskel, lahendas Oxfordi ülikooli professor Roger Penrose probleemi, kasutades ainult kahte tüüpi teemante. Allpool on kujutatud variant kvaasiperioodilisest (st peaaegu perioodilisest) tasapinna täitmisest rombidega, mille teravnurk on 72 ja 36°. Neid nimetatakse ka "paksuteks" ja "õhukesteks" teemantideks.

Teemantide paigutamisel mitteperioodilise mustri saamiseks peaksite nende kombineerimisel järgima mõningaid mittetriviaalseid reegleid. Selgus, et sellel pealtnäha lihtsal struktuuril on väga huvitavad omadused. Näiteks kui võtta õhukeste rombide ja jämedate rombide arvu suhe, siis see osutub alati võrdseks nn “kuldse suhtega” 1,618... Kuna see arv pole “täpne” , ja nagu matemaatikud ütlevad, irratsionaalne, struktuur ei osutu perioodiliseks, vaid peaaegu perioodiliseks. Veelgi enam, see arv määrab suhte kümnenurkade sees olevate segmentide vahel, mis moodustavad viieharulise tähe - pentagrammi, mida peetakse ideaalsete proportsioonidega geomeetriliseks kujundiks. Pange tähele, et esiletõstetud kümnenurkadel on sama suund, mis koordineerib ja määrab Penrose'i plaadistuse moodustavate teemantide paigutuse. On hämmastav, et see puhtalt geomeetriline konstruktsioon osutus kõige sobivamaks matemaatiliseks mudeliks 1984. aastal avastatud kvaasikristallide kirjeldamiseks.

Mis on kvaasikristallid

Lisasime selle jaotise oma artiklisse, et rääkida veel üks huvitav lugu sellest, kuidas teadlaste puhta kujutlusvõime vili matemaatiline konstruktsioon leidis ootamatult olulise praktilise rakenduse.

Kõik looduses leiduvad ained võib jagada kahte tüüpi: amorfsed, milles aatomite omavahelises paigutuses puudub korrapärasus, ja kristalsed, mida iseloomustab nende rangelt järjestatud paigutus. Kristallograafiaseadustest järeldub, et kristallide puhul on võimalikud ainult esimest, teist, kolmandat, neljandat ja kuuendat järku sümmeetriateljed, s.o. Analoogiliselt parkettiga ei saa viiendat järku sümmeetriaga kristalle looduses eksisteerida. See asjaolu tõestati rangelt mitmemõõtmeliste ruumide rühmade matemaatilise teooria alusel. Kuid loodus, nagu alati, osutus palju leidlikumaks ja 1984. aastal avaldati Shekhtmani rühma töö, mis teatas viiendat järku pöörlemissümmeetriaga alumiiniumi-mangaani sulami avastamisest. Seejärel sünteesiti palju sarnaseid, senitundmatute omadustega sulameid. Neid sulameid nimetati kvaasikristallideks ja nüüd peetakse neid aine amorfse ja kristalse vormi vahepealseks.

Just tänu sellele avastusele saavutas Penrose’i geomeetriline konstruktsioon, mis osutus kõige sobivamaks vahendiks kvaasikristallide struktuuri modelleerimiseks, suure populaarsuse ja seda arendati edasi. Ja seepärast on see ülikoolide kursuste sees. Praeguseks on juba saadud Penrose'i mosaiigi kolmemõõtmeline üldistus, mis koosneb õhukestest ja paksudest romboeedritest - kuusnurksetest kujunditest, mille iga tahk on romb.

Milline geomeetria on keskaegsete mosaiikide aluseks

Pärast umbes 3700 mosaiikplaadi analüüsimist jõudsid Lu ja Steinhardt järeldusele, et 13. sajandi vahetusel kasutati mausoleumite, mošeede ja muude hoonete kaunistamise tehnoloogiat perioodiliste mosaiikidega, mis koosnesid viiest hulknurgast, nimelt kümnenurgast, kuusnurk ja kikilips olid levinud kõikjal moslemimaades (artikli autorite terminoloogia), viisnurk ja romb. See oli sisuliselt lahendus ülalkirjeldatud parketiprobleemile, kasutades viiest "moslemi" polügoonist koosnevat komplekti. Sellistest hulknurkadest koosnevaid mustreid nimetatakse "girikhiks" (pärsia keelest - sõlm).

Pange tähele, et kõigi hulknurkade küljed on samade mõõtmetega, mis võimaldab neid ühendada igast küljest. Lisaks on igal hulknurksel plaadil dekoratiivsed jooned, kuid need on tõmmatud rangete geomeetriliste reeglite järgi: suvalised kaks mustrijoont koonduvad mõlema külje keskel 72 või 108° nurga all, s.o. 36° kordajad. See tagab mustri järjepidevuse, kui liigute ühelt paanilt teisele.

Sellise mosaiigi ehitamiseks piisas, kui teie käsutuses on kompass ja joonlaud. Muide, enne Ameerika teadlaste avastamist usuti, et keskaegsed meistrid kasutasid hoonete kaunistuste loomisel ainult kõige lihtsamaid tööriistu, nagu joonlaud ja kompass. Nüüd on selgeks saanud, et see pole päris tõsi.

15. sajand tähistab Timuriidide valitsetud maades kõige loomingulisemat teaduse ja kultuuri õitsenguperioodi. Just sel ajal toimus kaunistuskunstis kvalitatiivne hüpe. Seda kinnitab tõsiasi, et arvukad uuritud mälestusmärgid, nagu Darb-e-Imam mausoleum Iraanis, Haj Abdullah Ansari haud Heratis ja teised, kuuluvad Timuriidide ajastusse.

Selleks ajaks traditsiooniliseks muutunud girihi mosaiigi ning geomeetriliste kujundite “nool” ja “lohe” (taas Lu ja Steinhardti terminoloogias) kombinatsioon võimaldas luua

mitteperioodilised mustrid, mis meenutavad Penrose'i mosaiike. Sellest järeldub, et nad võisid selleks ajaks kasutada keerukamaid tööriistu, kuid on selge, et 15. sajandil toimus dekoratiivtehnikates kontseptuaalne hüpe!

Järgnevates intervjuudes pärast artikli avaldamist märkisid Lu ja Steinhardt, et nad ei osanud öelda, mil määral keskaegsed arhitektid ise oma avastuse üksikasju mõistsid, kuid näevad seda Penrose’i struktuuride analoogina. Ja nad on täiesti kindlad, et see, mida nad avastasid, ei saa olla lihtsalt juhuslik kokkusattumus.

Lüüriline kõrvalepõige

See on tehtud. Mul õnnestus mõista geomeetriliste mustrite keerukust, mis annavad meie esivanemate loomingule kordumatu ilu, ja loodan, et rahuldan mingil määral meie kaasmaalaste uudishimu. Mingi rahulolematus muidugi jääb, sest ka mina olen sadu kordi imetlenud Samarkandi ornamentide ilu ja elegantsi. Miks see mõte mulle kunagi pähe ei tulnud? Enda õigustuseks võin öelda vaid seda, et kui ülikoolide kursustesse lisati kvaasiperioodiline Penrose'i struktuur, töötasin juba oma kitsal erialal doktoritöö kallal. Ja Peter Lu on vaid 28-aastane ja ta on ülikoolis Penrose'i struktuurid juba läbinud. Muidugi on mingi mustri ilmnemise teadmine ja äratundmine täiesti ootamatus kohas täiesti erinevad asjad, kuid selleks peab vähemalt teadma, et selline seadus on olemas.

Kuid see ei ole selle kõrvalepõige. Mul kulus kaks päeva või õigemini kaks magamata ööd, et mõista ajakirja Science artikli olemust, kuid põhjustel, miks ma seda varem ei teinud, on minu arvates sügav filosoofiline tähendus. Lu ja Steinhardti artiklit Internetist lugedes helistasin kohe oma kolleegile, geomeetria valdkonna asjatundjale. Ta sai kohe aru, mis toimub, kuid häiris mind, öeldes, et püüdsin ta enne lennujaama lahkumist kinni. Saanud teada, et ta naaseb välislähetusest alles kolme kuu pärast, palusin tal vähemalt soovitada mulle mõnda raamatut, millest saaksin lugeda Penrose'i struktuuride kohta. Ta rääkis mulle selle raamatu ja lisas, et see on väga keeruline matemaatika ja on ebatõenäoline, et kõigest on võimalik kiiresti aru saada, veel vähem tavainimestele rahvapäraselt lahti seletada. Kui lehitsesin mulle soovitatud raamatut, mis oli täis selliseid mõisteid nagu mitmemõõtmelised muutumatud ruumid, konjugeeritud irratsionaalse ruumi faktoriruum, kadus mu entusiasm kiiresti.

Pärast uudisteagentuuri Jahon raportit hakkas meie teadlaste, mitte ainult teadusringkondade huvi selle küsimuse vastu laviinina kasvama. Teaduste Akadeemia ja Rahvusülikooli õppinud meeste hulgas oli muidugi spetsialiste, kes mõistavad Lie algebra, rühmateooria, mitmemõõtmeliste sümmeetriate jms keerulisi küsimusi. Kuid nad olid kõik üksmeelel arvamusel, et neid asju pole võimalik rahvapäraselt seletada. Teisel päeval tabas mind ootamatult tühine mõte: Oota. Kuidas aga keskaegsed arhitektid selle peale tulid, sest neil polnud moodsa matemaatika võimsaimat aparaati? Seekord otsustasin püüda seda mõista mitte Penrose’i kvaasiperioodilise struktuuri keeruka matemaatilise aparaadi kaudu, mis osutus minu jaoks tumedaks metsaks, vaid minna keskaegsete arhitektide teed. Kõigepealt laadisin Internetist alla Lu ja Steinhardti originaalartikli. Nende meetod hämmastas mind. Et selgitada oma avastuse olemust, läksid nad ka täpselt selle tee, s.t. kasutades keskaegsete arhitektide kontseptuaalset aparaati ja opereerides selliste lihtsate asjadega nagu "girikh" mosaiik, "nool" plaadid, "lohe" jne.

Kõige selle filosoofiline mõte seisneb selles, et loodusseaduste (ja võib-olla ka ühiskonna) mõistmiseks ei pea kõik käima sama rada. Ka inimese mõtlemine on mitmemõõtmeline. On idapoolne lähenemine ja on lääne lähenemine. Ja igaühel neist on õigus eksisteerida ja võib ootamatult osutuda tõhusamaks kui vastupidine. Antud juhul juhtus nii: see, mida lääne teadusel õnnestus avastada tohutu okkalise kogemuse üldistuse põhjal, ida teadus tegi intuitsiooni ja ilumeele põhjal. Ja tulemused on ilmsed: geomeetria seaduste praktilisel rakendamisel praktikas olid Ida mõtlejad lääne mõtlejatest viie sajandiga ees!

Šukhrat Egamberdiev.
Usbekistani Teaduste Akadeemia Astronoomiainstituut.

Artikli täistekst koos värviliste illustratsioonidega on leitav ajakirja “Fan va turmush” järgmisest (artikkel on kirjutatud 2008. aastal. EL) numbrist – “Usbekistani teadus ja elu”.

Projektis osalejad

Nikiforov Kirill, 8. klassi õpilane

Rudneva Oksana, 8. klassi õpilane

Poturaeva Ksenia, 8. klassi õpilane

Uurimise teema

Penrose mosaiik

Probleemne küsimus

Mis on Penrose'i mosaiik?

Uurimistöö hüpotees

Toimub tasapinna mitteperioodiline tessellatsioon

Uuringu eesmärgid

Tutvuge Penrose'i mosaiigiga ja saage teada, miks seda nimetatakse "kuldseks" mosaiigiks

Tulemused

Penrose mosaiik

Tasapinnaline plaatimine on kogu tasapinna katmine mittekattuvate kujunditega. Matemaatikas nimetatakse tasapinna täielikku täitmist hulknurkadega ilma tühikute ja kattumisteta parkettiks või mosaiigiks. Ilmselt tekkis huvi sillutise vastu esmalt seoses mosaiikide, ornamentide ja muude mustrite ehitamisega. Isegi iidsed kreeklased teadsid, et selle probleemi saab hõlpsasti lahendada, kattes tasapinna korrapäraste kolmnurkade, ruutude ja kuusnurkadega.

Seda tasapinna plaatimist nimetatakse perioodiliseks. Hiljem õppisime plaatimist teostama mitme tavalise hulknurga kombinatsiooni abil.

Keerulisem ülesanne oli mitte päris “õige” või “peaaegu” perioodilise parketi loomine. Pikka aega arvati, et sellele probleemile pole lahendust. Eelmise sajandi 60ndatel sai see siiski lõplikult lahendatud, kuid selleks oli vaja tuhandeid erinevat tüüpi hulknurki. Liikide arvukust vähendati samm-sammult ja lõpuks, 1970. aastate keskel, lahendas Oxfordi ülikooli professor Roger Penrose, meie aja silmapaistev teadlane, aktiivselt erinevates matemaatika ja füüsika valdkondades, probleemi, kasutades ainult kahte tüüpi. rombidest.

Roger Penrose

Uurisime sellise mosaiigi konstrueerimise meetodit, mida nüüd nimetatakse Penrose'i mosaiigiks. Selleks tõmmake diagonaalid tavalises viisnurgas (viisnurgas). Saame uue viisnurga ja kahte tüüpi võrdhaarseid kolmnurki, mida nimetatakse "kuldseks". Puusa ja aluse suhe sellistes kolmnurkades on võrdne “kuldse” proportsiooniga. Kolmnurkade nurgad on ühes nurgad 36°, 72° ja 72° ning teises 108°, 36° ja 36°. Ühendame kaks identset kolmnurka ja saame “kuldsed” rombid. Teadlane kasutas neid parketi ehitamisel ja parkett ise nimetati "kuldseks".

Penrose mosaiik

Penrose'i mosaiigil on järgmised omadused:

1. õhukeste rombide ja jämedate rombide arvu suhe on alati võrdne nn “kuldse” arvuga 1,618...