Симметрик мозайк. Penrose мозайкийг бүтээх алгоритм - загвар ба квазикристал. Өөр өөр орны мозайкууд

Penrose мозайкийг бүтээх алгоритм - загвар ба квазикристал

Оюутан
Владимирын нэрэмжит улсын их сургууль

A. G. ба сурган хүмүүжүүлэх дээд сургууль,
ОХУ-ын Владимир хотын Физик-математикийн факультет
Имэйл:****@***com

Квазикристалууд нь талст болон аморф хатуу биетүүдийн хоорондох завсрын харьцангуй саяхан нээгдсэн хатуу төрөл юм. Тэдгээрийн илрэл нь 1982 онд туршилтаар нээсэн бодисуудтай холбоотой бөгөөд тэдгээр нь функциональ Браггийн оргилууд болон орчуулгын тортой нийцэхгүй тэгш хэмтэй дифракцийн хэв маягийг өгдөг. Тэдний нээлтийн төлөө Израилийн физикч, химич Дан Шехтман 2011 онд Нобелийн шагнал хүртжээ.

Урт хугацааны дараалал бүхий үе үе бус цэгийн системийг ихэвчлэн квазиталстуудын математик загвар болгон ашигладаг. Ийм математикийн квазикристалууд нь физикээс ялгаатай нь ямар ч хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогдож болно.

Квазикристалын хоёр хэмжээст загвар нь Пенроузын мозайк бөгөөд үүнийг математикчид бараг талстыг нээхээс өмнө судалж байсан. Пенроузын мозайк нь үе үе хуваалт биш, учир нь энэ нь ямар ч зэрэгцээ шилжүүлэг - орчуулгад хувирдаггүй. Гэсэн хэдий ч энэ хуваалтыг бий болгох алгоритмаар тодорхойлогддог хатуу дараалал байдаг.

Математик квазикристалыг тодорхойлох олон арга байдаг. Хамгийн алдартай арга нь сүлжээг том хэмжээст орон зайгаас бага хэмжээст орон зайд проекцлоход суурилдаг бөгөөд үүнийг "загварын багц" гэж нэрлэдэг. Penrose хавтанцар дээр хэрэглэх үед энэ аргыг Бааки арга гэж нэрлэдэг.

Энэ арга нь квазикристалын дифракцийн загварыг онолын үүднээс болон компьютерийн алгоритмын үүднээс судлах, шинжлэхэд хамгийн тохиромжтой. Энэхүү шинжилгээнд үндэслэн квазикристалын шинж чанарын талаар дараагийн дүгнэлтийг гаргаж болно.

Penrose мозайкийн шинж чанарыг шинжлэхийн тулд бид Baaki алгоритмыг ашиглан компьютерийн програм бичсэн бөгөөд үүний дагуу цонхыг тодорхойлдог https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51" height=24" height="24">.gif" width="104" height="24">, энд .

https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , хаана алтан харьцааг тохируулна. Дараа нь цэгүүдийн проекцийг загвар багц дараах байдлаар байх болно : мөн хаана https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">.Хоорондын зай нь 1 байх үед оройнууд нь ирмэгээр холбогддог.Иймд дээрх алгоритмыг ашиглан Penrose мозайкийг бүтээв.

Хуваалтын "нэмэлт" орой болон ирмэгүүд гарч ирдэг тул Баакигийн арга нь бүрэн үнэн зөв биш бөгөөд үүссэн хуваалт нь Penrose хуваалт биш гэдгийг бид олж мэдсэн. Энэ барилга нь таван өнцөгтийн орой ба хил хязгаар хүртэл зөв болох нь тогтоогдсон.

Компьютерийн туршилтыг ашигласнаар Бааки аргыг боловсронгуй болгох боломжтой болсон бөгөөд үүний үр дүнд Пенроуз мозайк гарч ирэв (Зураг 1):

Зураг.1 Бааки алгоритмын өөрчлөлтийг ашиглан олж авсан Penrose мозайк

Дээр дурдсан Penrose хавтанцар барих аргыг Penrose хавтангийн сул параметржилт гэж нэрлэдэг.

Барилгын өөр нэг арга байдаг - хуваалтын оройн хүчтэй параметрчилал, та өгөгдсөн оройн параметрийг ашиглан хөрш зэргэлдээх оройнуудын параметрүүдийг олж авах боломжтой. Параметрүүдийн бүхэл бүтэн багц нь олон өнцөгт хуваагддаг бөгөөд тус бүрт тухайн цэгийн эхний орон нутгийн орчин, мөн тухайн цэгийг зэргэлдээх цэгүүдтэй холбосон векторуудаас бүрдсэн од байдаг.

1973 онд Английн математикч Рожер Пенроуз геометрийн дүрс бүхий тусгай мозайк бүтээснээр Пенроузын мозайк гэж нэрлэгдэх болжээ.
Penrose мозайк нь хоёр тодорхой хэлбэрийн олон өнцөгт хавтангаас (бага зэрэг ялгаатай ромбус) угсарсан загвар юм. Тэд төгсгөлгүй онгоцыг цоорхойгүйгээр засаж чадна.

Бүтээгчийнх нь дагуу Penrose мозайк.
Энэ нь хоёр төрлийн ромбоноос угсардаг.
нэг нь 72 градусын өнцөгтэй, нөгөө нь 36 градусын өнцөгтэй.
Зураг нь тэгш хэмтэй, гэхдээ үе үе биш юм.

Үүссэн зураг нь орчуулгын тэгш хэмтэй зураг болох "хэмнэлтэй" чимэглэл юм шиг харагдаж байна. Энэ төрлийн тэгш хэм нь хавтгай дээр "хуулбарлах" боломжтой тодорхой хэсгийг сонгож, дараа нь эдгээр "давхардсан" хэсгүүдийг хооронд нь зэрэгцээ шилжүүлэх (өөрөөр хэлбэл эргэлтгүйгээр, томруулахгүйгээр) нэгтгэж болно гэсэн үг юм.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв та анхааралтай ажиглавал Penrose загварт ийм давтагдах бүтэц байхгүй болохыг харж болно - энэ нь цаг хугацааны шинж чанартай байдаг. Гэхдээ гол зүйл бол оптик хуурмаг биш, харин мозайк нь эмх замбараагүй биш юм: энэ нь тавдугаар эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаг.

Энэ нь зургийг 360 / n градустай тэнцүү хамгийн бага өнцгөөр эргүүлэх боломжтой гэсэн үг бөгөөд энд n нь тэгш хэмийн дараалал, энэ тохиолдолд n = 5. Иймээс юу ч өөрчлөгдөхгүй эргэлтийн өнцөг нь олон тооны байх ёстой. 360/5 = 72 градус.

Арав орчим жилийн турш Пенроузын шинэ бүтээлийг математикийн өхөөрдөм хийсвэрлэлээс өөр зүйл гэж үздэггүй байв. Гэсэн хэдий ч 1984 онд Израилийн Технологийн хүрээлэнгийн (Технион) профессор Дан Шехтман хөнгөн цагаан магнийн хайлшийн бүтцийг судалж байхдаа энэ бодисын атомын торонд дифракц үүсдэг болохыг олж мэдсэн.

Хатуу биеийн физикт байсан өмнөх санаанууд энэ боломжийг үгүйсгэсэн: дифракцийн хэв маягийн бүтэц нь тав дахь дарааллын тэгш хэмтэй байдаг. Түүний хэсгүүдийг зэрэгцээ дамжуулалтаар нэгтгэх боломжгүй бөгөөд энэ нь огт болор биш гэсэн үг юм. Гэхдээ дифракц нь болор торны шинж чанар юм! Эрдэмтэд энэ сонголтыг квазикристал гэж нэрлэнэ гэдэгтэй санал нэгджээ - энэ нь материйн онцгой төлөвтэй адил зүйл юм. Энэ нээлтийн гоо үзэсгэлэн нь түүний математик загвар болох Пенроузын мозайк аль хэдийн бэлэн болсон явдал юм.

Саяхан энэхүү математик бүтэц нь төсөөлж байснаас хамаагүй эртнийх нь тодорхой болсон. 2007 онд Харвардын их сургуулийн физикч Питер Ж.Лу, Принстоны их сургуулийн өөр нэг физикч Пол Ж.Стейнхардтын хамт Пенроузын мозайкуудын тухай Science сэтгүүлд нийтлэл хэвлүүлсэн. Энд гэнэтийн зүйл тийм ч их биш юм шиг санагдаж байна: квазикристалын нээлт нь энэ сэдвийг ихээхэн сонирхож, шинжлэх ухааны хэвлэлд олон тооны нийтлэл гарахад хүргэсэн.

Гэхдээ орчин үеийн шинжлэх ухаанд зориулагдаагүй нь уг бүтээлийн онцлох зүйл юм. Ерөнхийдөө шинжлэх ухаан биш. Питер Лу Дундад зууны үед баригдсан Ази дахь лалын сүмүүдийг хамарсан хэв маягт анхаарлаа хандуулав. Эдгээр амархан танигдах загварууд нь мозайк хавтангаар хийгдсэн байдаг. Тэдгээрийг гирихи (араб хэлнээс "зангилаа" гэсэн үгнээс гаралтай) гэж нэрлэдэг бөгөөд Исламын урлагт хамаарах геометрийн загвар бөгөөд олон өнцөгт хэлбэрээс бүрддэг.

15-р зууны араб гар бичмэлд үзүүлсэн хавтангийн байршлын жишээ.
Судлаачид давтагдах хэсгүүдийг тодруулахын тулд өнгө ашигласан.
Бүх геометрийн хэв маягийг эдгээр таван элементийн үндсэн дээр бүтээдэг.
Дундад зууны Арабын мастерууд. Давтагдах элементүүд
хавтангийн хил хязгаартай давхцах албагүй.

Исламын гоёл чимэглэлийн хоёр хэв маяг байдаг: геометрийн - гирих, цэцэгсийн - ислими.
Гирих(pers.) - тэгш өнцөгт ба олон өнцөгт хэлбэртэй зурааснаас бүрдсэн нарийн төвөгтэй геометрийн хэв маяг. Ихэнх тохиолдолд энэ нь сүм хийдийн гаднах чимэглэл, томоохон хэвлэлд ном гаргахад ашиглагддаг.
Ислими(pers.) – ховил ба спираль хосолсон дээр бүтээгдсэн гоёл чимэглэлийн төрөл. Үргэлж хөгжиж буй цэцэглэдэг навчит найлзууруудын санааг загварчлагдсан эсвэл натуралист хэлбэрээр тусгасан бөгөөд эцэс төгсгөлгүй олон янзын сонголтуудыг багтаасан болно. Энэ нь хувцас, ном, сүм хийдийн дотоод засал чимэглэл, аяга таваг зэрэгт хамгийн өргөн тархсан байдаг.

1306-1315 оны Коран судрын хавтас, геометрийн хэсгүүдийн зураг,
үүн дээр тулгуурласан загвар. Энэ болон дараах жишээнүүд таарахгүй байна
Penrose lattices, гэхдээ тав дахь эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаг

Питер Лугийн нээлтээс өмнө эртний архитекторууд захирагч, луужин (хэрэв онгодоор биш бол) ашиглан гириха хэв маягийг бүтээдэг гэж үздэг байв. Гэсэн хэдий ч, хэдэн жилийн өмнө Лу Узбекистанд аялж байхдаа нутгийн дундад зууны үеийн архитектурыг чимэглэсэн мозайк хээг сонирхож, тэдний танил зүйлийг анзаарчээ. Харвард руу буцаж ирээд эрдэмтэн Афганистан, Иран, Ирак, Туркийн дундад зууны үеийн барилгуудын ханан дээрх мозайк дээрх ижил төстэй хээг судалж эхлэв.

Энэ жишээ нь хожуу үе буюу 1622 он (Энэтхэгийн сүм).
Тvvний бvтээц, бvтээцийнх нь зургийг харахад хvн хєдєлмєрийг бишрэхээс ч аргагvй
судлаачид. Мэдээжийн хэрэг, мастерууд өөрсдөө.

Питер Лу гирихүүдийн геометрийн хээ нь бараг ижил байдгийг олж мэдсэн бөгөөд бүх геометрийн загварт ашигласан үндсэн элементүүдийг тодорхойлж чадсан юм. Нэмж дурдахад тэрээр эдгээр зургуудын зургийг эртний гар бичмэлүүдээс олсон бөгөөд эртний зураачид ханыг чимэглэхэд нэг төрлийн хуурамч хуудас болгон ашигладаг байжээ.
Эдгээр хэв маягийг бий болгохын тулд тэд энгийн, санамсаргүй байдлаар зохион бүтээсэн контурыг ашигладаггүй, харин тодорхой дарааллаар байрлуулсан дүрсүүдийг ашигласан. Эртний хэв маяг нь Penrose мозайкийн яг нарийн хийц байсан юм!

Эдгээр зургууд нь ижил хэсгүүдийг онцолж,
Хэдийгээр эдгээр нь янз бүрийн сүм хийдээс авсан гэрэл зургууд юм

Исламын шашны уламжлалд хүн, амьтдыг дүрслэхийг хатуу хориглодог байсан тул геометрийн хэв маяг нь барилгын дизайнд маш их алдартай болсон. Дундад зууны мастерууд ямар нэгэн байдлаар үүнийг олон янз болгож чадсан. Гэвч тэдний "стратеги"-ийн нууц юу болохыг хэн ч мэдэхгүй. Тиймээс, нууц нь тэгш хэмтэй хэвээр байгаа ч дахин давтагдахгүйгээр онгоцыг дүүргэх боломжтой тусгай мозайк ашиглах явдал юм.

Эдгээр зургуудын өөр нэг "заль мэх" нь янз бүрийн сүм хийдэд ийм схемийг зургийн дагуу "хуулснаар" зураачид гажуудлыг зайлшгүй зөвшөөрөх шаардлагатай болдог. Гэхдээ энэ шинж чанарын зөрчил хамгийн бага байдаг. Үүнийг зөвхөн том хэмжээний зураг зурахад ямар ч утгагүй байсантай холбон тайлбарлаж болно: гол зүйл бол зургийг бүтээх зарчим байв.

Гирихүүдийг угсрахдаа таван төрлийн хавтанг (арав ба таван өнцөгт ромб ба "эрвээхэй") ашигласан бөгөөд тэдгээрийг хооронд нь зай завсаргүйгээр зэргэлдээ мозайк хэлбэрээр угсарсан. Тэдгээрээс бүтээгдсэн мозайкууд нь нэг дор эргэлдэх ба хөрвүүлэх тэгш хэмтэй, эсвэл зөвхөн тав дахь эрэмбийн тэгш хэмтэй байж болно (өөрөөр хэлбэл Пенрозын мозайк).

1304 оны Ираны бунханы гоёл чимэглэлийн хэсэг. Баруун талд - гирихүүдийн сэргээн босголт

Лу, Штайнхардт нар дундад зууны үеийн мусульманчуудын дурсгалт газруудын хэдэн зуун гэрэл зургийг судалж үзээд 13-р зууны үеийн чиг хандлагыг тогтоож чадсан юм. Аажмаар энэ арга нь улам бүр түгээмэл болж, 15-р зуун гэхэд өргөн тархсан. Энэ болзох хугацаа нь ордон, сүм хийд, янз бүрийн чухал барилгуудыг янз бүрийн олон өнцөгт хэлбэртэй паалантай өнгөт керамик хавтангаар чимэглэх техникийг хөгжүүлэх үетэй давхцдаг. Өөрөөр хэлбэл, тусгай хэлбэрийн керамик хавтангуудыг гирихүүдэд зориулж бүтээсэн.

Судлаачид Ираны Исфахан хотод 1453 онд баригдсан Имам Дарб-игийн ариун газрыг бараг л хамгийн тохиромжтой талст хэлбэртэй бүтцийн жишээ гэж үзжээ.

Исфахан (Иран) дахь Имам Дарб-и бунханы портал.
Энд хоёр гирих систем бие биендээ наасан байна.

Туркийн нэгэн сүмийн хашааны багана (ойролцоогоор 1200 он)
мөн Иран дахь медресегийн хана (1219). Эдгээр нь эртний бүтээлүүд юм
мөн тэд Лу-гийн олсон хоёр бүтцийн элементийг л ашигладаг

Одоо Гирих ба Пенроузын мозайкуудын түүхэн дэх хэд хэдэн нууцуудын хариултыг олох хэрэгтэй байна. Эртний математикчид хэрхэн, яагаад хагас талст бүтцийг нээсэн бэ? Дундад зууны арабууд мозайкийг урлагийнхаас өөр утгаар нь өгдөг байсан уу? Яагаад ийм сонирхолтой математикийн ойлголт хагас мянган жилийн турш мартагдсан бэ? Хамгийн сонирхолтой нь орчин үеийн өөр ямар нээлтүүд шинэ, үнэндээ мартагдсан хуучин юм бэ?

Penrose мозайк, Penrose хавтанцар - онгоцыг үе үе хуваах, үе үеийн ердийн бүтэц, 72 ° ба 108 ° өнцгөөр ("зузаан ромбууд") ба 36 ° ба 144 ° ("" гэсэн хоёр төрлийн ромб бүхий онгоцыг хавтанцар хийх" нимгэн ромбууд"), ийм (пропорцууд нь "Алтан харьцаа"-д хамаарна) зэргэлдээ хоёр (өөрөөр хэлбэл нийтлэг талтай) ромбууд хамтдаа параллелограмм үүсгэдэггүй.Онгоцыг цоорхойгүй, давхцалгүйгээр ижил хэлбэрийн дүрсээр дүүргэх тухай асуудлыг сонирхож байсан Рожер Пенроузын нэрээр нэрлэсэн.

Ийм бүх хавтанцар нь үе үе биш бөгөөд бие биенээсээ орон нутгийн хувьд изоморф (өөрөөр хэлбэл нэг Penrose хавтангийн төгсгөлтэй фрагмент бусад аль ч хэсэгт тохиолддог). "Өөртэйгөө ижил төстэй байдал" - та зэргэлдээх мозайк хавтангуудыг нэгтгэж, Пенроузын мозайкийг дахин авах боломжтой.

Хоёр хавтан тус бүр дээр хэд хэдэн сегментийг зурж болох бөгөөд ингэснээр мозайкийг байрлуулахдаа эдгээр сегментүүдийн төгсгөлүүд хоорондоо уялдаж, хавтгай дээр зэрэгцээ шулуун шугамын хэд хэдэн гэр бүл (Амман судал) үүсдэг.

Зэргэлдээх зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зай нь яг хоёр өөр утгыг авдаг (мөн параллель шугамын гэр бүл бүрийн хувьд эдгээр утгуудын дараалал нь ижил төстэй байдаг).

Цоорхойтой Penrose хавтан нь хязгаарлагдмал талбайн дүрсээс бусад бүх хавтгайг хамардаг. Цөөн тооны (хязгаарлагдмал тооны) хавтанг авч нүхийг томруулж, дараа нь таглаагүй хэсгийг бүрэн хучилттай болгох боломжгүй юм.

Асуудлыг үе үе давтагдах хэв маягийг бий болгодог дүрсээр хавтанцар наах замаар шийддэг боловч Пенроуз яг ийм дүрсийг олохыг хүссэн бөгөөд энэ нь онгоцон дээр плита тавихад давтагдах хэв маягийг бий болгодоггүй. Зөвхөн үе үе биш мозайк барих боломжтой плита байхгүй гэж үздэг байв. Пенроуз янз бүрийн хэлбэрийн олон хавтанг сонгосон бөгөөд эцэст нь бүх эв найрамдалтай харилцааны үндэс суурь болох "алтан харьцаа" -тай 2 ширхэг л байсан. Эдгээр нь 108 ° ба 72 ° өнцөг бүхий алмаазан хэлбэртэй дүрсүүд юм. Хожим нь "алтан гурвалжин" -ын зарчимд тулгуурлан дүрсүүдийг энгийн ромб хэлбэртэй (36 ° ба 144 °) болгон хялбаршуулсан.

Үүссэн загварууд нь 5-р эрэмбийн тэнхлэгийн тэгш хэмтэй хагас талст хэлбэртэй байна. Мозайк бүтэц нь Фибоначчийн дараалалтай холбоотой.
( Википедиа)

Пенрозын мозайк. Цагаан цэг нь 5-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмийн төвийг тэмдэглэдэг: түүнийг тойрон 72 ° эргүүлэх нь мозайкийг өөрөө өөрчилдөг.

Гинж ба мозайк (Шинжлэх ухаан ба амьдрал сэтгүүл, 2005 оны №10)

Юуны өмнө дараах хамгийн тохиромжтой загварыг авч үзье. Тэнцвэрт байгаа бөөмсийг зөөвөрлөх тэнхлэгийн дагуу z байрлуулж, геометрийн прогрессийн хуулийн дагуу өөрчлөгддөг хувьсах хугацаатай шугаман гинж үүсгэнэ.

а = a1·Dn-1,

Энд a1 нь бөөмсийн хоорондох эхний үе, n нь хугацааны серийн дугаар, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1.6180339... алтан пропорцын тоо.

Бөөмийн бүтээгдсэн гинжин хэлхээ нь урт хугацааны тэгш хэмийн дараалал бүхий нэг хэмжээст квазикристалын жишээ болдог. Бүтэц нь туйлын эмх цэгцтэй, тэнхлэг дээрх бөөмсийн зохион байгуулалтад системчилсэн хэв маяг байдаг - тэдгээрийн координатууд нь нэг хуулиар тодорхойлогддог. Үүний зэрэгцээ давтагдах чадвар байхгүй - бөөмсийн хоорондох хугацаа өөр өөр бөгөөд байнга нэмэгддэг. Иймээс үүссэн нэг хэмжээст бүтэц нь орчуулгын тэгш хэмтэй байдаггүй бөгөөд энэ нь бөөмсийн эмх замбараагүй зохион байгуулалтаас (аморф бүтэцтэй адил) бус, харин хоёр зэргэлдээ үеийн иррациональ харьцаанаас (D нь иррационал тоо) үүсдэг.

Квазикристалын нэг хэмжээст бүтцийн логик үргэлжлэл нь хоёр хэмжээст бүтэц бөгөөд үүнийг хоёр өөр элемент, хоёр элементийн эсээс бүрдсэн үе үе бус мозайк (загвар) бүтээх аргаар дүрсэлж болно. Энэхүү мозайкийг 1974 онд Оксфордын их сургуулийн онолын физикч бүтээжээ. Р.Пенроуз.Тэрээр ижил талтай хоёр ромбын мозайк олжээ. Нарийн ромбын дотоод өнцөг нь 36° ба 144°, өргөн ромбынх 72° ба 108° байна.

Эдгээр ромбуудын өнцөг нь алтан харьцаатай холбоотой бөгөөд үүнийг x2 - x - 1 = 0 тэгшитгэл эсвэл y2 + y - 1 = 0 тэгшитгэлээр илэрхийлдэг. Эдгээр квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тригонометрийн хэлбэрээр бичиж болно.

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Тэгшитгэлийн язгуурыг илэрхийлэх энэхүү уламжлалт бус хэлбэр нь эдгээр ромбуудыг нарийн, өргөн алтан ромбус гэж нэрлэж болохыг харуулж байна.

Пенроузын мозайк дээр онгоц нь завсаргүй, давхцалгүй алтан ромбуудаар бүрхэгдсэн бөгөөд урт, өргөнөөр нь хязгааргүй сунгаж болно. Гэхдээ хязгааргүй мозайк бүтээхийн тулд болорыг бүрдүүлдэг ижил элементийн эсийн монотон давтахаас эрс ялгаатай тодорхой дүрмийг дагаж мөрдөх шаардлагатай. Хэрэв алтан алмазыг тохируулах дүрмийг зөрчсөн бол хэсэг хугацааны дараа мозайк ургах нь зогсох болно, учир нь арилгах боломжгүй зөрчил гарч ирнэ.

Пенроузын хязгааргүй мозайк дээр алтан ромбуудыг хатуу үечлэлгүйгээр байрлуулсан байдаг. Харин өргөн алтан алмазны тоог нарийн алтан очир эрдэнийн тоонд харьцуулсан харьцаа нь D = (1 + √5)/2= = 1.6180339... алтан тоотой яг тэнцүү байна. D тоо нь үндэслэлгүй тул ийм мозайк дээр төрөл бүрийн бүхэл тооны ромб бүхий энгийн нүдийг сонгох боломжгүй бөгөөд орчуулга нь мозайкийг бүхэлд нь авч болно.

Пенроузын мозайк нь математикийн зугаа цэнгэлийн объект болох өөрийн гэсэн өвөрмөц сэтгэл татам байдаг. Энэ асуудлыг бүх талаас нь авч үзэхгүйгээр эхний алхам болох мозайк барих нь анхаарал, тэвчээр, тодорхой оюун ухаан шаарддаг тул нэлээд сонирхолтой гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Хэрэв та мозайкийг олон өнгийн болговол маш их бүтээлч байдал, уран сэтгэмжийг харуулж чадна. Шууд тоглоом болж хувирдаг будгийг олон тооны анхны аргаар хийж болох бөгөөд тэдгээрийн хувилбаруудыг зураг дээр (доор) үзүүлэв. Цагаан цэг нь мозайкийн төвийг тэмдэглэж, эргэн тойронд нь 72 ° эргүүлэх нь түүнийг өөрөө болгодог.

Пенроузын мозайк нь янз бүрийн салбаруудын уулзвар дээр байрладаг үзэсгэлэнтэй барилга нь түүний хэрэглээг хэрхэн олж авдгийн гайхалтай жишээ юм. Хэрэв зангилааны цэгүүдийг атомаар сольсон бол Penrose мозайк нь хоёр хэмжээст квазикристалын сайн аналог болж хувирдаг, учир нь энэ нь материйн энэ төлөв байдалд олон шинж чанартай байдаг. Тийм учраас л.

Нэгдүгээрт, мозайк барих ажлыг тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг бөгөөд үүний үр дүнд энэ нь санамсаргүй биш, харин захиалгат бүтэц болж хувирдаг. Түүний аль ч хязгаарлагдмал хэсэг нь мозайк дээр тоо томшгүй олон удаа тохиолддог.

Хоёрдугаарт, мозайк дээр яг ижил чиг баримжаатай олон ердийн арван өнцөгтүүдийг ялгаж болно. Тэд урт хугацааны чиг баримжаа олгох дарааллыг бий болгодог бөгөөд үүнийг бараг үе үе гэж нэрлэдэг. Энэ нь очир эрдэнийн байршил, харьцангуй чиг баримжааг маш тодорхой, хоёрдмол утгатай боловч зохицуулдаг алс холын шигтгэмэл байгууламжуудын хооронд харилцан үйлчлэл байдаг гэсэн үг юм.

Гуравдугаарт, хэрэв та сонгосон чиглэлтэй зэрэгцээ бүх ромбуудыг дараалан зурвал тэдгээр нь хэд хэдэн тасархай шугам үүсгэх болно. Эдгээр тасархай шугамын дагуу та ойролцоогоор ижил зайд бие биенээсээ зайтай шулуун зэрэгцээ шугамуудыг зурж болно. Энэ өмчийн ачаар бид Penrose мозайк дахь зарим орчуулгын тэгш хэмийн талаар ярьж болно.

Дөрөвдүгээрт, дараалсан сүүдэртэй очир алмааз нь 72°-ийн үржвэртэй өнцгөөр огтлолцсон ижил төстэй параллель шугамын таван гэр бүлийг үүсгэдэг. Эдгээр тасархай шугамын чиглэл нь ердийн таван өнцөгтийн талуудын чиглэлтэй тохирч байна. Тиймээс Пенроузын мозайк нь тодорхой хэмжээгээр 5-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй бөгөөд энэ утгаараа квазикристалтай төстэй юм.

Үзсэн: 367

“Science” сэтгүүлийн 2007 оны 2-р сарын дугаарт Америкийн эрдэмтэн Питер Лу, Пол Штайнхардт нарын дундад зууны Исламын архитектурын тухай өгүүлэл гарсан нь шинжлэх ухааны шуугиан тарьсан юм. Дундад зууны үеийн бунхан, сүм хийд, ордны ханыг чимэглэсэн мозайк хээг зөвхөн ХХ зууны 70-аад оны үед Европын эрдэмтдийн нээсэн математикийн хуулиудыг ашиглан хийсэн гэж нийтлэлийн зохиогчид тэмдэглэжээ. Эндээс харахад дундад зууны үеийн архитекторууд Европын хамтран ажиллагсдаас хэдэн зуун жилийн өмнө байсан нь тодорхой харагдаж байна.

Энэхүү нээлт нь орчин үеийн шинжлэх ухааны олон зүйлийн нэгэн адил санамсаргүй байдлаар тохиолдсон юм. 2005 онд Харвардын их сургуулийн төгсөх ангийн оюутан Питер Лу Узбекистаны жуулчаар ирсэн. Бухар дахь Абдуллахан бунхны ханын чимэглэлийг биширч байхдаа тэрээр нэгэн цагт их сургуульд сурч байсан геометрийн нарийн төвөгтэй байгууламжийн аналогийг олж харав. Самаркандын олон тооны гоёл чимэглэлийн хачирхалтай хээ нь түүний таамаг зөв болохыг баталж байв. Тэрээр гэртээ буцаж ирээд дипломын ажлынхаа удирдагч, Принстоны их сургуулийн профессор Пол Стайнхардтад нээлтийнхээ тухай ярьжээ.

Узбекистан, Афганистан, Иран, Ирак, Турк, Энэтхэгийн дундад зууны үеийн лалын шашны архитектурын дурсгалуудын ханын зураг, гоёл чимэглэлийн бүтцийг сайтар судалсан нь Питер Лугийн таамаг зөв болохыг баталж, дээр дурдсан дуулиан тарьсан нийтлэлийн сэдэв болов.

Питер Лу, Пол Штайнхадт нарын нээлтийн утгыг ойлгохын тулд паркетийн асуудал, талст бүтэц, алтан тоо гэх мэт ойлголтуудтай танилцах хэрэгтэй. Тиймээс дарааллаар нь танилцуулгаа эхэлцгээе.

Паркетаны асуудал ба Пенроузын бүтэц

Математикийн хувьд цоорхой, давхцалгүй олон өнцөгт бүхий хавтгайг бүрэн дүүргэх бодлогыг гэдэг. паркет. Эртний Грекчүүд ч гэсэн онгоцыг ердийн гурвалжин, квадрат, зургаан өнцөгтөөр бүрхсэнээр энэ асуудлыг амархан шийддэг гэдгийг мэддэг байсан.

Үүний зэрэгцээ ердийн таван өнцөгт нь паркетангийн үндсэн элемент болж чадахгүй, учир нь цоорхойгүй хавтгай дээр бие биентэйгээ нягт бэхлэх боломжгүй юм. Долоо, найм, есөн, арав гэх мэтийг ижил зүйлийг хэлж болно. квадратууд. Аажмаар онгоцыг янз бүрийн төрөл, хэмжээтэй ердийн олон өнцөгтөөр дүүргэх арга замыг зохион бүтээжээ. Жишээлбэл, янз бүрийн хэмжээтэй дөрвөлжин ба найман өнцөгтийг хослуулан онгоцыг ингэж дүүргэж болно.

Энэ асуудлын илүү төвөгтэй хөгжил нь хэд хэдэн төрлийн олон өнцөгтөөс бүрдэх, хавтгайг бүхэлд нь бүрхсэн паркетийн бүтэц нь "тогтмол" эсвэл "бараг" үе үе биш байх нөхцөл юм. Удаан хугацааны туршид энэ асуудлыг шийдэх боломжгүй гэж үздэг байсан. Гэсэн хэдий ч өнгөрсөн зууны 60-аад онд үүнийг эцэслэн шийдсэн боловч энэ нь янз бүрийн төрлийн олон мянган олон өнцөгтийг шаарддаг. Алхам алхмаар зүйлийн тоо буурч, эцэст нь 70-аад оны дундуур Оксфордын их сургуулийн профессор Рожер Пенроуз зөвхөн хоёр төрлийн алмаз ашиглан асуудлыг шийдсэн. Хавтгайг 72 ба 36 градусын хурц өнцөг бүхий ромбуудаар дүүргэх бараг үечилсэн (өөрөөр хэлбэл бараг үечилсэн) хувилбарыг доор харуулав. Тэдгээрийг мөн "зузаан", "нимгэн" алмаз гэж нэрлэдэг.

Алмазыг зохион байгуулахдаа үе үе бус хэв маягийг олж авахын тулд тэдгээрийн хослолын зарим энгийн дүрмийг баримтлах хэрэгтэй. Энэхүү энгийн мэт санагдах бүтэц нь маш сонирхолтой шинж чанартай болох нь тогтоогдсон. Жишээлбэл, нимгэн ромбоны тоог зузаантай нь харьцуулж үзвэл энэ нь үргэлж "алтан харьцаа" гэж нэрлэгддэг 1.618-тай тэнцүү болж хувирдаг ... Нэгэнт энэ тоо "яг нарийн" биш юм. , мөн математикчдын хэлснээр, үндэслэлгүй бүтэц нь үе үе биш, бараг үе үе болж хувирдаг. Түүнээс гадна энэ тоо нь таван хошуут одыг бүрдүүлдэг арван өнцөгт доторх сегментүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь хамгийн тохиромжтой харьцаатай геометрийн дүрс гэж тооцогддог пентаграм юм. Тодруулсан арван өнцөгт нь ижил чиг баримжаатай бөгөөд энэ нь Penrose хавтанцарыг бүрдүүлдэг очир алмаазуудын зохицуулалтыг зохицуулж, тодорхойлдог гэдгийг анхаарна уу. Энэхүү цэвэр геометрийн бүтэц нь 1984 онд нээсэн квази талстыг дүрслэх хамгийн тохиромжтой математик загвар болсон нь гайхалтай юм.

Квазикристал гэж юу вэ

Эрдэмтдийн цэвэр төсөөллийн үр дүнд бий болсон математикийн бүтээн байгуулалт хэрхэн санаанд оромгүй чухал практик хэрэглээг олж авсан тухай өөр нэгэн сонирхолтой түүхийг өгүүлэхийн тулд бид энэ хэсгийг нийтлэлдээ оруулсан болно.

Байгаль дээрх бүх бодисыг хоёр төрөлд хувааж болно: атомуудын харилцан зохион байгуулалтад тогтмол байдаггүй аморф, хатуу дарааллаар нь тодорхойлогддог талст бодис. Кристаллографийн хуулиас харахад талстуудын хувьд зөвхөн нэг, хоёр, гурав, дөрөв, зургаа дахь зэрэглэлийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд боломжтой байдаг, өөрөөр хэлбэл. Паркетантай зүйрлэвэл тав дахь тэгш хэмтэй талстууд байгальд байх боломжгүй. Энэ нөхцөл байдал нь олон хэмжээст орон зай дахь бүлгүүдийн математикийн онолын үндсэн дээр баттай нотлогдсон. Гэвч байгаль урьдын адил илүү шинэлэг болж, 1984 онд Шехтманы бүлгийн бүтээл хэвлэгдсэн бөгөөд энэ нь тав дахь ээлжийн тэгш хэмтэй хөнгөн цагаан-манганы хайлшийг нээсэн тухай мэдээлсэн юм. Дараа нь өнөөг хүртэл үл мэдэгдэх шинж чанартай ижил төстэй олон хайлшийг нэгтгэсэн. Эдгээр хайлшийг бараг талст гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд одоо материйн аморф ба талст хэлбэрийн завсрын хэсэг гэж үздэг.

Чухамхүү энэхүү нээлтийн ачаар хагас талстуудын бүтцийг загварчлахад хамгийн тохиромжтой хэрэгсэл болсон Пенроузын геометрийн хийц маш их алдаршиж, улам бүр хөгжсөн юм. Тийм ч учраас их дээд сургуулийн хичээлд багтдаг. Одоогийн байдлаар Penrose мозайкийн гурван хэмжээст ерөнхий дүр төрхийг аль хэдийн олж авсан бөгөөд энэ нь нимгэн, зузаан ромбоэдрон - зургаан өнцөгт дүрсүүдээс бүрдсэн бөгөөд нүүр тус бүр нь ромб юм.

Дундад зууны мозайкуудын үндэс нь ямар геометр юм

Лу, Штайнхардт нар 3700 орчим мозайк хавтанг шинжилсний дараа 13-р зууны эхэн үед бунхан, сүм болон бусад барилгуудыг таван олон өнцөгт, тухайлбал арван өнцөгтөөс бүрдсэн үе үе мозайкаар чимэглэх технологи бий болсон гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ. зургаан өнцөгт, эрвээхэй зангиа нь мусульман шашинтай орнуудад тархсан байв.(нийтлэлийг зохиогчдын нэр томъёо), таван өнцөгт, ромбо. Энэ нь үндсэндээ дээр дурьдсан паркетийн асуудлыг таван "Лалын" олон өнцөгтийн багц ашиглан шийдэх шийдэл байв. Ийм олон өнцөгтөөс бүрдсэн хэв маягийг "гирик" (Перс хэлнээс - зангилаа) гэж нэрлэдэг.

Бүх олон өнцөгтүүдийн нүүр нь ижил хэмжээтэй байдаг тул тэдгээрийг аль ч талаас нь холбох боломжтой гэдгийг анхаарна уу. Нэмж дурдахад, олон өнцөгт хавтан бүр нь гоёл чимэглэлийн шугамтай боловч тэдгээрийг геометрийн хатуу дүрмийн дагуу зурдаг: дурын хоёр хэв маягийн шугам нь тал бүрийн дунд 72 эсвэл 108 ° өнцгөөр нийлдэг, өөрөөр хэлбэл. 36°-ын үржвэр. Энэ нь таныг нэг хавтангаас нөгөөд шилжихэд хэв маяг нь тогтвортой байх болно.

Ийм мозайк барихын тулд луужин, захирагч байхад л хангалттай. Дашрамд дурдахад, Америкийн эрдэмтэд нээлт хийхээс өмнө дундад зууны үеийн мастерууд барилга байгууламжийн чимэглэлийг бүтээхдээ захирагч, луужин зэрэг хамгийн энгийн хэрэгслийг л ашигладаг гэж үздэг байв. Энэ нь бүрэн үнэн биш гэдэг нь одоо тодорхой болсон.

15-р зуун бол Тимуридын захирч байсан улс орнуудын шинжлэх ухаан, соёлын цэцэглэлтийн хамгийн бүтээлч үе юм. Яг энэ үед гоёл чимэглэлийн урлагт чанарын үсрэлт гарсан. Иран дахь Дарб-е-Имамын бунхан, Херат дахь Хаж Абдулла Ансаригийн бунхан болон бусад олон тооны судлагдсан дурсгалууд Төмөрийн үеийнх болох нь үүнийг баталж байна.

Энэ үед уламжлалт болсон гирих мозайк ба "сум", "цаасан шувуу" геометрийн дүрс (дахин Лу, Штайнхардт нарын нэр томъёо) хослуулан бүтээх боломжтой болсон.

Penrose мозайкийг санагдуулдаг үечилсэн бус хэв маяг. Үүнээс үзэхэд тэд энэ үед илүү боловсронгуй багаж хэрэгслийг ашиглаж байсан байж магадгүй ч 15-р зуунд гоёл чимэглэлийн техникт үзэл баримтлалын үсрэлт гарсан нь тодорхой байна!

Нийтлэл нийтлэгдсэний дараа хийсэн ярилцлагадаа Лу, Штайнхардт нар дундад зууны үеийн архитекторууд өөрсдийн нээлтийн нарийн ширийнийг хэр зэрэг ойлгож байсныг хэлж чадахгүй, харин үүнийг Пенроузын бүтцийн аналог гэж үзэж байгаагаа тэмдэглэжээ. Мөн тэдний олж мэдсэн зүйл зүгээр нэг санамсаргүй тохиолдол байж болохгүй гэдэгт тэд бүрэн итгэлтэй байна.

Уянгын ухралт

Энэ нь хийгдсэн. Өвөг дээдсийнхээ бүтээлд хосгүй гоо сайхныг бэлэглэдэг геометрийн хээ угалзуудын нарийн ширийнийг би ойлгож чадсан бөгөөд элэг нэгтнүүдийн маань сонирхлыг тодорхой хэмжээгээр хангана гэж найдаж байна. Мэдээжийн хэрэг, зарим төрлийн сэтгэл ханамжгүй хэвээр байна, учир нь би ч бас Самаркандын гоёл чимэглэлийн гоо үзэсгэлэн, дэгжин байдлыг олон зуун удаа биширч байсан. Яагаад энэ бодол надад хэзээ ч төрөөгүй юм бэ? Өөрийгөө зөвтгөхийн тулд би хагас үечилсэн Пенроузын бүтцийг их сургуулийн хичээлд оруулахад би өөрийн нарийн мэргэжлээр докторын диссертаци дээр ажиллаж байсан гэж хэлж болно. Питер Лу дөнгөж 28 настай бөгөөд тэрээр их сургуулийн Пенроузын бүтцийг аль хэдийн туулсан. Мэдээжийн хэрэг, огт санаанд оромгүй газар ямар нэгэн хэв маягийн илрэлийг мэдэж, таних нь огт өөр зүйл боловч үүнийг хийхийн тулд та ядаж ийм хууль байдаг гэдгийг мэдэх ёстой.

Гэхдээ энэ ухралт нь энэ биш юм. Шинжлэх ухааны сэтгүүлд гарсан нийтлэлийн мөн чанарыг ойлгохын тулд хоёр өдөр, эс тэгвээс хоёр шөнө нойргүй хоносон ч би үүнийг өмнө нь хийгээгүй шалтгаан нь гүн ухааны гүн гүнзгий утгатай юм шиг санагдаж байна. Лу, Штайнхардт нарын нийтлэлийн талаар интернетээс уншаад би тэр даруй геометрийн чиглэлээр мэргэшсэн мэргэжил нэгт залуугаа дуудсан. Тэр юу болоод байгааг шууд ойлгосон ч онгоцны буудал руу явахын өмнө түүнийг барьж авсан гэж хэлээд намайг бухимдуулсан. Түүнийг гурван сарын дараа л гадаад бизнес аялалаас буцаж байгааг мэдээд би түүнээс ядаж Пенроузын бүтцийн талаар уншиж болох ном санал болгохыг түүнээс хүслээ. Тэр надад номоо хэлээд, энэ бол маш нарийн төвөгтэй математик бөгөөд үүнийг энгийн хүмүүст тайлбарлахаас илүүтэйгээр бүх зүйлийг хурдан ойлгох боломжгүй гэж нэмж хэлэв. Олон хэмжээст инвариант орон зай, коньюгат иррационал орон зайн хүчин зүйлийн орон зай гэх мэт ойлголтуудаар дүүрсэн надад санал болгож буй номыг гүйлгэж үзэхэд миний урам зориг хурдан алга болов.

Жахон мэдээллийн агентлагийн мэдээний дараа энэ асуудалд зөвхөн шинжлэх ухааны нийгэмлэг төдийгүй манай шинжлэх ухааны салбарынхны сонирхол цасан нуранги шиг нэмэгдэж эхлэв. Шинжлэх ухааны академи, МУИС-ийн эрдэмтдийн дунд мэдээж Лие алгебр, бүлгийн онол, олон хэмжээст тэгш хэмийн нарийн төвөгтэй асуудлуудыг ойлгодог мэргэжилтнүүд байсан. Гэхдээ эдгээрийг олон нийтэд тайлбарлах боломжгүй гэж тэд бүгд санал нэгтэй байв. Нөгөө өдөр миний толгойд гэнэт нэг өчүүхэн бодол орж ирэв: Хүлээгээрэй. Гэхдээ дундад зууны үеийн архитекторууд орчин үеийн математикийн хамгийн хүчирхэг аппаратгүй байсан тул яаж үүнийг гаргаж ирсэн бэ? Энэ удаад би үүнийг миний хувьд харанхуй ой болж хувирсан Пенроузын хагас үечилсэн бүтцийн математикийн нарийн төвөгтэй аппаратаар бус, харин дундад зууны үеийн архитекторуудын замыг дагахаар шийдсэн юм. Эхлээд Лу, Штайнхардт нарын бичсэн эх өгүүллийг интернетээс татаж авсан. Тэдний арга намайг гайхшруулсан. Өөрсдийн нээлтийн мөн чанарыг тайлбарлахын тулд тэд яг энэ замыг сонгосон, өөрөөр хэлбэл. Дундад зууны үеийн архитекторуудын концепцийн аппаратыг ашиглан "гирих" мозайк, "сум" хавтан, "цаасан шувуу" гэх мэт энгийн зүйлсээр ажилладаг.

Энэ бүхний гүн ухааны санаа нь байгалийн (магадгүй нийгмийн) хуулийг ойлгохын тулд хүн бүр нэг замаар явах шаардлагагүй юм. Хүний сэтгэлгээ бас олон талт. Дорно зүгийн хандлага ч бий, барууны хандлага ч байна. Тэд тус бүр оршин тогтнох эрхтэй бөгөөд тодорхой тохиолдолд гэнэтийн байдлаар эсрэгээрээ илүү үр дүнтэй болж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд ийм зүйл тохиолдсон: Өргөст туршлагын асар их ерөнхий ойлголтын үндсэн дээр барууны шинжлэх ухаан олж илрүүлсэн зүйлийг зүүн шинжлэх ухаан зөн совин, гоо үзэсгэлэнгийн мэдрэмж дээр үндэслэн хийсэн. Мөн үр дүн нь тодорхой байна: геометрийн хуулиудыг практикт хэрэгжүүлэхэд дорнын сэтгэгчид барууныхаас таван зууны өмнө байсан!

Шухрат Эгамбердиев.
Бүгд Найрамдах Узбекистан Улсын Шинжлэх Ухааны Академийн Одон орон судлалын хүрээлэн.

Өгүүллийн бүрэн эхийг өнгөт зурагтай "Fan va turmush" сэтгүүлийн дараагийн дугаар (2008 онд бичсэн. ЕХ) - "Science and Life of Uzbekistan" -аас олж болно.

Төслийн оролцогчид

Никифоров Кирилл, 8-р ангийн сурагч

Руднева Оксана, 8-р ангийн сурагч

Потураева Ксения, 8-р ангийн сурагч

Судалгааны сэдэв

Пенрозын мозайк

Асуудалтай асуулт

Penrose мозайк гэж юу вэ?

Судалгааны таамаглал

Онгоцны үе үе бус tessellation байдаг

Судалгааны зорилтууд

Пенроузын мозайктай танилцаж, яагаад үүнийг "алтан" мозайк гэж нэрлэдэгийг олж мэдээрэй.

Үр дүн

Пенрозын мозайк

Онгоцны хавтанцар нь хавтгайг бүхэлд нь давхцдаггүй дүрсээр бүрхэж байна. Математикийн хувьд цоорхой, давхцалгүй олон өнцөгт бүхий хавтгайг бүрэн дүүргэх асуудлыг паркет эсвэл мозайк гэж нэрлэдэг. Мозайк, гоёл чимэглэл болон бусад хэв маягийг барьж байгуулахтай холбоотойгоор хучилт хийх сонирхол анх үүссэн байх. Эртний Грекчүүд ч гэсэн онгоцыг ердийн гурвалжин, квадрат, зургаан өнцөгтөөр бүрхсэнээр энэ асуудлыг амархан шийддэг гэдгийг мэддэг байсан.

Онгоцны ийм хавтанг үе үе гэж нэрлэдэг. Хожим нь бид хэд хэдэн ердийн олон өнцөгтийг хослуулан хавтанг хэрхэн яаж хийхийг сурсан.

Илүү хэцүү ажил бол "зөв" биш эсвэл "бараг" үечилсэн паркет бий болгох явдал байв. Удаан хугацааны туршид энэ асуудлыг шийдэх боломжгүй гэж үздэг байсан. Гэсэн хэдий ч өнгөрсөн зууны 60-аад онд үүнийг эцэслэн шийдсэн боловч энэ нь янз бүрийн төрлийн олон мянган олон өнцөгтийг шаарддаг. Алхам алхмаар зүйлийн тоо буурч, эцэст нь 1970-аад оны дундуур Оксфордын их сургуулийн профессор Рожер Пенроуз математик, физикийн янз бүрийн салбарт идэвхтэй ажиллаж байсан манай үеийн нэрт эрдэмтэн зөвхөн хоёр төрлийг ашиглан асуудлыг шийдсэн. ромбуудаас.

Рожер Пенроуз

Бид ийм мозайк бүтээх аргыг судалсан бөгөөд үүнийг одоо Пенроуз шигтгэмэл гэж нэрлэдэг. Үүнийг хийхийн тулд ердийн таван өнцөгт (пентагон) дээр диагональ зур. Бид шинэ таван өнцөгт, "алтан" гэж нэрлэгддэг хоёр төрлийн ижил өнцөгт гурвалжнуудыг олж авдаг. Ийм гурвалжин дахь ташааны суурийн харьцаа нь "алтан" харьцаатай тэнцүү байна. Гурвалжны өнцгүүдийн нэг нь 36°, 72°, 72°, нөгөө нь 108°, 36°, 36° байна. Хоёр ижил гурвалжинг холбож, "алтан" ромбыг авцгаая. Эрдэмтэд тэдгээрийг паркет барихад ашигласан бөгөөд паркетан нь өөрөө "алтан" гэж нэрлэгддэг байв.

Пенрозын мозайк

Penrose мозайк нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1. нимгэн ромбоны тоог зузаантай харьцуулсан харьцаа нь үргэлж "алтан" гэж нэрлэгддэг 1.618 тоотой тэнцүү байна ...