अवकाशीय युक्ती चालवताना विमानाचा मार्ग तयार करण्याच्या सीमा मूल्याच्या समस्येचे निराकरण. मॅन्युव्हरेबल विमानाच्या अवकाशीय गतीचे गणितीय मॉडेल विमानाच्या अवकाशीय युक्तीची समीकरणे

आकार: px

पृष्ठावरून दर्शविणे प्रारंभ करा:

उतारा

1 इलेक्ट्रॉनिक जर्नल “प्रोसिडिंग्ज ऑफ MAI”. अंक 78 UDC 57.95: अवकाशीय युक्ती चालवताना विमानाचा मार्ग तयार करण्याच्या सीमा मूल्याच्या समस्येचे निराकरण तांग थान्ह लॅम मॉस्को इन्स्टिट्यूट ऑफ फिजिक्स अँड टेक्नॉलॉजी (राज्य विद्यापीठ) एमआयपीटी सेंट. Gagarina Zhukovsky Moscow region 484 Russia e-mal: Abstract अवकाशीय युक्ती चालवताना विमानाच्या मार्गक्रमणाच्या नियोजनाची समस्या विचारात घेतली जाते. निर्दिष्ट सीमा परिस्थितींचे पालन करून प्रक्षेपण प्राप्त करण्यासाठी, डायनॅमिक्सच्या व्यस्त समस्येच्या संकल्पनांवर आधारित आणि पॅरामीटराइज्ड स्वरूपात प्रक्षेपकाचे प्रतिनिधित्व यावर आधारित दोन दृष्टिकोन वापरले जातात. पहिल्या प्रकरणात, सर्वात सोपा पॅरामीटरायझेशन मानले जाते, केवळ सीमा अटींची पूर्तता सुनिश्चित करते. दुसऱ्या प्रकरणात, पॅरामीटरायझेशन काही गुणवत्ता निकषांच्या अतिरिक्त ऑप्टिमायझेशनसाठी प्रदान करते, जे थेट भिन्नता पद्धतीच्या काही अंमलबजावणीशी संबंधित आहे. या दोन दृष्टिकोनांची तुलना करण्यासाठी विशिष्ट उदाहरणे वापरली जातात. मुख्य शब्द: विमानाचे अवकाशीय युक्ती, प्रक्षेपण नियोजन, सीमा मूल्य समस्या, व्यस्त गतिशीलता, थेट भिन्नता पद्धत. परिचय फ्लाइट डायनॅमिक्सच्या मुख्य कार्यांपैकी एक म्हणजे प्रक्षेपण आणि नियंत्रणे निश्चित करणे जे विमानाचे दिलेल्या प्रारंभिक बिंदूपासून ते येथे हस्तांतरण सुनिश्चित करते.

2 स्पेसमध्ये दिलेला शेवटचा बिंदू. जर नियंत्रण गुणवत्तेचा निकष अतिरिक्तपणे निर्दिष्ट केला असेल, तर इष्टतम नियंत्रण सिद्धांताच्या पद्धतींद्वारे समस्या सोडवता येऊ शकते. परंतु कोणत्याही परिस्थितीत, उड्डाण मार्गाची निर्मिती अनिवार्यपणे एक सीमा कार्य आहे. आजपर्यंत, या प्रकारच्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी अनेक पद्धती विकसित केल्या गेल्या आहेत. त्यांपैकी, मर्यादित घटकांच्या मर्यादित फरकांना लक्ष्य करण्याच्या पद्धती, गॅलेर्किन-रिट्झ पद्धत, फ्रेडहोम अविभाज्य समीकरणे कमी करण्याच्या पद्धती, इत्यादि अलीकडे प्रस्तावित केलेल्या आशादायक दिशानिर्देशांमध्ये प्रक्षेपक पॅरामीटरायझेशनवर आधारित उपाय पद्धती आहेत. डायनॅमिक्सच्या व्यस्त समस्यांची संकल्पना. प्रक्षेपकाचे पॅरामीटरायझेशन आपल्याला मर्यादित संख्येच्या पॅरामीटर्सची आवश्यक मूल्ये शोधण्यात समस्या कमी करण्यास अनुमती देते आणि व्यस्त गतिशीलतेच्या संकल्पनेमुळे आवश्यक मार्गावर हालचाली करण्यासाठी आवश्यक नियंत्रणे सहजपणे निर्धारित करणे शक्य होते. कोणत्याही निकषानुसार नियंत्रणाची गुणवत्ता ऑप्टिमाइझ करणे आवश्यक असल्यास, हा दृष्टिकोन थेट भिन्नता पद्धतीच्या संभाव्य अंमलबजावणींपैकी एकाशी संबंधित आहे. या दिशेचा मुख्य फायदा म्हणजे गणना अल्गोरिदमची तुलनात्मक साधेपणा आणि कार्यक्षमता. भविष्यात, हे रिअल टाइममध्ये मार्ग तयार करण्यास अनुमती देईल, जे ऑन-बोर्ड अनुप्रयोगांसाठी आकर्षक आहे. हा लेख पॅरामीटराइज्ड फॉर्ममध्ये निर्दिष्ट करण्याच्या आधारावर मार्ग तयार करण्याच्या दोन वैशिष्ट्यपूर्ण मार्गांवर चर्चा करतो. पहिल्या पद्धतीमध्ये, सीमा परिस्थितीचे समन्वय गुणांकांच्या योग्य निवडीद्वारे केले जाते [३ ४ ५] आणि दुसऱ्या पद्धतीमध्ये - विशेष निवडीद्वारे.

3 मूलभूत कार्ये. दुसऱ्या पद्धतीमध्ये पॅरामीटराइज्ड अवलंबनांचे विनामूल्य गुणांक दिलेल्या गुणवत्तेच्या निकषाच्या इष्टतमतेच्या स्थितीवर आणि नियंत्रणावरील निर्बंधांवर आधारित निर्धारित केले जातात, ज्यामुळे ही पद्धत लक्षणीयपणे अधिक लवचिक बनते. तथापि, प्रक्षेपणाची गणना करण्यासाठी बऱ्यापैकी मोठ्या प्रमाणात गणना करणे आवश्यक आहे. विशिष्ट उदाहरणे वापरून, लेख दर्शवितो की पहिली पद्धत, त्याची आकर्षक साधेपणा असूनही, विमानाच्या प्रक्षेपणाच्या स्वायत्त निर्मितीसाठी क्वचितच वापरली जाऊ शकते गतीची समीकरणे आणि व्यस्त समस्या अंतराळातील विमानाच्या वस्तुमानाच्या केंद्राची हालचाल खालील समीकरण प्रणाली: V g na sn gn a cos γ cos Ψ gn a sn γ/ V cos V cos cos V sn V cos sn /V () n a cosα X mg a n a snα Y mg a () येथे निर्देशांक आहेत सामान्य पृथ्वीवरील समन्वय प्रणालीमध्ये विमानाचे वस्तुमान केंद्र V उड्डाण गती प्रक्षेपण झुकाव कोन हेडिंग कोन रोल इंजिन थ्रस्टच्या आक्रमण कोनाचा कोन X एक वायुगतिकीय ड्रॅग Y a वायुगतिकीय लिफ्ट m विमानाचे वस्तुमान g गुरुत्वीय प्रवेग ना - अनुदैर्ध्य ओव्हरलोड na - ट्रान्सव्हर्स 3

4 ओव्हरलोड. वायुगतिकीय शक्ती X a आणि Y a वेग V वर आणि उड्डाण उंचीवर वातावरणाच्या घनतेवर अवलंबून असतात X a c V Y c V a जेथे c c () आणि c c () हे वायुगतिकीय ड्रॅग आणि लिफ्ट गुणांक आहेत, ज्याचे परिमाण अवलंबून असते आक्रमणाच्या कोनावर (रेखांशाचा विमान अक्ष आणि उड्डाण गती वेक्टरमधील कोन). मॉडेलने वर्णन केलेल्या प्रक्षेपक गतीसाठी (), कंट्रोल व्हेरिएबल्स इंजिन थ्रस्ट (), आक्रमणाचा कोन () आणि रोल अँगल () आहेत. तथापि, प्रक्षेपक निर्मितीच्या समस्यांमध्ये, ओव्हरलोड्स n a आणि n a ऐवजी आणि व्हेरिएबल्स म्हणून विचारात घेतले जाऊ शकतात. या दृष्टिकोनाची आकर्षकता या वस्तुस्थितीमुळे आहे की मूल्ये n a n a आणि कोणत्याही अतिरिक्त पॅरामीटर्स आणि व्हेरिएबल्सशिवाय () () आणि () अवलंबनांद्वारे थेट निर्धारित केली जातात. व्युत्क्रम समस्या पद्धती लागू करण्यासाठी, हे आवश्यक आहे की नियंत्रण शक्ती दिलेल्या प्रक्षेपकांसोबत अद्वितीयपणे निर्धारित केल्या जाऊ शकतात. सिस्टम () यास अनुमती देते, जे सत्यापित करणे सोपे आहे. विमानाचे अवलंबित्व वेळेवर () () आणि () दिले जाऊ द्या. थेट () वरून ते खालीलप्रमाणे आहे: sn V cos sn cos (3) V. V या संबंधांमध्ये फरक करून V V cos Ψ Ψ V. (4) V V cos 4

5 थेट () वरून ओव्हरलोड्स आणि रोल अँगल cos g g cos/ V n a V sn g n a V g cos g cos निर्धारित करण्यासाठी अभिव्यक्ती प्राप्त करणे देखील सोपे आहे. (५) दुसरीकडे, प्रणालीच्या शेवटच्या तीन समीकरणांमध्ये फरक करून (), या प्रणालीची पहिली तीन समीकरणे लक्षात घेऊन, आम्हाला खालील संबंध प्राप्त होतात: n a g n n g cos cos n a g sn n a g cos sn n g cos sn cos n g cos cos a g cos sn sn n a a g sn sn g sn cos ( ) हा परिणाम आम्हाला लिहू देतो: n n a g sn cos sn g cos sn arcg g g cos sn cos cos sn g cos cos sn. sn (7) सूत्रे (7) सूत्रांसह एकत्रितपणे (3) नियंत्रण चल na na आणि γ निर्देशांक () () () च्या फंक्शन्सच्या स्वरूपात आणि वेळेच्या संदर्भात त्यांचे पहिले आणि द्वितीय डेरिव्हेटिव्ह निर्धारित करतील. इंजिन थ्रस्ट आणि हल्ल्याचा कोन संबंधांवरून निर्धारित केला जाऊ शकतो (). अशाप्रकारे, व्यस्त गतिशीलता समस्या सोडवण्यासाठी सिस्टम () चा वापर केला जाऊ शकतो. हे लक्षात घेतले पाहिजे की डायनॅमिक्सच्या व्यस्त समस्येच्या संकल्पनेवर आधारित प्रक्षेपण तयार करण्यासाठी आतापर्यंत अनेक पद्धती आहेत. हा लेख दोन सर्वात वैशिष्ट्यपूर्ण पध्दतींची चर्चा करतो: साधे मार्ग नियोजन आणि इष्टतमतेच्या तत्त्वावर आधारित मार्ग तयार करणे. ५

6. साधे मार्गक्रमण नियोजन असे गृहीत धरले जाते की दिलेली प्रारंभिक अवस्था = T आणि अंतिम अवस्था = T विमानाची, तसेच युक्तीची प्रारंभिक आणि अंतिम वेळ. प्रारंभिक आणि अंतिम नियंत्रण व्हेक्टर u= T u = T देखील निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात. प्रक्षेपण () () () चा विचार करताना, आम्ही परिवर्तन सूत्रानुसार भौतिक वेळ सापेक्ष वेळ τ ने बदलतो. (8) येथे Δ = - म्हणजे τ = at = आणि τ = at =. परिणाम अवलंबित्व (τ) = (τ) (τ) = (τ) ((τ)) = (τ) असावा. प्रक्षेपण नियोजन प्रक्रियेमध्ये आधारभूत कार्ये वापरून पॅरामीटराइज्ड अवलंबनांच्या स्वरूपात फंक्शन्स (τ) (τ) (τ) निर्दिष्ट करणे समाविष्ट असते. उदाहरणार्थ, h w (9) फॉर्मचे बहुपद हे (τ) (τ) (τ) म्हणून घेतले जाऊ शकते जेथे h w हे स्थिर गुणांक आणि... रेखीय स्वातंत्र्याच्या गुणधर्मासह आधारभूत कार्ये आहेत. गणना सुलभ करण्यासाठी, आधारभूत कार्यांची रचना पुरेशी असल्याचे गृहित धरले जाते

7 7 सोप्यासाठी फक्त फंक्शन्स (τ) (τ) (τ) सतत आणि किमान दोनदा भिन्न असणे आवश्यक आहे. विशेषतः, फॉर्मचे पॉवर रिलेशन वापरण्यासाठी सोयीस्कर आहेत त्रिकोणमितीय फंक्शन्ससह पर्याय वापरले जाऊ शकतात, तसेच पॉवर आणि हार्मोनिक फंक्शन्सचे संयोजन, उदाहरणार्थ. cos sn भिन्नता अवलंबन (9) τ च्या संदर्भात आम्ही व्युत्पन्न प्राप्त करतो w h. w h बहुपदी (τ) (τ) (τ) आणि त्यांच्या व्युत्पन्नांनी दिलेल्या सीमा अटी पूर्ण केल्या पाहिजेत: या संबंधांच्या आधारे, आम्ही समीकरणांच्या तीन प्रणाली तयार करू:

8 8 w w w w w w h h h h h h ( ) मध्ये ( ) Δ na na γ na na γ s s s s s s s = .. ही मूल्ये ज्ञात आहेत. प्रमाणांची मूल्ये समीकरणांद्वारे निर्धारित केली जातात () आणि मूल्ये संबंधांद्वारे (). प्रणाली () 3=8 अज्ञात गुणांक (...) (h h...h) आणि (w w...w) साठी 3=8 समीकरणे दर्शवते. ही प्रणाली 3 स्वतंत्र उपप्रणालींमध्ये विभागली आहे या वस्तुस्थितीमुळे प्रणाली () मधील गुणांकांची गणना करण्याचे कार्य सोपे केले आहे. उपाय मिळणे सोपे आहे. उदाहरणार्थ, वेक्टर-मॅट्रिक्स नोटेशन T T B वापरून पहिल्या उपप्रणालीसाठी

9 A आपण A = B लिहू शकतो आणि अशा प्रकारे गुणांक मोजण्यासाठी आवश्यक सूत्र = A - B असे रूप घेईल. कारण वापरलेल्या बेस फंक्शन्समध्ये रेखीय स्वातंत्र्याचा गुणधर्म असतो, मग मॅट्रिक्स A एकवचनी नाही, म्हणून व्यस्त मॅट्रिक्स A अस्तित्वात आहे आणि एक अद्वितीय समाधान आहे. उर्वरित गुणांक (h h...h) आणि (w w...w) साठी प्रणाली () ची सोल्यूशन्स समान प्रकारे निर्धारित केली जातात. 3. डायरेक्ट व्हेरिएशनल पद्धतीचा वापर करून मार्गक्रमण नियोजन. मागील विभागातील सूत्र (9) मध्ये, दिलेल्या अनियंत्रित आधार कार्यांसाठी गुणांकांच्या विशेष निवडीद्वारे सीमा अटींची पूर्तता सुनिश्चित केली गेली. तथापि, अनियंत्रितपणे दिलेल्या गुणांकांसाठी आधारभूत फंक्शन्सच्या विशेष निवडीद्वारे सीमा मूल्य समस्येचे निराकरण अन्य मार्गाने केले जाऊ शकते. या प्रकरणात, गुणांकांच्या निवडीमध्ये स्वातंत्र्याची उपस्थिती आपल्याला कोणत्याही गुणवत्तेच्या निकषाच्या ऑप्टिमायझेशनसह प्रक्षेपण नियोजन प्रक्रियेस एकत्र करण्यास आणि फेज आणि नियंत्रण व्हेरिएबल्सवरील निर्बंध विचारात घेण्यास अनुमती देते. वरवर पाहता, थेट नियंत्रण 9 च्या ऑप्टिमायझेशनच्या संदर्भात फ्लाइट डायनॅमिक्सच्या समस्यांसाठी असा दृष्टीकोन प्रथम तारानेन्कोने प्रस्तावित केला होता.

10 भिन्नता पद्धतीनुसार. तारानेन्कोच्या पद्धतीमध्ये भौतिक वेळेचा युक्तिवाद काही सामान्यीकृत युक्तिवादाने बदलणे समाविष्ट आहे τ या समीकरणानुसार जेथे λ हे अज्ञात कार्य आहे. प्रक्षेपण d (τ) = (τ) (τ) = (τ) (τ) = 3(τ) V(τ) = 4(τ) या संबंधांद्वारे दिले जाते. येथे फंक्शन्स (τ) = 4 हे सतत, एकल-मूल्य असलेले आणि वितर्क τ च्या मूल्यांच्या संपूर्ण मध्यांतरापेक्षा भिन्न असणे आवश्यक आहे. फंक्शन्स (τ) हे ज्ञात प्रायोरी निर्दिष्ट बेस फंक्शन्सचे संयोजन म्हणून शोधले जातात: जिथे j j j = 4 j = n बेस फंक्शन्स j अज्ञात n j गुणांक. फंक्शन्स आणि j अनुक्रमे एकसमान आणि एकसंध सीमा परिस्थिती पूर्ण करण्यासाठी निवडले जातात: उदाहरणार्थ, शिफारसींनुसार j. j

11 j j sn j किंवा j j. हे पाहणे सोपे आहे की बेस फंक्शन्सची ही निवड (τ) पॅरामीटर्सच्या कोणत्याही मूल्यांसाठी सीमा परिस्थितीच्या समाधानाची हमी देते. दुसरीकडे, फंक्शन्स (τ) गुणांक j वर अवलंबून असतात आणि म्हणून या गुणांकांची निवड करून, दिलेल्या गुणवत्तेच्या निकषांचे ऑप्टिमायझेशन आणि सीमा परिस्थितीची चिंता न करता नियंत्रण निर्बंधांची पूर्तता सुनिश्चित करून, प्रक्षेपणावर प्रभाव टाकू शकतो. चला सिस्टीम () चे रूपांतर नवीन वितर्क मध्ये करूया τ: V g na sn / g a Ψ gna snγ/ V cos V coscos / V sn/ V cossn / / n cosγ cos/ V () मध्ये वर्णन केल्याप्रमाणेच पुढे जा. समीकरण () मधील विभाग खालील किनेमॅटिक संबंध प्राप्त करणे कठीण नाही: V sn V g V cos V 3/ 3/ cos. कंट्रोल व्हेरिएबल्ससाठी, खालील सूत्रे प्राप्त केली जातात:

12 cos arcg g cos/ V n a V sn g n a V g cos. g cos वरील सूत्रे दर्शवतात की सर्व नियंत्रण आणि राज्य चल (τ) (τ) (τ) V(τ) आणि त्यांच्या डेरिव्हेटिव्हद्वारे व्यक्त केले जातात, परंतु विभागातील सूत्रांच्या विपरीत, एक स्केलिंग फंक्शन येथे अतिरिक्तपणे उपस्थित आहे. मुक्त गुणांक j ची निवड फंक्शनल J p च्या ऑप्टिमायझेशनच्या अधीन असेल जी समस्येच्या ध्येयावर अवलंबून असते (येथे p हे गुणांक j चे सदिश आहे). अशाप्रकारे, दिलेल्या सीमा परिस्थितीचे समाधान करणाऱ्या इष्टतम प्रक्षेपकाची निर्मिती नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग समस्येत कमी होते: mn J (p) किंवा pc ma J (p) () pc जेथे C हा पॅरामीटर्सच्या परवानगीयोग्य मूल्यांचा प्रदेश आहे p नियंत्रणे आणि स्टेट व्हेरिएबल्सवरील आवश्यक निर्बंधांची पूर्तता सुनिश्चित करणे. या समस्येचे निराकरण करण्याच्या पद्धतींबद्दल शिफारसी दिल्या आहेत. 4. गणनेची उदाहरणे वर चर्चा केलेल्या मार्ग नियोजन पर्यायांची संख्यात्मक गणनेद्वारे चाचणी केली गेली. दोन उदाहरणांचे गणना परिणाम आकृती 4 मधील आलेखांमध्ये सादर केले आहेत. साध्या प्रक्षेपक नियोजनाचे आलेख (पर्याय) डॅश केलेल्या रेषांसह प्रदर्शित केले आहेत आणि कार्यप्रदर्शन निकषानुसार ऑप्टिमायझेशनसह थेट भिन्नता पद्धती (पर्याय) वापरून प्रक्षेपण नियोजनाचे आलेख प्रदर्शित केले आहेत. घन रेषांसह प्रदर्शित केले जातात. दोन्ही प्रकरणांमध्ये सीमा परिस्थिती समान आहे.

13 उदाहरण (चढाईसह 8 ने वळणे) सीमा परिस्थिती: - युक्तीची सुरुवात = V = 35 m/s Θ = rad Ψ = rad = m = 5 m = m na = na = γ = rad. - युक्तीचा शेवट = 4.5 s V = 35 m/s Θ = rad Ψ = π rad = m = 8 m = -7 m na = na = γ = rad. पर्यायाच्या गणनेमध्ये, नियंत्रणे आणि स्टेट व्हेरिएबल्सवरील निर्बंध विचारात घेतले जातात: 35 m/s V 8 m/s Θ -9 Ψ 7 -. na -. na γ. 3

14 अंजीर.. विमानाचे मार्ग (उदाहरण). 4

15 अंजीर. नियंत्रण आणि राज्य चलांचे वर्तन (उदाहरण). या उदाहरणात, वळण बऱ्यापैकी मोठ्या त्रिज्यासह येते. प्रक्षेपणाची वक्रता लहान आहे, त्यामुळे नियंत्रण आणि स्थितीतील बदल मंद आणि गुळगुळीत आहेत. आलेख दर्शवतात की दोन पर्यायांचे परिणाम भिन्न आहेत, परंतु ते फार मोठे नाहीत. आम्ही असा निष्कर्ष काढू शकतो की दोन्ही पर्याय व्यावहारिक उपाय देतात. उदाहरण (मूळ उंचीवर 8 ने वळणे) सीमा परिस्थिती: - युक्तीची सुरुवात = 5

16 V = 35 m/s Θ = rad Ψ = rad = m = 5 m = m na = na = γ = rad. - युक्तीचा शेवट =.5 s V = 35 m/s Θ = rad Ψ = π rad = m = 5 m = -8 m na = na = γ = rad. पर्यायाची गणना नियंत्रण आणि राज्य व्हेरिएबल्सवरील निर्बंध विचारात घेते: 35 m/s V 8 m/s Θ -9 Ψ 7 -. na -. na γ. तांदूळ. 3. विमानाचा मार्ग (उदाहरण).

17 अंजीर. 4. नियंत्रण आणि राज्य चलांचे वर्तन (उदाहरण). या उदाहरणामध्ये, पर्याय अतिशय लहान त्रिज्यासह वळणाचा मार्ग तयार करतो. प्रक्षेपणाची वक्रता मोठी आहे, त्यामुळे पहिल्या उदाहरणापेक्षा नियंत्रण आणि स्टेट व्हेरिएबल्समध्ये बदल जलद आणि अधिक तीव्रतेने झाले. पर्यायांचे परिणाम मोठ्या प्रमाणात भिन्न आहेत. व्हेरिएंट (चित्र 4) साठी V() आणि na() च्या अवलंबनांच्या वर्तनाचे विश्लेषण दर्शविते की ओव्हरलोड na हे अत्यंत कमी वेग V च्या परिस्थितीत ~ च्या पातळीवर राहते, जे पारंपारिक विमानासाठी पूर्णपणे अवास्तव आहे. किमान वेग ~7 m/s (व्या सेकंदात) पर्यंत पोहोचतो, जो स्टॉलच्या वेगापेक्षा लक्षणीयरीत्या कमी आहे आणि उड्डाण सुरक्षा परिस्थितीत अस्वीकार्य आहे. या बिंदूच्या आसपास, अवलंबनाचा आलेख Ψ() (चित्र 4) 7

18 रोटेशन अँगलमध्ये तीव्र वाढ दर्शवते. पण हे अगदी नैसर्गिक आहे कारण... हालचालींच्या गतीशास्त्राच्या अनुषंगाने (3रे समीकरण पहा ()), परिस्थिती n मधील परिस्थिती V पावतीकडे नेते. a अशा प्रकारे, या उदाहरणात, पर्यायाने एक मार्ग तयार केला जो वापरासाठी अस्वीकार्य होता. परिणाम जोरदार अंदाज आहे कारण व्युत्पन्न केलेल्या मार्गाच्या व्यावहारिक अंमलबजावणीसाठी हा पर्याय महत्त्वाच्या निर्बंधांचा विचार करत नाही. त्याच वेळी, कंट्रोल व्हेरिएबल्स आणि स्टेट व्हेरिएबल्समधील सुसंगततेसाठी परिणामी सोल्यूशनची औपचारिक तपासणी सोल्यूशनच्या अस्वीकार्यतेबद्दल कोणतीही माहिती प्रदान करत नाही. अंजीर मध्ये. (5) अंदाजे सोल्यूशन (9) साठी स्टेट व्हेरिएबल्सच्या वर्तनाचे आलेख दर्शविते आणि सूत्रांद्वारे गणना केलेल्या नियंत्रणांचा वापर करून (7) गतीच्या समीकरणांच्या मूळ प्रणालीच्या संख्यात्मक एकीकरणाच्या परिणामांसाठी () (4 था क्रम रुंज-कुट्टा पद्धत) ) व्युत्पन्न केलेल्या मार्गासाठी. दोन्ही प्रकारांचे आलेख जुळतात, जे विचाराधीन प्रणालीच्या गतिशीलतेसह अंदाजे समाधानाची सुसंगतता दर्शवते. या मार्गाच्या अंमलबजावणीशी संबंधित निर्बंध विचारात न घेता केवळ विमान उड्डाण मार्गाचे नियोजन करण्याच्या अपुरेपणाचे हे एक उदाहरण दाखवते. या उदाहरणात ऑप्टिमायझेशन (पर्याय) सह मार्गक्रमण नियोजनाच्या विचारात घेतलेल्या पद्धतीने एक पूर्णपणे व्यवहार्य मार्ग तयार केला कारण ही पद्धत आवश्यक बंधने विचारात घेते. तथापि, या पद्धतीद्वारे गणनाची मात्रा खूप मोठी असल्याचे दिसून येते कारण 8 मिळत आहे

19 सोल्यूशन्ससाठी पुनरावृत्ती नॉनलाइनर प्रोग्रामिंग प्रक्रियेचा वापर आवश्यक आहे. तांदूळ. 5. सुसंगतता तपासणी (मार्कर o मार्ग नियोजन समस्येचे निराकरण; ठोस रेषा; एकत्रीकरणाचा परिणाम). निष्कर्ष प्रक्षेपणाच्या पॅरामेट्रिलायझेशन आणि डायनॅमिक्सच्या व्यस्त समस्येच्या संकल्पनेच्या वापरावर आधारित विमानाच्या अवकाशीय युक्तीच्या मार्गाचे नियोजन करण्यासाठी लेख संख्यात्मक उदाहरणांसह दोन पद्धतींचे परीक्षण आणि विश्लेषण करतो. दिलेल्या गणनेच्या उदाहरणांवरून असे लक्षात येते की सर्वात सोपी पद्धत 9 आहे

20 फेज व्हेरिएबल्स आणि नियंत्रणावरील निर्बंध विचारात न घेणारे नियोजन अवास्तव परिणामांना कारणीभूत ठरू शकते. आणि त्याच्या साधेपणामुळे आकर्षक असूनही, ही पद्धत ऑनबोर्ड वापरासाठी क्वचितच स्वीकार्य आहे (आम्ही पारंपारिक विमानांबद्दल बोलत आहोत). मॅन्युव्हर ट्रॅजेक्टोरी व्युत्पन्न करण्याच्या समस्येचे अधिक विश्वासार्हतेने निराकरण करण्यासाठी, आपण अधिक जटिल पद्धती वापरू शकता जे आपल्याला कमीतकमी सर्वात महत्वाचे निर्बंध विचारात घेण्यास अनुमती देतात. तारानेन्कोने प्रस्तावित केलेल्या भिन्नतेच्या समस्येचे थेट निराकरण करण्याची पद्धत, ज्याची लेखात चर्चा केली गेली आहे, तत्त्वतः अशा निर्बंधांना विचारात घेण्यास आणि त्याच वेळी कोणत्याही दिलेल्या निकषानुसार युक्तीचे ऑप्टिमायझेशन करण्यास अनुमती देते. या पद्धतीचा मुख्य तोटा म्हणजे पुनरावृत्ती प्रक्रियेचा वापर करून नॉनलाइनर कंडिशनल ऑप्टिमायझेशन करण्याची आवश्यकता असल्यामुळे मोठ्या प्रमाणात गणना करणे. हे लक्षात घेतले पाहिजे की मार्ग तयार करण्याची एक अतिशय जटिल पद्धत देखील अवास्तव उपाय मिळविण्यापासून मुक्त नाही, म्हणून प्राप्त परिणामांचे विश्लेषण आणि पडताळणी करणे आवश्यक आहे. ऑनबोर्ड अनुप्रयोगांसाठी हे एक आव्हान आहे. ग्रंथसूची यादी. तारानेन्को व्ही.टी. मोमदझी व्ही.जी. फ्लाइट डायनॅमिक्सच्या सीमा मूल्य समस्यांमध्ये थेट भिन्नता पद्धत. - M.: यांत्रिक अभियांत्रिकी s.. नॉनलाइनर डायनॅमिक्स आणि नियंत्रण: लेखांचा संग्रह / एड. एस.व्ही. इमेलियानोव्हा एस.के. कोरोविना. - एम.: फिझमॅटलिट. - 4 एस.

21 3. वेलीशचान्स्की एम.ए. मानवरहित हवाई वाहनाच्या अर्ध-इष्टतम मार्गाचे संश्लेषण // इलेक्ट्रॉनिक जर्नल “विज्ञान आणि शिक्षण” 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/447.hml (प्रकाशन तारीख.3). 4. कानात्निकोव्ह ए.एन. ऊर्जेमध्ये नॉन-मोनोटोनिक बदलासह विमानाच्या मार्गाचे बांधकाम // इलेक्ट्रॉनिक जर्नल “विज्ञान आणि शिक्षण” 3 4: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/554.hml (प्रकाशन तारीख 4.3). 5. कानात्निकोव्ह ए.एन. क्रिसचेन्को ए.पी. ताकाचेव्ह एस.बी. अनुलंब विमानात मानवरहित हवाई वाहनाचे स्वीकार्य अवकाशीय मार्ग // इलेक्ट्रॉनिक जर्नल “विज्ञान आणि शिक्षण” 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/3774.hml (प्रकाशन तारीख 3.).

इलेक्ट्रॉनिक जर्नल "प्रोसिडिंग्ज ऑफ एमएआय". अंक 46 www.mi.ru/science/rud/ UDC 69.7.87 पॉन्ट्रीयागिनच्या किमान तत्त्वावर आधारित हलक्या विमानाच्या अवकाशीय गतीच्या नियंत्रणाच्या समस्येचे निराकरण, व्ही.एन.

हेलिकॉप्टरचे उड्डाण उंची नियंत्रण हेलिकॉप्टरच्या उंचीवरील वस्तुमान केंद्राच्या हालचालीवर नियंत्रण ठेवण्यासाठी प्रणाली संश्लेषित करण्याच्या समस्येचा विचार करूया. स्वयंचलित नियंत्रण ऑब्जेक्ट म्हणून हेलिकॉप्टर ही अनेक प्रणाली आहे

UDC 69.78 मास V.A ​​च्या समायोज्य केंद्रासह परत जाणाऱ्या स्पेस व्हेईकलचे नियंत्रण अफानासयेव, व्ही.आय. किसेलेव्ह परत येणाऱ्या अंतराळयानाच्या अनुदैर्ध्य कोनीय गतीवर नियंत्रण ठेवण्याची समस्या सोडवली जाते

व्याख्यान: व्या क्रमाची भिन्न समीकरणे आणि त्यांचे निराकरण हे गणिताच्या सर्वात सामान्य माध्यमांपैकी एक आहे

विषय 4. विमानाच्या गतीची समीकरणे 1 मूलभूत तत्त्वे. समन्वय प्रणाली 1.1 विमानाची स्थिती विमानाची स्थिती त्याच्या वस्तुमान O केंद्राची स्थिती दर्शवते. विमानाच्या वस्तुमानाच्या केंद्राची स्थिती स्वीकारली जाते

परिचय विमानासाठी स्थिरीकरण आणि नियंत्रण प्रणाली तयार करताना, एक महत्त्वाची पायरी म्हणजे विमानाचे डायनॅमिक गुणधर्म एक नियंत्रण ऑब्जेक्ट म्हणून ओळखणे

जेव्हा आवृत्ती वातावरणात प्रवेश करते तेव्हा संवहनी आणि रेडिएटिव्ह उष्णतेचा प्रवाह कमी करणे V.V. डिकुसर, एन.एन. ओलेनेव्ह कॉम्प्युटिंग सेंटरचे नाव आहे. ए.ए. डोरोडनिट्सिन आरएएस, मॉस्को इष्टतम समस्येतील कमाल तत्त्व

337 UDC 697:004:330 संशोधनात्मक राज्य वैज्ञानिकावरील फ्लाइट चाचणी डेटाच्या अनुषंगाने प्रभावी इंजिन थ्रस्ट आणि एरोडायनामिक ड्रॅग फोर्सची वेगळी ओळख करण्यासाठीच्या दृष्टिकोनाचे औचित्य

रिट्झ पद्धत भिन्नताविषयक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी दोन मुख्य पद्धती आहेत. पहिल्या प्रकारात मूळ समस्या कमी करून भिन्न समीकरणे सोडवणाऱ्या पद्धतींचा समावेश होतो. या पद्धती खूप विकसित आहेत

रशियन फेडरेशनचे शिक्षण मंत्रालय उच्च व्यावसायिक शिक्षणाची राज्य शैक्षणिक संस्था "सामारा स्टेट टेक्निकल युनिव्हर्सिटी" "मेकॅनिक्स" डायनॅमिक्स विभाग

व्याख्यान 4. साध्या पुनरावृत्तीच्या पद्धतीचा वापर करून रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणे. जर सिस्टीमचे परिमाण मोठे असेल (6 समीकरणे) किंवा सिस्टम मॅट्रिक्स विरळ असेल तर अप्रत्यक्ष पुनरावृत्ती पद्धती सोडवण्यासाठी अधिक प्रभावी आहेत.

पहिल्या ऑर्डरची सामान्य भिन्न समीकरणे एक विभेदक समीकरण हे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये व्युत्पन्न किंवा विभेदक चिन्हाखाली अज्ञात कार्य दिसते.

भिन्न समीकरणे सामान्य संकल्पना भिन्न समीकरणांमध्ये यांत्रिकी, भौतिकशास्त्र, खगोलशास्त्र, तंत्रज्ञान आणि उच्च गणिताच्या इतर शाखांमध्ये असंख्य आणि विविध अनुप्रयोग असतात (उदाहरणार्थ

लेक्चरचे लेक्चर चालू ठेवणे अखंड स्मूथिंग आणि पॉइंट लीस्ट स्क्वेअर पद्धतीच्या पद्धती

विभेदक भूमितीमधील पृष्ठभागांचा सिद्धांत प्राथमिक पृष्ठभागाची व्याख्या एखाद्या समतल भागाला प्राथमिक प्रदेश असे म्हणतात जर ते होमिओमॉर्फिज्म अंतर्गत खुल्या वर्तुळाची प्रतिमा असेल,

प्रकरण 4 सामान्य विभेदक समीकरणांची प्रणाली सामान्य संकल्पना आणि व्याख्या मूलभूत व्याख्या काही प्रक्रिया आणि घटनांचे वर्णन करण्यासाठी, अनेक फंक्शन्सची आवश्यकता असते अनेकदा ही फंक्शन्स शोधणे

UDC 629.78 विमान उतरण्याच्या संदर्भ मार्गाची गणना करण्यासाठी वेगवान पद्धत V.I. किसेलिओव्ह एका कृत्रिम पृथ्वी उपग्रहाच्या कक्षेतून खाली आणल्या जाणाऱ्या संदर्भ मार्गाची गणना करण्यासाठी एक नवीन पद्धत प्रस्तावित करण्यात आली आहे.

6 फंक्शन अंदाजे पद्धती. सर्वोत्तम अंदाजे. शेवटच्या प्रकरणामध्ये चर्चा केलेल्या अंदाजे पद्धतींसाठी आवश्यक आहे की ग्रिड फंक्शन नोड्स परिणामी इंटरपोलंटशी संबंधित आहेत. जर तुम्ही मागणी केली नाही

धडा 4 रेखीय समीकरणांच्या प्रणाली लेक्चर 7 सामान्य गुणधर्म व्याख्या रेखीय विभेदक समीकरणांची एक सामान्य प्रणाली (NS) ही x A () x + F () () फॉर्मची एक प्रणाली आहे जिथे A() एक चौरस मॅट्रिक्स आहे

77-48/597785, जुलै बेल्याएव ए.व्ही., विनोग्राडोव्ह यु.आय. 59.7 परिचय रशिया, एमएसटीयू इम. एन.ई. बाउमन [ईमेल संरक्षित] [ईमेल संरक्षित]

ऑपरेशन्स रिसर्च डेफिनिशन ऑपरेशन्स ही एक विशिष्ट उद्दिष्ट साध्य करण्याच्या उद्देशाने केलेली एक घटना आहे, ज्यामध्ये अनेक शक्यता आणि त्यांचे व्यवस्थापन करण्याची परवानगी दिली जाते व्याख्या ऑपरेशन्स रिसर्च गणिताचा एक संच

UDC 62.5 - नॉनलाइनर कंपोझिट ऑब्जेक्ट्सच्या गणितीय मॉडेलची सामान्य 1 ओळख Maslyaev S. I. GOUVPO “मॉर्डोव्हियन स्टेट युनिव्हर्सिटीच्या नावावर आहे. एन.पी. ओगारेव", सरांस्क सार. समस्येचा अभ्यास केला जात आहे

336 UDC 6978:3518143 परत जाणाऱ्या अंतराळ वाहनाच्या वातावरणात उड्डाण नियंत्रणाचे संश्लेषण VA Afanasyev Kazan National Research Technical University Antupolev KAI रशिया 456318 यांच्या नावावर

व्याख्यान 9. सामान्य भिन्न समीकरण (ODE) च्या प्रणालीसाठी सीमा मूल्य समस्या सोडवण्यासाठी समांतर शूटिंग पद्धत. अनुप्रयोग सॉफ्टवेअरच्या संगणकीय गणित विश्लेषणातून काही माहिती

व्याख्यान 9 विभेदक समीकरणांचे रेखीयीकरण उच्च ऑर्डरची रेखीय विभेदक समीकरणे एकसंध समीकरणे त्यांच्या सोल्यूशनचे गुणधर्म एकसंध समीकरणांच्या समाधानांचे गुणधर्म व्याख्या 9 रेखीय

UDC 6- ADAPTIV CONTINUOUS PURSUIT Problem AY Zoloduev सेंट पीटर्सबर्ग स्टेट युनिव्हर्सिटी रशिया 98 सेंट पीटर्सबर्ग सेंट पीटरहॉफ बोटानीचेस्काया सेंट 8 ई-इल: sshzluev@ilru BM Sokolov सेंट पीटर्सबर्ग

UDC 531.132.1 हवाई हल्ल्याच्या शस्त्रांच्या हालचालीच्या गणितीय मॉडेलचा विकास, मॉडेल तयार करण्याची तत्त्वे आणि त्याची सॉफ्टवेअर अंमलबजावणी ए.डी. परफेनोव्ह 1, पी.ए. बाबिचेव्ह 1, यु.व्ही. फदेव 1 1 मॉस्कोव्स्की

फंक्शन्सचा अंदाज संख्यात्मक भिन्नता आणि एकत्रीकरण हा विभाग स्प्लाइन इंटरपोलेशन वापरून लॅग्रेंज आणि न्यूटन बहुपदी वापरून अंदाजे फंक्शन्सच्या समस्यांचा विचार करतो.

स्थिर गुणांकांसह रेखीय भिन्न समीकरणांची प्रणाली व्या क्रमाच्या एका समीकरणात घट करणे व्यावहारिक दृष्टिकोनातून, स्थिर गुणांक असलेल्या रेखीय प्रणाली खूप महत्त्वाच्या आहेत.

नॉनलाइनर समीकरणे आणि नॉनलाइनर समीकरणांची प्रणाली.. नॉनलाइनर समीकरणांचे निराकरण नॉनलाइनर बीजगणितीय किंवा ट्रान्सेंडेंटल समीकरणांचे संख्यात्मक समाधान. मूल्ये शोधणे आहे

पहिल्या क्रमाची आंशिक भिन्न समीकरणे शास्त्रीय यांत्रिकी, सातत्य यांत्रिकी, ध्वनिशास्त्र, प्रकाशशास्त्र, हायड्रोडायनामिक्स, रेडिएशन ट्रान्सफरच्या काही समस्या आंशिक विभेदक समीकरणांमध्ये कमी केल्या जातात.

प्रथम क्रम भिन्न समीकरणे. Def. फर्स्ट-ऑर्डर डिफरेंशियल समीकरण हे एक समीकरण आहे जे स्वतंत्र व्हेरिएबल, इच्छित कार्य आणि त्याचे पहिले व्युत्पन्न यांच्याशी संबंधित आहे. अगदी मध्ये

उच्च शिक्षणासाठी रशियन फेडरेशनची राज्य समिती निझनी नोव्हगोरोड स्टेट टेक्निकल युनिव्हर्सिटीचे नाव R.E. Alekseev डिपार्टमेंट ऑफ आर्टिलरी वेपन्स मेथोडोलॉजिकल इंस्ट्रक्शन्ससाठी

इलेक्ट्रॉनिक जर्नल "प्रोसिडिंग्ज ऑफ एमएआय". अंक 75 www.mai.ru/science/trudy/ UDC 629.78 उपग्रहांसाठी सक्रिय प्रक्षेपण स्थळांवर अंतराळ यानाच्या अंदाजे इष्टतम प्रक्षेपणाची गणना करण्याची पद्धत

विविध निकषांनुसार विमानाच्या गतिशीलतेचे ऑप्टिमायझेशन

परिचय आज, मर्यादित घटक (FE) पद्धती अभियांत्रिकी विश्लेषण आणि विकासाचा अविभाज्य भाग आहेत. बिल्डिंग स्ट्रक्चर्सच्या विश्लेषणाशी संबंधित विज्ञानाच्या जवळजवळ सर्व क्षेत्रांमध्ये एफई पॅकेजेसचा वापर केला जातो.

व्याख्यान 5 5 सामान्य ODE प्रणालीसाठी कॉची समस्येच्या निराकरणाच्या अस्तित्वासाठी आणि विशिष्टतेसाठी प्रमेय समस्येचे विधान सामान्य ODE प्रणालीसाठी कॉची समस्या x = f (, x), () मध्ये एक उपाय शोधणे समाविष्ट आहे x =

भिन्नतेच्या कॅल्क्युलसचे घटक मूलभूत संकल्पना M हा फंक्शनल J = J (y हे फंक्शन y वर अवलंबून एक व्हेरिएबल आहे (जर प्रत्येक फंक्शन y(काहींसाठी M) आहे.

दोलन समीकरणासाठी प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्येचा फरक अंदाजे. स्पष्ट (क्रॉस योजना) आणि अंतर्निहित फरक योजना. रेखीय दोलन समीकरणाच्या अंदाजे फरकासाठी अनेक पर्यायांचा विचार करूया:

सामग्री परिचय. मूलभूत संकल्पना.... 4 1. व्होल्टेराची अविभाज्य समीकरणे... 5 गृहपाठ पर्याय.... 8 2. व्होल्टेराच्या अविभाज्य समीकरणाचे निराकरण. 10 गृहपाठ पर्याय.... 11

रशियन फेडरेशनचे शिक्षण मंत्रालय रशियन स्टेट युनिव्हर्सिटी ऑफ ऑइल अँड गॅसचे नाव आयएम गुबकिन VI इव्हानोव्ह या विषयाच्या अभ्यासासाठी मार्गदर्शक तत्त्वे (विद्यार्थ्यांसाठी)

उच्च क्रम भिन्न समीकरणे. कोनेव्ह व्ही.व्ही. व्याख्यानाची रूपरेषा. सामग्री 1. मूलभूत संकल्पना 1 2. क्रमाने कमी करता येणारी समीकरणे 2 3. उच्च क्रमाची रेखीय भिन्न समीकरणे

सामान्य विभेदक समीकरणे सोडवण्यासाठी संख्यात्मक पद्धती विभेदक समीकरण: F(()) - सामान्य (केवळ यावर अवलंबून) सामान्य अविभाज्य - स्वतंत्र चल आणि अवलंबित यांच्यातील अवलंबन

8. गतीची भिन्न समीकरणे सोडवण्यासाठी संख्यात्मक पद्धतींचे पुनरावलोकन समस्या सूत्रीकरण गतीची समीकरणे सोडवणे ही यांत्रिकीमधील शास्त्रीय समस्या आहे. सर्वसाधारणपणे, ही भिन्न समीकरणांची एक प्रणाली आहे

5 पॉवर मालिका 5 पॉवर मालिका: परिभाषा, अभिसरणाचे क्षेत्र (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) कुठे, a, a, K, a ,k काही संख्या आहेत ज्यांना पॉवर सिरीज संख्या म्हणतात

ISSN ०३२१-१९७५. घन पदार्थांचे यांत्रिकी. 2002. अंक. 32 UDC 629.78, 62-50 c 2002. M.A. वेलीशचान्स्की, ए.पी. क्रिसचेन्को, एस.बी. ताकाचेव क्वासी-अवकाशीय समस्येसाठी स्पेस व्हेईकलचे इष्टतम पुनर्रचना

RF FGBOU HPE Tula राज्य विद्यापीठाच्या शिक्षण आणि विज्ञान मंत्रालयाचा सैद्धांतिक यांत्रिकी अभ्यासक्रम विभाग "डायनॅमिक्स" "मेकॅनिकल सिस्टिमच्या दोलनांच्या संशोधनावर काम करतो.

प्रयोगशाळेचे कार्य रेखीय अंदाजावर आधारित भाषण संकेत कोडींग

विभेदक समीकरणांच्या प्रणाली परिचय सामान्य विभेदक समीकरणांप्रमाणेच, वास्तवातील अनेक प्रक्रियांचे वर्णन करण्यासाठी विभेदक समीकरणांची प्रणाली वापरली जाते.

फंक्शन्सचे फंक्शन्स डिफरेंशिएशन 1 भेदाचे नियम कारण फंक्शनचे व्युत्पन्न वास्तविक डोमेनप्रमाणेच ठरवले जाते, उदा. मर्यादेच्या स्वरूपात, नंतर, ही व्याख्या आणि मर्यादांचे गुणधर्म वापरून,

9. अँटीडेरिव्हेटिव्ह आणि अनिश्चित अविभाज्य 9.. फंक्शन f() मध्यांतर I R वर दिले जाऊ द्या. F () फंक्शनला इंटरव्हल I वर फंक्शन f () चे अँटीडेरिव्हेटिव्ह म्हणतात जर F () = f () कोणत्याही I साठी, आणि अँटीडेरिव्हेटिव्ह

1377 UDC 51797756 S. L. RASSB रशिया, यांच्या नावावर असलेल्या AA कोरोबोव्ह इन्स्टिट्यूट ऑफ मॅथेमॅटिक्सच्या विलंबासह रेखीय गती समस्येसाठी इष्टतम क्वासी-ऑप्टिमल कंट्रोलच्या समीपतेचे काही अंदाज,

UDC 68.5 नॉनलाइनर सिस्टीम्ससाठी समतुल्य रिले कंट्रोल्सचे बांधकाम E.A. बाईझड्रेन्को ई.ए. शुश्ल्यापिन हे काम मर्यादित रिले कंट्रोल्सचे स्विचिंग क्षण निश्चित करण्याच्या समस्येसाठी समर्पित आहे

विषय 4. नॉनलाइनर समीकरणांचे संख्यात्मक समाधान -1- विषय 4. नॉनलाइनर समीकरणांचे संख्यात्मक समाधान 4.0. समस्येचे विधान y=f() फॉर्मच्या नॉनलाइनर समीकरणाची मुळे शोधण्याची समस्या अनेकदा वैज्ञानिकांमध्ये आढळते.

प्रयोगशाळा कार्य 6. फंक्शन्सचा अंदाजे f (x) फंक्शनचा अंदाज (अंदाजे) म्हणजे फंक्शन g (x) (अंदाजे फंक्शन) शोधणे जे दिलेल्या फंक्शनच्या जवळपास असेल. निकष

रोबोट मॅनिपुलेटर ग्रिपर # 07, जुलै 015 बेलोव I. R. 1, Tkachev S. B. 1, * UDC: 519.71 1 रशिया, MSTU im. एन.ई. मोशन कंट्रोल समस्या सोडवण्यासाठी बाउमन परिचय पद्धती

सैद्धांतिक यांत्रिकी सेमिस्टर 2 व्याख्यान 4 सामान्यीकृत समन्वय आणि सामर्थ्य समतोल समीकरण प्रणालीचे सामान्यीकृत समन्वय वर्च्युअल भिन्न संभाव्य शक्ती

UDC 629.76 पुन: वापरता येण्याजोग्या सिंगल स्टेज रॉकेट V.I. च्या डिसेंट ट्रॅजेक्टोरीचे मल्टीक्रिटेरियल ऑप्टिमायझेशन किसेलेव्ह सिंगल-स्टेज रॉकेट तयार करण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्याच्या संभाव्य मार्गांपैकी एक प्रस्तावित आहे, एक अल्गोरिदम

धडा 3.1. एरोडायनॅमिक फोर्सेस आणि मोमेंट्स हा धडा त्यामध्ये फिरणाऱ्या विमानावर वातावरणातील वातावरणाच्या परिणामी शक्तीच्या प्रभावाचे परीक्षण करतो. वायुगतिकीय शक्तीच्या संकल्पना मांडल्या गेल्या,

व्याख्याने -6 धडा सामान्य विभेदक समीकरणे मूलभूत संकल्पना अर्थशास्त्राच्या नैसर्गिक विज्ञानातील विविध समस्या समीकरणांचे निराकरण करतात ज्यामध्ये अज्ञात हे एक किंवा

1 लॅग्रेंज बहुपदी अज्ञात फंक्शनची मूल्ये (x i = 01 x [ a b] i i i) प्रयोगातून मिळू द्या (x साठी अनियंत्रित बिंदूवर x).

मॉस्को स्टेट टेक्निकल युनिव्हर्सिटीचे नाव एन.ई. बॉमन फॅकल्टी ऑफ फंडामेंटल सायन्सेस डिपार्टमेंट ऑफ मॅथेमॅटिकल मॉडेलिंग ए.एन. कावियाकोव्यकोव, ए.पी. क्रेमेन्को

सांख्यिकीय रेडिओफिजिक्स आणि माहिती सिद्धांत व्याख्यान 8 12. रेखीय प्रणाली. स्पेक्ट्रल आणि ऐहिक दृष्टिकोन. रेखीय प्रणाली किंवा उपकरणे आहेत ज्यांच्या प्रक्रियांचा वापर करून वर्णन केले जाऊ शकते

लेक्चर 8 कॉम्प्लेक्स फंक्शनचे डिफरेंशिएशन t t t f एक क्लिष्ट फंक्शन विचारात घ्या जेथे ϕ t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t प्रमेय N t t t t फंक्शन्स काही बिंदूवर भिन्न असू द्या आणि फंक्शन f भिन्न असू द्या

मिट्युकोव्ह व्ही.व्ही. उल्यानोव्स्क हायर एव्हिएशन स्कूल ऑफ सिव्हिल एव्हिएशन इन्स्टिट्यूट, ओव्हीटीआय प्रोग्रामर, [ईमेल संरक्षित]सतत अवलंबित्व KEY द्वारे स्वतंत्रपणे निर्दिष्ट केलेल्या सेटचे युनिव्हर्सल मॉडेलिंग

संख्यात्मक एकीकरण हे निश्चित पूर्णांकाचे मूल्य शोधण्यासाठी संख्यात्मक पद्धतींचा संच समजले जाते. अभियांत्रिकी समस्या सोडवताना, कधीकधी सरासरी मूल्याची गणना करणे आवश्यक असते

व्याख्यान 8 विभेदक समीकरणांच्या प्रणाली सामान्य संकल्पना -ऑर्डरच्या सामान्य विभेदक समीकरणांची एक प्रणाली म्हणजे F y y y y y (F y y y y y (F y y y y y) (एक विशेष केस

चातुर्यविमानाला फ्लाइट वेग वेक्टरची परिमाण आणि दिशा बदलण्याची क्षमता म्हणतात.

चातुर्यपायलटद्वारे लढाऊ युक्ती चालवताना लागू केले जातात, ज्यामध्ये वैयक्तिक पूर्ण किंवा अपूर्ण एरोबॅटिक युक्ती असतात, सतत एकमेकांचे अनुसरण करतात.

युद्धकौशल्य हा कोणत्याही प्रकारच्या विमानचालनाच्या लढाऊ विमानाचा सर्वात महत्त्वाचा गुण आहे. हे तुम्हाला हवाई युद्ध यशस्वीपणे आयोजित करण्यास, शत्रूच्या हवाई संरक्षणावर मात करण्यास, जमिनीवरील लक्ष्यांवर हल्ला करण्यास, विमानांची युद्ध निर्मिती (निर्मिती) तयार, पुनर्बांधणी आणि विघटन करण्यास, त्यांना दिलेल्या वेळी एखाद्या वस्तूवर आणण्यास अनुमती देते.

शत्रूच्या फायटर-बॉम्बरशी हवाई लढाई करणाऱ्या फ्रंट लाइन फायटरसाठी मॅन्युव्हरेबिलिटी विशेष आहे आणि कोणी म्हणू शकेल, निर्णायक महत्त्व आहे. खरंच, शत्रूच्या संबंधात एक फायदेशीर रणनीतिकखेळ स्थिती घेतल्याने, तुम्ही त्याला एक किंवा दोन क्षेपणास्त्रांनी मारू शकता किंवा एकाच तोफातूनही गोळीबार करू शकता. त्याउलट, जर शत्रूने फायदेशीर स्थिती घेतली (उदाहरणार्थ, "त्याच्या शेपटीवर लटकणे"), तर अशा परिस्थितीत कितीही क्षेपणास्त्रे आणि तोफा मदत करणार नाहीत. उच्च युक्तीमुळे हवाई युद्धातून यशस्वी बाहेर पडणे आणि शत्रूपासून वेगळे होणे देखील शक्य होते.

कुशलता निर्देशक

सर्वात सामान्य बाबतीत युक्तीविमान पूर्णपणे वैशिष्ट्यीकृत केले जाऊ शकते दुसरी वेक्टर वाढगती वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी विमानाच्या गतीचे परिमाण आणि दिशा वेक्टर V1 (चित्र 1) द्वारे दर्शवू द्या, आणि एक सेकंदानंतर - वेक्टर V2 द्वारे; नंतर V2=V1+ΔV, जेथे ΔV ही दुसरी वेक्टर वेग वाढ आहे.

तांदूळ. 1. दुसरी वेक्टर गती वाढ

अंजीर मध्ये. २ दाखवले संभाव्य दुसऱ्या वेक्टर गती वाढीचे क्षेत्रकाही विमानांसाठी क्षैतिज विमानात त्याच्या युक्ती दरम्यान. आलेखाचा भौतिक अर्थ असा आहे की एका सेकंदानंतर ΔV आणि V2 व्हेक्टरचे टोक केवळ a-b-c-d-e रेषेद्वारे मर्यादित क्षेत्राच्या आत असू शकतात. इंजिन Рр च्या उपलब्ध थ्रस्टसह, व्हेक्टर ΔV चा शेवट फक्त a-b-c-d च्या सीमेवर असू शकतो, ज्यावर खालील संभाव्य युक्ती पर्याय लक्षात घेता येतील:

• a - सरळ रेषेत प्रवेग,
• ब - प्रवेग सह वळणे,
• c - स्थिर वळण,
• d - ब्रेकिंगसह सक्तीचे वळण.

शून्य थ्रस्ट आणि ब्रेक फ्लॅप्स सोडल्यास, व्हेक्टर ΔV चा शेवट फक्त d-e सीमेवर सेकंदात दिसू शकतो, उदाहरणार्थ, बिंदूंवर:

• डी - ब्रेकिंगसह उत्साही वळण,
• ई - सरळ रेषेत ब्रेकिंग.

इंटरमीडिएट थ्रस्टसह, वेक्टर ΔV चा शेवट a-b-c-d आणि e-f या सीमांमधील कोणत्याही बिंदूवर असू शकतो. g-d विभाग वेगवेगळ्या जोरासह सुडॉपच्या वळणाशी संबंधित आहे.

ही वस्तुस्थिती समजून घेण्यात अयशस्वी झाल्यामुळे मॅन्युव्हरेबिलिटी वेगाच्या दुसऱ्या वेक्टर वाढीद्वारे, म्हणजे ΔV चे मूल्य, कधीकधी विशिष्ट विमानाचे चुकीचे मूल्यांकन ठरते. उदाहरणार्थ, 1941-1945 च्या युद्धापूर्वी. काही वैमानिकांचा असा विश्वास होता की आमच्या जुन्या I-16 फायटरमध्ये नवीन याक-1, मिग-3 आणि LaGG-3 विमानांपेक्षा जास्त कौशल्य आहे. तथापि, मॅन्युव्हरेबल हवाई युद्धांमध्ये याक -1 ने I-16 पेक्षा चांगली कामगिरी केली. काय झला? असे दिसून आले की I-16 त्वरीत "वळू" शकतो, परंतु त्याची दुसरी वाढ ΔV याक -1 (चित्र 3) पेक्षा खूपच लहान होती; म्हणजेच, खरं तर, याक -1 मध्ये उच्च कुशलता होती, जर समस्या फक्त "चपळाई" च्या दृष्टिकोनातून विचारात घेतली नाही तर. त्याचप्रमाणे, हे दर्शविले जाऊ शकते की, उदाहरणार्थ, मिग -21 विमान हे मिग -17 विमानांपेक्षा अधिक कुशल आहे.

ΔV (Fig. 2 आणि 3) च्या संभाव्य वाढीचे क्षेत्र कुशलतेच्या संकल्पनेचा भौतिक अर्थ चांगल्या प्रकारे स्पष्ट करतात, म्हणजे, ते इंद्रियगोचरचे गुणात्मक चित्र प्रदान करतात, परंतु परिमाणात्मक विश्लेषणास परवानगी देत ​​नाहीत, ज्यासाठी विविध प्रकारचे विशिष्ट आणि कुशलतेचे सामान्य निर्देशक गुंतलेले आहेत.

दुसरी वेक्टर गती वाढ ΔV खालील संबंधांद्वारे ओव्हरलोडशी संबंधित आहे:

पृथ्वीच्या प्रवेग g मुळे, सर्व विमानांना समान गती ΔV (9.8 m/s², अनुलंब खाली) मिळते. लॅटरल ओव्हरलोड एनझेड सामान्यत: मॅन्युव्हरिंग दरम्यान वापरला जात नाही, म्हणून विमानाची मॅन्युव्हरेबिलिटी पूर्णपणे दोन ओव्हरलोड्सद्वारे दर्शविली जाते - nx आणि ny (ओव्हरलोड हे वेक्टरचे प्रमाण आहे, परंतु भविष्यात व्हेक्टरचे चिन्ह "->" वगळले जाईल).

ओव्हरलोड nx आणि nу अशा प्रकारे आहेत सामान्य कुशलता निर्देशक.

सर्व विशिष्ट निर्देशक या ओव्हरलोडशी संबंधित आहेत:

• rg - क्षैतिज विमानात वळण (वळण) ची त्रिज्या;
• wg - क्षैतिज विमानात वळणाची टोकदार गती;
• rв - उभ्या विमानात युक्ती त्रिज्या;
• दिलेल्या कोनात वळण्याची वेळ;
• wв - उभ्या समतल मधील प्रक्षेपवक्र रोटेशनचा कोनीय वेग;
• jx - क्षैतिज फ्लाइटमध्ये प्रवेग;
• Vy - स्थिर चढताना उभ्या गती;
• Vye - ऊर्जेची उंची मिळविण्याचा वेग इ.

ओव्हरलोड

सामान्य ओव्हरलोड ny म्हणजे लिफ्ट फोर्सची बीजगणितीय बेरीज आणि थ्रस्ट फोर्सचा (फ्लो कोऑर्डिनेट सिस्टीममध्ये) उभ्या घटकाचा विमानाच्या वजनाचे गुणोत्तर आहे:

टीप 1. जमिनीवर फिरताना, ग्राउंड रिॲक्शन फोर्स देखील सामान्य ओव्हरलोडच्या निर्मितीमध्ये भाग घेते.

टीप 2. SARPP रेकॉर्डर संबंधित समन्वय प्रणालीमध्ये ओव्हरलोड रेकॉर्ड करतात ज्यामध्ये

पारंपारिक विमानांवर, रुचे मूल्य तुलनेने कमी आहे आणि दुर्लक्षित आहे. मग सामान्य ओव्हरलोड हे लिफ्ट फोर्सचे विमानाच्या वजनाचे गुणोत्तर असेल:

उपलब्ध सामान्य ओव्हरलोड nyр हे सर्वोच्च ओव्हरलोड आहे जे सुरक्षिततेची स्थिती राखून उड्डाण करताना वापरले जाऊ शकते.

आम्ही उपलब्ध लिफ्ट गुणांक Cyr ला शेवटच्या सूत्रामध्ये बदलल्यास, परिणामी ओव्हरलोड उपलब्ध होईल.

nyр=Cyр*S*q/G (2)

उड्डाण करताना, Cyр चे मूल्य, आधीच मान्य केल्याप्रमाणे, स्टॉलिंग, शेक, पिक-अप (आणि नंतर Cyр=Cydop) किंवा नियंत्रणक्षमतेद्वारे (आणि नंतर Cyр=Cyf) मर्यादित केले जाऊ शकते. याव्यतिरिक्त, nyр चे मूल्य विमानाच्या सामर्थ्याने मर्यादित केले जाऊ शकते, म्हणजे कोणत्याही परिस्थितीत, nyр कमाल ऑपरेशनल ओव्हरलोड nyе कमाल पेक्षा जास्त असू शकत नाही.

"अल्पकालीन" हा शब्द कधीकधी ओव्हरलोड nyр च्या नावात जोडला जातो.

फॉर्म्युला (2) आणि Cyr(M) फंक्शन वापरून, मॅच नंबर आणि फ्लाइट उंचीवर उपलब्ध ओव्हरलोड nyр चे अवलंबित्व मिळवता येते, जे चित्रात दर्शविले आहे. 4 (उदाहरण). लक्षात घ्या की आकृती 4,a आणि 4,6 ची सामग्री अगदी सारखीच आहे. वरचा आलेख सामान्यतः विविध गणनेसाठी वापरला जातो. तथापि, उड्डाण कर्मचाऱ्यांसाठी, M-H निर्देशांक (खालील) मधील आलेख अधिक सोयीस्कर आहे, ज्यामध्ये सतत उपलब्ध ओव्हरलोड्सच्या रेषा थेट विमानाच्या उंची आणि उड्डाण गतीच्या मर्यादेत काढल्या जातात. आकृतीचे विश्लेषण करूया. ४.६.

रेषा nyр=1 ही स्पष्टपणे आडव्या उड्डाणाची सीमा आहे जी आम्हाला आधीच ज्ञात आहे. रेषा nyр=7 ही सीमा आहे, उजवीकडे आणि खाली ज्याचा कमाल ऑपरेशनल ओव्हरलोड ओलांडला जाऊ शकतो (आमच्या उदाहरणात, nyе max=7).

कायम उपलब्ध ओव्हरलोडच्या ओळीअशा प्रकारे पास करा की nyp2/nyp1=p2/p1, म्हणजे, कोणत्याही दोन रेषांमधील उंचीमधील फरक असा आहे की दाब गुणोत्तर ओव्हरलोड गुणोत्तरासारखे असेल.

याच्या आधारे, उपलब्ध ओव्हरलोड उंची आणि वेगाच्या श्रेणीवर फक्त एक क्षैतिज उड्डाण मर्यादा ठेवून शोधले जाऊ शकते.

चला, उदाहरणार्थ, तुम्हाला M=1 आणि H=14 किमी (चित्र 4.6 मधील A बिंदूवर) nyр निर्धारित करणे आवश्यक आहे. ऊत्तराची: बिंदू B (20 किमी) ची उंची आणि या उंचीवरील दाब (5760 N/m2), तसेच दिलेल्या 14 किमी (14,750 N/m2) उंचीवरील दाब शोधतो; बिंदू A वर इच्छित ओव्हरलोड nyр = 14,750/5760 = 2.56 असेल.

जर हे माहित असेल की अंजीर मधील आलेख. 4 हे विमान G1 च्या वजनासाठी तयार केले आहे आणि आम्हाला G2 वजनासाठी उपलब्ध ओव्हरलोडची आवश्यकता आहे, त्यानंतर स्पष्ट प्रमाणानुसार पुनर्गणना केली जाते:

निष्कर्ष. वजन G1 साठी बांधलेली पातळी फ्लाइट सीमा (लाइन nyp1=1) असल्याने, प्रमाण वापरून कोणत्याही उंचीवर उपलब्ध ओव्हरलोड आणि कोणत्याही वजन G2 साठी उड्डाण गती निर्धारित करणे शक्य आहे.

nyp2/nyp1=(p2/p1)*(G1/G2) (3)

परंतु कोणत्याही परिस्थितीत, फ्लाइटमध्ये वापरलेला ओव्हरलोड कमाल ऑपरेटिंग लोडपेक्षा जास्त नसावा. काटेकोरपणे सांगायचे तर, उड्डाणात मोठ्या विकृतीच्या अधीन असलेल्या विमानासाठी, सूत्र (3) नेहमीच वैध नसते. तथापि, ही टिप्पणी सहसा लढाऊ विमानांना लागू होत नाही. सर्वात उत्साही अस्थिर युद्धाभ्यास करताना nyp च्या मूल्यावरून, वर्तमान त्रिज्या rg आणि rv, वर्तमान कोनीय वेग wg आणि wv यांसारख्या विमानाच्या युक्तीची विशिष्ट वैशिष्ट्ये निर्धारित करू शकतात.

थ्रस्ट सामान्य ओव्हरलोड मर्यादा nypr हा सर्वात मोठा ओव्हरलोड आहे ज्यावर ड्रॅग Q हा थ्रस्ट Рр आणि त्याच वेळी nx=0 सारखा होतो. या ओव्हरलोडच्या नावावर "दीर्घकालीन" हा शब्द कधीकधी जोडला जातो.

कमाल थ्रस्ट ओव्हरलोडची गणना खालीलप्रमाणे केली जाते:

• दिलेल्या उंची आणि मॅच क्रमांकासाठी, आम्हाला थ्रस्ट Рр (इंजिनच्या उंची-गती वैशिष्ट्यांनुसार) आढळतो;
• nypr साठी आमच्याकडे Pр=Q=Cx*S*q आहे, जिथून आम्ही Cx शोधू शकतो;
• ज्ञात M आणि Cx वापरून ध्रुवांच्या ग्रिडमधून आपल्याला Cy सापडतो;
• लिफ्ट फोर्सची गणना करा Y=Су*S*q;
• आम्ही ओव्हरलोड ny=Y/G ची गणना करतो, जो जास्तीत जास्त जोर असेल, कारण गणनेमध्ये आम्ही समानता Рр=Q पासून पुढे गेलो.

दुसरी गणना पद्धत वापरली जाते जेव्हा विमानाचे ध्रुव चतुर्भुज पॅराबोला असतात आणि जेव्हा या ध्रुवांच्या ऐवजी Cx0(M) आणि A(M) वक्र विमानाच्या वर्णनात दिले जातात:

• आम्हाला जोर सापडतो Рр;
• चला Рр = Cр*S*q लिहू, जेथे Ср हा थ्रस्ट गुणांक आहे;
• स्थितीनुसार आमच्याकडे Рр = Ср*S*q=Q=Cх*Q*S*q+(A*G²n²ypr)/(S*q), ज्यातून:

प्रेरक अभिक्रिया ओव्हरलोडच्या वर्गाच्या प्रमाणात असते, उदा. Qi=Qi¹*ny² (जेथे Qi¹ ही nу=1 वर प्रेरक अभिक्रिया असते). म्हणून, समानतेवर आधारित Рр=Qo+Qи, आम्ही या फॉर्ममध्ये जास्तीत जास्त ओव्हरलोडसाठी अभिव्यक्ती लिहू शकतो:

मॅच क्रमांक आणि उड्डाण उंचीवरील कमाल ओव्हरलोडचे अवलंबन चित्रात चित्रात दाखवले आहे. 5.5 (पुस्तकातून घेतलेले उदाहरण).

अंजीर मध्ये nypr=1 या ओळी तुम्ही लक्षात घेऊ शकता. 5. ही स्थिर क्षैतिज उड्डाणाची सीमा आहे जी आम्हाला आधीच ज्ञात आहे.

स्ट्रॅटोस्फियरमध्ये, हवेचे तापमान स्थिर असते आणि थ्रस्ट वातावरणीय दाबाच्या प्रमाणात असते, म्हणजे Рp2/Рp1=р2/p1 (येथे थ्रस्ट गुणांक Ср=const), म्हणून दिलेल्या क्रमांकावर सूत्र (5.4) नुसार M स्ट्रॅटोस्फियरमध्ये, प्रमाण घडते:

परिणामी, 11 किमी वरील कोणत्याही उंचीवर जास्तीत जास्त थ्रस्ट ओव्हरलोड स्थिर मर्यादांच्या रेषेवर p1 दाबाने निर्धारित केले जाऊ शकते, जेथे nypr1=1. 11 किमीच्या खाली, प्रमाण (5.6) पाळले जात नाही, कारण फ्लाइटची उंची कमी झाल्याने थ्रस्ट दाबापेक्षा (हवेच्या तापमानात वाढ झाल्यामुळे) अधिक हळू वाढतो आणि थ्रस्ट गुणांक Cp चे मूल्य कमी होते. म्हणून, 0-11 किमीच्या उंचीसाठी, जास्तीत जास्त थ्रस्ट ओव्हरलोड्सची गणना नेहमीच्या पद्धतीने करावी लागते, म्हणजे, इंजिनची उंची-गती वैशिष्ट्ये वापरून.

nypr च्या मूल्याच्या आधारावर, कोणीही विमानाच्या युक्तीची अशी विशिष्ट वैशिष्ट्ये शोधू शकतो जसे की त्रिज्या rg, कोणीय वेग wg, स्थिर वळणाचा वेळ, तसेच स्थिर उर्जेवर केलेल्या कोणत्याही युक्तीचा r, w आणि t (prl Pр). =Q).

रेखांशाचा ओव्हरलोड nx हे थ्रस्ट फोर्स (Px = P गृहीत धरून) आणि विमानाच्या वजनापर्यंत ड्रॅगमधील फरकाचे गुणोत्तर आहे

टीप जमिनीवर गाडी चालवताना, चाकांची घर्षण शक्ती देखील प्रतिकारामध्ये जोडली जाणे आवश्यक आहे.

जर आपण इंजिनच्या उपलब्ध थ्रस्टला शेवटच्या सूत्रात बदलले तर आपल्याला तथाकथित मिळते उपलब्ध रेखांशाचा ओव्हरलोड:

तांदूळ. ५.५. F-4C फँटम विमानासाठी थ्रस्ट ओव्हरलोड मर्यादा; आफ्टरबर्नर, वजन 17.6 मी

उपलब्ध अनुदैर्ध्य ओव्हरलोडची गणना nу च्या अनियंत्रित मूल्यासाठी आम्ही खालीलप्रमाणे उत्पादन करतो:

• आम्हाला थ्रस्ट Рр (इंजिनच्या उंची-गती वैशिष्ट्यांनुसार) सापडतो;
• दिलेल्या सामान्य ओव्हरलोड ny साठी, आम्ही खालीलप्रमाणे ड्रॅगची गणना करतो:
  ny->Y->Сy->Сx->Q;
• सूत्र (5.7) वापरून आम्ही nxр ची गणना करतो.

जर ध्रुवीय चतुर्भुज पॅराबोला असेल, तर तुम्ही Q=Q0+Qi¹*ny² ही अभिव्यक्ती वापरू शकता, परिणामी सूत्र (5.7) फॉर्म घेते.

लक्षात ठेवा की जेव्हा ny=nypr समानता धारण करते

या अभिव्यक्तीला मागील एकामध्ये बदलणे आणि ते वेगळे केल्यास आपल्याला अंतिम सूत्र मिळेल

क्षैतिज उड्डाणासाठी उपलब्ध रेखांशाच्या ओव्हरलोडच्या मूल्यामध्ये आपल्याला स्वारस्य असल्यास, म्हणजे ny=1 साठी, तर सूत्र (5.8) फॉर्म घेते

अंजीर मध्ये. F-4C फँटम विमानासाठी M आणि N वर nxр¹ चे अवलंबित्व उदाहरण म्हणून आकृती 5.6 दाखवते. तुम्ही लक्षात घेऊ शकता की वेगळ्या स्केलवर वक्र nxр¹(M, Н) अंदाजे वक्र nyр(М, Н) च्या कोर्सची पुनरावृत्ती करतात आणि nxр¹=0 ही रेषा nyр=1 या रेषेशी तंतोतंत जुळते. हे समजण्यासारखे आहे, कारण हे दोन्ही ओव्हरलोड विमानाच्या थ्रस्ट-टू-वेट गुणोत्तराशी संबंधित आहेत.

nxр¹ च्या मूल्यावर आधारित, क्षैतिज प्रवेग jx दरम्यान प्रवेग, स्थिर आरोहण Vy ची उभ्या गती, अस्थिर रेषीय चढाई (उतरणे) मध्ये Vyе मध्ये बदलासह प्रवेग यांसारखी विमानाच्या हालचालीची विशिष्ट वैशिष्ट्ये निश्चित करणे शक्य आहे. गती

अंजीर. 5 6 F-4C फँटम विमानाच्या क्षैतिज फ्लाइटमध्ये उपलब्ध अनुदैर्ध्य ओव्हरलोड्स; आफ्टरबर्नर, वजन 17.6 टी

8. सर्व मानले जाणारे वैशिष्ट्यपूर्ण ओव्हरलोड (nU9, nupr, R*P> ^lgr1) अनेकदा चित्रात दर्शविलेल्या आलेखाच्या रूपात चित्रित केले जातात. ५.७. याला सामान्यीकृत विमान चालवण्याच्या वैशिष्ट्यांचा आलेख म्हणतात. अंजीर नुसार. दिलेल्या उंचीसाठी 5.7 हाय कोणत्याही क्रमांक M साठी, तुम्ही पुर (सुर किंवा n^max रेषेवर) शोधू शकता. %Pr (क्षैतिज अक्षावर, म्हणजे phr = 0 साठी), Lhr1 (pu = साठी) आणि pX9 (कोणत्याही ओव्हरलोड pu साठी). विविध प्रकारच्या गणनेसाठी सामान्यीकृत वैशिष्ट्ये सर्वात सोयीस्कर आहेत, कारण त्यांच्याकडून कोणतेही मूल्य थेट घेतले जाऊ शकते, परंतु या आलेखांच्या आणि वक्रांच्या मोठ्या संख्येमुळे ते दृश्यमान नाहीत (प्रत्येक उंचीसाठी तुम्हाला स्वतंत्र आलेख असणे आवश्यक आहे, अंजीर मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे. 5.7). अंजीर. 5 7 उंचीवर विमान चालवण्याची सामान्य वैशिष्ट्ये हाय (उदाहरणार्थ) विमानाच्या युक्तीचे संपूर्ण आणि स्पष्ट चित्र मिळविण्यासाठी, तीन आलेख p (M, H) असणे पुरेसे आहे - जसे अंजीर मध्ये. 5.4,6; pupr (M, N) - अंजीर प्रमाणे. 5.5,6; nx p1 (M, N) - अंजीर प्रमाणे. ५ ६.६.

शेवटी, आम्ही उपलब्ध आणि कमाल कर्षण सामान्य ओव्हरलोड्स आणि उपलब्ध रेखांशाच्या ओव्हरलोडवर ऑपरेशनल घटकांच्या प्रभावाच्या प्रश्नावर विचार करू.

वजनाचा प्रभाव

(5.2) आणि (5.4) सूत्रांवरून पाहिल्याप्रमाणे, उपलब्ध सामान्य ओव्हरलोड पुर आणि कमाल थ्रस्ट सामान्य ओव्हरलोड nypr विमानाच्या वजनाच्या व्यस्त प्रमाणात बदलतात (स्थिर M आणि N वर).

जर ओव्हरलोड ny दिले असेल, तर विमानाचे वजन जसजसे वाढते, रेखांशाचा उपलब्ध ओव्हरलोड nxр सूत्रानुसार (5.7) कमी होतो, परंतु येथे साधे व्यस्त आनुपातिकता पाळली जात नाही, कारण G वाढल्याने, ड्रॅग Q देखील वाढतो.

बाह्य निलंबनाचा प्रभाव

बाह्य निलंबन सूचीबद्ध ओव्हरलोड्सवर प्रभाव टाकू शकतात, प्रथम, त्यांच्या वजनाद्वारे आणि दुसरे म्हणजे, विमानाच्या ड्रॅगच्या नॉन-इंडक्टिव भागामध्ये अतिरिक्त वाढ करून.

उपलब्ध सामान्य ओव्हरलोड nyр निलंबनाच्या प्रतिकारामुळे प्रभावित होत नाही, कारण हे ओव्हरलोड केवळ विंगच्या उपलब्ध लिफ्ट फोर्सच्या विशालतेवर अवलंबून असते.

कमाल थ्रस्ट ओव्हरलोड nypr, जसे सूत्र (5.4) वरून पाहिले जाऊ शकते, Cho वाढल्यास कमी होते. थ्रस्ट जितका जास्त आणि Cp - Cho हा फरक जितका जास्त असेल तितका जास्तीत जास्त ओव्हरलोडवर निलंबनाच्या प्रतिकाराचा प्रभाव कमी होईल.

उपलब्ध रेखांशाचा ओव्हरलोड एलएचआर देखील चो वाढल्याने कमी होतो. nxр वर Схо चा प्रभाव तुलनेने जास्त होतो कारण युक्ती चालवताना ओव्हरलोड nу वाढते.

वातावरणीय परिस्थितीचा प्रभाव.

तर्काच्या निश्चिततेसाठी, आम्ही मानक दाब p वर तापमानात 1% वाढीचा विचार करू; हवेची घनता p मानकापेक्षा 1% कमी असेल. कुठे:

• दिलेल्या एअरस्पीड V वर, उपलब्ध (Ср नुसार) सामान्य ओव्हरलोड pur अंदाजे 1% कमी होईल. परंतु दिलेल्या सूचक गती Vi किंवा क्रमांक M वर, ओव्हरलोड नूर वाढत्या तापमानासह बदलणार नाही;
• दिलेल्या क्रमांकावर जास्तीत जास्त सामान्य थ्रस्ट ओव्हरलोड nypr कमी होईल, कारण तापमानात 1% ने वाढ झाल्यास थ्रस्ट Рр आणि थ्रस्ट गुणांक Ср मध्ये अंदाजे 2% ने घट होते;
• हवेच्या तापमानात वाढीसह उपलब्ध अनुदैर्ध्य ओव्हरलोड nхр देखील थ्रस्टमधील घसरणीनुसार कमी होईल.

आफ्टरबर्नर चालू करणे (किंवा ते बंद करणे)

हे कमाल सामान्य थ्रस्ट ओव्हरलोड nypr आणि उपलब्ध अनुदैर्ध्य ओव्हरलोड nхр वर मोठ्या प्रमाणात परिणाम करते. वेग आणि उंचीवर देखील जेथे Рр >> Qг, थ्रस्टमध्ये 2 पटीने वाढ झाल्यास npr मध्ये अंदाजे sqrt(2) पटीने वाढ होते आणि nхр¹ (nу = 1 वर) अंदाजे 2 ने वाढते वेळा

वेग आणि उंचीवर जेथे Рр - Qг फरक कमी आहे (उदाहरणार्थ, स्थिर कमाल मर्यादेजवळ), थ्रस्टमधील बदलामुळे npr आणि nхр¹ दोन्हीमध्ये आणखी लक्षणीय बदल होतो.

उपलब्ध (Сyр नुसार) सामान्य ओव्हरलोड nyр साठी, थ्रस्टच्या विशालतेचा त्यावर जवळजवळ कोणताही परिणाम होत नाही (Рy=0 गृहीत धरून). परंतु हे लक्षात घेतले पाहिजे की अधिक जोर दिल्यास, युक्ती चालवताना विमान अधिक हळूहळू ऊर्जा गमावते आणि म्हणूनच, जास्त काळ जास्त वेगाने राहू शकते, ज्यावर उपलब्ध ओव्हरलोड nyр सर्वात जास्त आहे.

विमानात भौतिक सममितीच्या विमानाची उपस्थिती त्याच्या अवकाशीय गतीला अनुदैर्ध्य आणि पार्श्वभागी विभाजित करण्यास अनुमती देते. अनुदैर्ध्य गती म्हणजे उभ्या विमानात रोल आणि स्लिप नसताना, रडर आणि आयलॉन्स तटस्थ स्थितीत असलेल्या विमानाच्या हालचालीचा संदर्भ देते. या प्रकरणात, दोन अनुवादात्मक आणि एक रोटेशनल हालचाली होतात. ट्रान्सलेशनल मोशन वेग वेक्टरच्या बाजूने चालते आणि सामान्य बाजूने, रेखांशाची गती झेड अक्षाभोवती चालविली जाते α, प्रक्षेपकाच्या झुकाव कोन θ, खेळपट्टीचा कोन, उड्डाण गती, फ्लाइटची उंची, तसेच लिफ्टची स्थिती आणि थ्रस्ट DU च्या उभ्या विमानातील विशालता आणि दिशा.

विमानाच्या अनुदैर्ध्य गतीसाठी समीकरणांची प्रणाली.

विमानाच्या अनुदैर्ध्य गतीचे वर्णन करणारी एक बंद प्रणाली समीकरणांच्या संपूर्ण प्रणालीपासून वेगळी केली जाऊ शकते, जर पार्श्व गतीचे मापदंड, तसेच रोल आणि याव नियंत्रणांचे विक्षेपण कोन 0 च्या समान असतील.

α = ν – θ हा संबंध त्याच्या परिवर्तनानंतरच्या पहिल्या भौमितिक समीकरणातून घेतला जातो.

प्रणाली 6.1 चे शेवटचे समीकरण इतरांवर परिणाम करत नाही आणि ते स्वतंत्रपणे सोडवता येते. 6.1 - नॉनलाइनर सिस्टम, कारण व्हेरिएबल्स आणि त्रिकोणमितीय फंक्शन्सची उत्पादने, वायुगतिकीय शक्तींसाठी अभिव्यक्ती समाविष्ट आहेत.

विमानाच्या अनुदैर्ध्य गतीचे एक सरलीकृत रेखीय मॉडेल प्राप्त करण्यासाठी, विशिष्ट गृहितके सादर करणे आणि रेखीयकरण प्रक्रिया पार पाडणे आवश्यक आहे. अतिरिक्त गृहीतके सिद्ध करण्यासाठी, आम्हाला लिफ्टच्या पायरीच्या दिशेने विक्षेपनसह विमानाच्या अनुदैर्ध्य हालचालीची गतिशीलता विचारात घेणे आवश्यक आहे.

लिफ्टच्या टप्प्याटप्प्याने विक्षेपण करण्यासाठी विमानाचा प्रतिसाद. दीर्घकालीन आणि अल्प-मुदतीमध्ये अनुदैर्ध्य गतीचे विभाजन.

चरणबद्ध विचलन δ in सह, एक क्षण M z (δ in) उद्भवतो, जो Z अक्षाच्या सापेक्ष ω z वेगाने फिरतो. या प्रकरणात, खेळपट्टी आणि आक्रमण कोन बदलतात. आक्रमणाचा कोन जसजसा वाढत जातो तसतसे लिफ्टमध्ये वाढ होते आणि अनुदैर्ध्य स्थिर स्थिरतेचा एक क्षण M z (Δα), जो M z (δ in) या क्षणाचा प्रतिकार करतो. रोटेशन संपल्यानंतर, आक्रमणाच्या एका विशिष्ट कोनात, ते त्याची भरपाई करते.

M z (Δα) आणि M z (δ in) क्षणांचा समतोल साधल्यानंतर आक्रमणाच्या कोनात होणारा बदल थांबतो, परंतु, कारण विमानात काही जडत्व गुणधर्म असतात, उदा. OZ अक्षाच्या सापेक्ष I z मध्ये जडत्वाचा एक क्षण असतो, नंतर आक्रमणाच्या कोनाची स्थापना निसर्गात दोलनात्मक असते.

OZ अक्षाभोवती विमानाचे कोनीय दोलन नैसर्गिक वायुगतिकीय डॅम्पिंग मोमेंट M z (ω z) वापरून ओलसर केले जाईल. लिफ्टमधील वाढीमुळे वेग वेक्टरची दिशा बदलू लागते. प्रक्षेपणाचा झुकाव कोन θ देखील बदलतो. या प्रकरणात, आक्रमणाचा कोन स्थिर आहे. लहान अंतराने कोनीय हालचाली उच्च वारंवारतेसह होतात, म्हणजे. कमी कालावधी असतो आणि त्याला शॉर्ट-पीरियड म्हणतात.

अल्पकालीन चढउतार कमी झाल्यानंतर, उड्डाण गतीतील बदल लक्षात येण्याजोगा होतो. मुख्यतः Gsinθ घटकामुळे. वेग ΔV मध्ये बदल लिफ्ट फोर्सच्या वाढीवर आणि परिणामी, प्रक्षेपणाच्या झुकाव कोनावर परिणाम करतो. नंतरचे फ्लाइट गती बदलते. या प्रकरणात, वेग वेक्टरचे लुप्त होत जाणारे दोलन परिमाण आणि दिशेने होतात.

या हालचाली कमी वारंवारतेने दर्शविले जातात आणि हळू हळू कमी होतात, म्हणूनच त्यांना दीर्घ-काळ म्हणतात.

अनुदैर्ध्य गतीच्या गतिशीलतेचा विचार करताना, आम्ही लिफ्टच्या विक्षेपणामुळे तयार होणारी अतिरिक्त लिफ्ट फोर्स विचारात घेतली नाही. हा प्रयत्न एकूण लिफ्ट फोर्स कमी करण्याच्या उद्देशाने आहे, म्हणून, जड विमानांसाठी, कमी होण्याची घटना पाहिली जाते - खेळपट्टीच्या कोनात एकाच वेळी वाढीसह प्रक्षेपणाच्या झुकावच्या कोनात गुणात्मक विचलन. लिफ्टमधील वाढीमुळे लिफ्टच्या विक्षेपणामुळे लिफ्ट घटकाची भरपाई होईपर्यंत हे घडते.

सराव मध्ये, दीर्घ-कालावधी दोलन होत नाहीत, कारण पायलट किंवा स्वयंचलित नियंत्रणाद्वारे वेळेवर विझवले जातात.

अनुदैर्ध्य गतीच्या गणितीय मॉडेलचे हस्तांतरण कार्ये आणि संरचनात्मक आकृत्या.

ट्रान्सफर फंक्शन म्हणजे आउटपुट व्हॅल्यूची प्रतिमा, शून्य प्रारंभिक स्थितीवर इनपुटच्या प्रतिमेवर आधारित.

कंट्रोल ऑब्जेक्ट म्हणून विमानाच्या ट्रान्सफर फंक्शन्सचे वैशिष्ट्य म्हणजे इनपुट प्रमाणाच्या तुलनेत आउटपुट प्रमाणाचे गुणोत्तर नकारात्मक चिन्हासह घेतले जाते. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की वायुगतिकीमध्ये विमानाच्या गती पॅरामीटर्समध्ये नकारात्मक वाढ निर्माण करणाऱ्या विचलनांना नियंत्रणांचे सकारात्मक विचलन मानण्याची प्रथा आहे.

ऑपरेटर फॉर्ममध्ये, रेकॉर्ड असे दिसते:

सिस्टम 6.10, जे विमानाच्या अल्पकालीन हालचालीचे वर्णन करते, खालील उपायांशी संबंधित आहे:

(6.11)

(6.12)

अशा प्रकारे, आम्ही लिफ्टच्या विक्षेपणाशी खेळपट्टीतील आक्रमणाचा कोन आणि टोकदार वेग यांचा संबंध असलेली ट्रान्सफर फंक्शन्स लिहू शकतो.

(6.13)

ट्रान्सफर फंक्शन्सला मानक स्वरूप प्राप्त करण्यासाठी, आम्ही खालील नोटेशन सादर करतो:

, , , , ,

हे संबंध लक्षात घेऊन, आम्ही 6.13 पुन्हा लिहितो:

(6.14)

अशा प्रकारे, लिफ्टच्या विक्षेपणावर अवलंबून, प्रक्षेपणाच्या झुकाव कोन आणि खेळपट्टीच्या कोनासाठी हस्तांतरण कार्ये खालील स्वरूपातील असतील:

(6.17)

विमानाच्या रेखांशाच्या हालचालीचे वैशिष्ट्य दर्शविणारे सर्वात महत्वाचे पॅरामीटर्स म्हणजे सामान्य ओव्हरलोड. ओव्हरलोड हे असू शकते: सामान्य (OU अक्षासह), रेखांशाचा (OX अक्षासह) आणि पार्श्व (OZ अक्षासह). गुरुत्वाकर्षणाच्या बलाने भागून विशिष्ट दिशेने विमानावर कार्य करणाऱ्या बलांची बेरीज म्हणून त्याची गणना केली जाते. अक्षावरील प्रक्षेपणांमुळे एका व्यक्तीला मोठेपणा आणि त्याचा g शी संबंध मोजता येतो.

- सामान्य ओव्हरलोड

सिस्टम 6.3 च्या फोर्सच्या पहिल्या समीकरणातून आम्हाला मिळते:

ओव्हरलोडसाठी अभिव्यक्ती वापरुन, आम्ही पुन्हा लिहितो:

क्षैतिज उड्डाण परिस्थितीसाठी ( :

ट्रान्सफर फंक्शनशी संबंधित ब्लॉक आकृती लिहू:

-δ मध्ये M ω z ν α - θ θ

बाजूकडील बल Z a (δ n) एक रोल मोमेंट M x (δ n) तयार करते. M x (δ n) आणि M x (β) या क्षणांचे गुणोत्तर रडरच्या विक्षेपणासाठी विमानाची पुढे आणि उलट प्रतिक्रिया दर्शवते. जर M x (δ n) ची परिमाण M x (β) पेक्षा जास्त असेल, तर विमान वळणाच्या विरुद्ध दिशेने झुकेल.

वरील बाबी लक्षात घेऊन, जेव्हा रडर विचलित होतो तेव्हा विमानाच्या बाजूकडील हालचालीचे विश्लेषण करण्यासाठी आपण ब्लॉक आकृती तयार करू शकतो.

-δ n M y ω y ψ ψ
β β F z Ψ 1 Mx
ω y ω x

तथाकथित फ्लॅट टर्न मोडमध्ये, रोल क्षणांची भरपाई पायलट किंवा संबंधित नियंत्रण प्रणालीद्वारे केली जाते. हे लक्षात घ्यावे की एका लहान बाजूच्या हालचालीने विमान गुंडाळते, यासह लिफ्ट फोर्स झुकते, ज्यामुळे पार्श्व प्रक्षेपण Y a sinγ होते, ज्यामुळे मोठ्या बाजूची हालचाल विकसित होण्यास सुरुवात होते: विमान झुकलेल्या अर्ध्या भागावर सरकण्यास सुरुवात करते. विंग, आणि संबंधित वायुगतिकीय शक्ती आणि क्षण वाढतात आणि याचा अर्थ असा की तथाकथित "सर्पिल क्षण" भूमिका बजावू लागतात: M y (ω x) आणि M y (ω z). जेव्हा विमान आधीच झुकलेले असते तेव्हा मोठ्या पार्श्व हालचालींचा विचार करणे किंवा जेव्हा आयलॉन्स विचलित होतात तेव्हा विमानाच्या गतिशीलतेचे उदाहरण वापरणे उचित आहे.

एलेरॉन विक्षेपनला विमानाचा प्रतिसाद.

जेव्हा आयलॉन्स विचलित होतात, तेव्हा एक क्षण M x (δ e) येतो. विमान संबंधित अक्ष OX भोवती फिरू लागते आणि एक रोल कोन γ दिसतो. ओलसर क्षण M x (ω x) विमानाच्या रोटेशनचा प्रतिकार करतो. जेव्हा विमान झुकते, रोलच्या कोनात बदल झाल्यामुळे, एक बाजूकडील बल Z g (Ya) उद्भवते, जे वजन बल आणि लिफ्ट फोर्स Y a चे परिणाम आहे. हे बल वेग वेक्टरला “उलगडते” आणि ट्रॅक कोन Ψ 1 बदलू लागतो, ज्यामुळे एक सरकणारा कोन β आणि संबंधित बल Z a (β), तसेच ट्रॅक स्थिर स्थिरतेचा एक क्षण M y बनतो. (β), जे कोनीय वेग ω y सह अनुदैर्ध्य अक्ष विमान उलगडण्यास सुरुवात करते. या हालचालीचा परिणाम म्हणून, जांभई कोन ψ बदलू लागतो. बाजूकडील बल Z a (β) हे Z g (Ya) बलाच्या विरुद्ध दिशेने निर्देशित केले जाते, त्यामुळे ते काही प्रमाणात पथ कोन Ψ 1 मधील बदलाचा दर कमी करते.

बल Z a (β) देखील ट्रान्सव्हर्स स्टॅटिक स्थिरतेच्या क्षणाचे कारण आहे. M x (β), जो यामधून विमानाला रोलमधून बाहेर आणण्याचा प्रयत्न करतो आणि कोनीय वेग ω y आणि संबंधित सर्पिल वायुगतिकीय क्षण M x (ω y) रोल कोन वाढवण्याचा प्रयत्न करतो. जर M x (ω y) M x (β) पेक्षा मोठा असेल, तर तथाकथित "सर्पिल अस्थिरता" उद्भवते, ज्यामध्ये एइलरॉन तटस्थ स्थितीत परत आल्यानंतर रोल कोन सतत वाढत राहतो, ज्यामुळे विमानाचा वेग वाढतो. वाढत्या कोनीय वेगासह वळणे.

अशा वळणाला समन्वित वळण असे म्हणतात आणि बँक कोन पायलटद्वारे किंवा स्वयंचलित नियंत्रण प्रणाली वापरून सेट केला जातो. या प्रकरणात, वळण दरम्यान, रोल M x β आणि M x ωу च्या त्रासदायक क्षणांची भरपाई केली जाते, रडर स्लाइडिंगसाठी भरपाई देते, म्हणजे, β, Z a (β), M y (β) = 0, तर क्षण M y (β ), ज्याने विमानाचा रेखांशाचा अक्ष वळवला, तो रडर M y (δ n) च्या क्षणाने बदलला, आणि पार्श्व बल Z a (β), ज्याने मार्ग कोनात बदल होण्यास प्रतिबंध केला, Z a (δ n) बलाने बदलले जाते. समन्वित वळणाच्या बाबतीत, गती (मॅन्युव्हरेबिलिटी) वाढते, तर विमानाचा रेखांशाचा अक्ष एअरस्पीड वेक्टरशी एकरूप होतो आणि कोन Ψ 1 मधील बदलासह समकालिकपणे वळतो.

UDC 629.7333.015
मोठ्या प्रमाणात विभक्त प्रवाहाचे अस्थिर परिणाम लक्षात घेऊन, मॅन्युव्हरेबल विमानाच्या अवकाशीय गतीचे गणितीय मॉडेल
हल्ल्याचे कोन.
एम.ए. झाखारोव.
रेखांशाच्या गतीच्या वायुगतिकीय गुणांकांच्या परिष्कृत मॉडेलवर आधारित, जे आक्रमणाच्या उच्च कोनांवर विभक्त प्रवाहाचे अस्थिर परिणाम लक्षात घेते, मॅन्युव्हेरेबल विमानाच्या अवकाशीय गतीचे गणितीय मॉडेल तयार केले जाते, ज्यामुळे त्याची नॉनलाइनर डिफरेंशियल समीकरणांची प्रणाली येते. एक प्रामाणिक फॉर्म. डिजिटल संगणकावर निर्दिष्ट प्रणाली सोडवण्यासाठी प्रोग्राममध्ये प्रवेश करण्यासाठी प्रारंभिक डेटा तयार केला गेला आहे. एरोडायनामिक गुणांकांवरील प्रारंभिक डेटा ज्ञात असलेल्यांकडून घेतला जातो (कोनांसाठी 0...900 आणि कोनांसाठी -400...400 श्रेणी व्यापतो) आणि नियतकालिक कायद्यानुसार कोनांसाठी अंदाजे -7200...7200 अंदाज केला जातो. तयार केलेले मॉडेल विमान नियंत्रणाच्या विविध स्थानांसाठी उपायांसह सचित्र आहे.

1 समस्येचे विधान.
संगणक तंत्रज्ञानाच्या क्षेत्रातील प्रगतीच्या संदर्भात, विमानाच्या अवकाशीय गतीसाठी नॉनलाइनर विभेदक समीकरणांच्या प्रणालीवर द्रुत आणि अचूकपणे उपाय शोधणे शक्य झाले आहे. त्याच वेळी, या हालचालीचे पूर्णपणे वर्णन करणारे गणितीय उपकरण अद्याप पुरेसे विकसित झालेले नाही. मॅन्युव्हरेबल विमानाच्या अवकाशीय गतीच्या गणितीय मॉडेल्सच्या विचारासाठी समर्पित कार्ये आहेत (उदाहरणार्थ). त्याच वेळी, एरोडायनामिक गुणांकांचे गणितीय मॉडेल आणि गती मॉडेल (विभेदक समीकरणांच्या प्रणालीच्या स्वरूपात) स्वतंत्रपणे प्रस्तावित आहेत. तथापि, मॉडेलमध्ये स्थिर नसलेल्या घटकांच्या वायुगतिकीय गुणांकांच्या उपस्थितीमुळे (विशेषतः, विंगभोवती विभक्त प्रवाहाच्या संरचनेशी संबंधित घटक) व्यावहारिक वापरासाठी सामान्य (संयुक्त) मॉडेलचे बांधकाम कठीण आहे. सामान्य समीकरण प्रणालीमध्ये वायुगतिकीय गुणांक बदलताना, नंतरचे डिजिटल संगणकावर सोडवले जाऊ शकत नाही. परिणामी प्रणालीच्या उजव्या बाजूला अटॅक आणि साइडस्लिप (,) च्या कोनांचे व्युत्पन्न असलेले संज्ञा आहेत. आणखी एक अडचण अशी आहे की कोनांच्या श्रेणीसाठी एरोडायनामिक गुणांकांबद्दल प्रेसमध्ये व्यावहारिकपणे कोणतीही माहिती नाही आणि . या अडचणींवर मात करण्याचा प्रयत्न या पेपरमध्ये केला आहे.
पूर्वी, एरोडायनामिक गुणांकांच्या परिष्कृत मॉडेलच्या आधारावर, जे आक्रमणाच्या उच्च कोनांवर विभक्त प्रवाहाचे अस्थिर परिणाम लक्षात घेते, मॅन्युव्हेरेबल विमानाच्या अनुदैर्ध्य गतीचे गणितीय मॉडेल तयार केले गेले. वायुगतिकीय गुणांकांचे परिष्कृत मॉडेल अंमलात आणण्याच्या प्रयत्नांचा तार्किक निष्कर्ष म्हणजे गुणांकांच्या निर्दिष्ट मॉडेलसह, मॅन्युव्हरेबल विमानाच्या अवकाशीय गतीचे मॉडेल तयार करणे.
कंट्रोल्सची स्थिती बदलताना सोल्यूशन्ससह तयार केलेले मॉडेल स्पष्ट करणे देखील आवश्यक आहे.

2 गृहीतके, प्रारंभिक समीकरणे आणि गणितीय मॉडेलचे बांधकाम.
आम्ही असे गृहीत धरतो की वाऱ्याच्या अनुपस्थितीत सपाट, फिरत नसलेल्या पृथ्वीच्या सापेक्ष एक कठोर, चालण्यायोग्य विमान फिरते. उजव्या आणि डाव्या इंजिनचे थ्रस्ट अक्ष संबंधित समन्वय प्रणालीच्या X अक्षाच्या समांतर असतात. या प्रकरणात, अशा विमानाची अवकाशीय गती गतिशीलता आणि गतीशास्त्राच्या समीकरणांच्या खालील प्रणालीद्वारे व्यक्त केली जाऊ शकते:
; (1)
; (2)
; (3)
; (4)
; (5)
; (6)
; (7)
; (8)
; (9)
कुठे:
; (10)
; (11)
; (12)
- विमानाच्या वस्तुमान केंद्राची (CM) रेषीय गती; , , – विमानाशी संबंधित X, Y, Z अक्षांच्या सापेक्ष त्याची कोनीय रोटेशन गती , – पंख क्षेत्र; - विंग स्पॅन; - विंगची सरासरी एरोडायनामिक जीवा; , , – जडत्वाचे अक्षीय क्षण, अक्षांच्या सापेक्ष OX, OY, OZ; - हल्ला कोन; - स्लाइडिंग कोन; - रोल कोन; - खेळपट्टीचा कोन; - जांभई कोन; - गतिज क्षण...

मूलभूत संकल्पना

स्थिरता आणि नियंत्रणक्षमता हे विमानाचे विशेष महत्त्वाचे भौतिक गुणधर्म आहेत. उड्डाण सुरक्षा, पायलटिंगची साधेपणा आणि अचूकता आणि पायलटची विमानाच्या तांत्रिक क्षमतांची पूर्ण अंमलबजावणी मुख्यत्वे त्यांच्यावर अवलंबून असते.

विमानाच्या स्थिरता आणि नियंत्रणक्षमतेचा अभ्यास करताना, ते बाह्य शक्तींच्या प्रभावाखाली अनुवादितपणे फिरणारे आणि या शक्तींच्या क्षणांच्या प्रभावाखाली फिरणारे शरीर म्हणून प्रस्तुत केले जाते.

स्थिर उड्डाणासाठी शक्ती आणि क्षण परस्पर संतुलित असणे आवश्यक आहे.

जर काही कारणास्तव हा समतोल बिघडला, तर विमानाच्या वस्तुमानाचे केंद्र वक्र मार्गाने असमानपणे फिरू लागेल आणि विमान स्वतःच फिरू लागेल.

विमानाच्या फिरण्याच्या अक्षांना उत्पत्तीशी संबंधित समन्वय प्रणालीचे अक्ष मानले जाते.
विमानाच्या वस्तुमानाच्या केंद्रस्थानी. OX अक्ष विमानाच्या सममितीच्या समतलामध्ये स्थित आहे आणि त्याच्या रेखांशाच्या अक्षावर निर्देशित केला जातो. OU अक्ष OX अक्षाला लंब आहे आणि OZ अक्ष XOU समतलाला लंब आहे आणि निर्देशित आहे
उजव्या विंगच्या दिशेने.

या अक्षांभोवती विमान फिरवणाऱ्या क्षणांना पुढील नावे आहेत:

एम एक्स - रोल मोमेंट किंवा ट्रान्सव्हर्स मोमेंट;

М Y - जांभईचा क्षण किंवा प्रवासाचा क्षण;

M z - पिचिंग क्षण किंवा रेखांशाचा क्षण.

आक्रमणाचा कोन वाढवणारा M z क्षणाला पिचिंग म्हणतात आणि ज्या क्षणामुळे आक्रमणाचा कोन कमी होतो तो क्षण M z ला डायव्हिंग म्हणतात.

तांदूळ. ६.१. विमानात अभिनय करणारे क्षण

क्षणांची सकारात्मक दिशा निश्चित करण्यासाठी, खालील नियम वापरला जातो:

जर तुम्ही संबंधित अक्षाच्या सकारात्मक दिशेने उत्पत्तीपासून पाहिले तर घड्याळाच्या दिशेने फिरणे सकारात्मक असेल.

अशा प्रकारे,

पिचिंग अप करण्याच्या बाबतीत M z पॉझिटिव्ह आहे,

उजव्या अर्ध्या विंगच्या रोलच्या बाबतीत M x पॉझिटिव्ह आहे,

· जेव्हा विमान डावीकडे वळते तेव्हा M Y हा क्षण सकारात्मक असतो.

सकारात्मक स्टीयरिंग विक्षेपन नकारात्मक टॉर्कशी संबंधित आहे आणि उलट. म्हणून, रडरचे सकारात्मक विक्षेपण विचारात घेतले पाहिजे:

· लिफ्ट - खाली,

· स्टीयरिंग व्हील - उजवीकडे,

उजवा आयलेरॉन – खाली.

अंतराळातील विमानाची स्थिती पिच, रोल आणि याव या तीन कोनांनी निश्चित केली जाते.

रोल कोनक्षितिज रेषा आणि OZ अक्ष यांच्यातील कोन म्हणतात,

स्लाइडिंग कोन- वेग वेक्टर आणि विमानाच्या सममितीचे समतल कोन,

खेळपट्टीचा कोन- विंगचा जीवा किंवा फ्यूजलेजचा अक्ष आणि क्षितिज रेषा यांच्यातील कोन.

विमान उजव्या काठावर असल्यास बँक कोन सकारात्मक असतो.

उजव्या अर्ध्या पंखावर सरकताना स्लाइडिंग कोन सकारात्मक असतो.

विमानाचे नाक क्षितिजाच्या वर असल्यास खेळपट्टीचा कोन सकारात्मक मानला जातो.

समतोल ही विमानाची एक अवस्था आहे ज्यामध्ये सर्व शक्ती आणि क्षण एकमेकांशी संतुलित असतात आणि विमान एकसमान रेषीय हालचाल करते.

यांत्रिकी पासून, 3 प्रकारचे समतोल ओळखले जाते:

अ) स्थिर ब) उदासीन क) अस्थिर;

तांदूळ. ६.२. शरीर संतुलनाचे प्रकार

समान प्रकारात समतोल असू शकतो
आणि एक विमान.

रेखांशाचा समतोल- ही अशी अवस्था आहे ज्यामध्ये विमानाला हल्ल्याचा कोन बदलण्याची इच्छा नसते.

प्रवास शिल्लक- विमानाला उड्डाणाची दिशा बदलण्याची इच्छा नाही.

ट्रान्सव्हर्स शिल्लक- विमानात बँक कोन बदलण्याची प्रवृत्ती नाही.

या कारणांमुळे विमानाचा समतोल बिघडू शकतो:

1) इंजिन ऑपरेटिंग मोडचे उल्लंघन किंवा फ्लाइटमध्ये त्यांचे अपयश;

2) विमान आयसिंग;

3) उग्र हवेत उडणे;

4) यांत्रिकीकरणाचे नॉन-सिंक्रोनस विचलन;

5) विमानाच्या भागांचा नाश;

6) विंग आणि शेपटीभोवती स्टॉल प्रवाह.

हालचालींच्या प्रक्षेपणाच्या संबंधात किंवा पृथ्वीवरील वस्तूंच्या संबंधात उडणाऱ्या विमानाची विशिष्ट स्थिती सुनिश्चित करणे याला विमानाचा समतोल करणे म्हणतात.

उड्डाण करताना, नियंत्रणे विचलित करून विमानाचा समतोल साधला जातो.

विमानाची स्थिरतापायलटच्या हस्तक्षेपाशिवाय चुकून विस्कळीत झालेले संतुलन स्वतंत्रपणे पुनर्संचयित करण्याची क्षमता असे म्हणतात.

N.E Zhukovsky च्या मते, स्थिरता ही चळवळीची ताकद आहे.

उड्डाण सराव संतुलनासाठी
आणि विमानाची स्थिरता समतुल्य नाही. योग्य रीतीने समतोल नसलेल्या विमानावर उड्डाण करणे अशक्य आहे, तर अस्थिर विमानावर उड्डाण करणे शक्य आहे.

स्थिर आणि गतिमान स्थिरतेचे संकेतक वापरून विमानाच्या हालचालीच्या स्थिरतेचे मूल्यांकन केले जाते.

अंतर्गत स्थिर स्थिरताअपघाती असंतुलनानंतर मूळ समतोल स्थिती पुनर्संचयित करण्याच्या प्रवृत्तीचा संदर्भ देते. समतोल बिघडल्यास शक्ती उद्भवल्यास
आणि समतोल पुनर्संचयित करण्यासाठी प्रवृत्त क्षण, नंतर विमान स्थिर स्थिर आहे.

ठरवताना डायनॅमिक स्थिरतायापुढे मुल्यांकन करण्यात आलेला त्रास दूर करण्याची प्रारंभिक प्रवृत्ती नाही, तर विमानाच्या विस्कळीत हालचालीचे स्वरूप आहे. गतिमान स्थिरता सुनिश्चित करण्यासाठी, विमानाची गोंधळलेली हालचाल लवकर क्षय झाली पाहिजे.

अशा प्रकारे, विमान स्थिर आहे जर:

· स्थिर स्थिरता;

· विमानाचे चांगले ओलसर गुणधर्म, विस्कळीत गतीमध्ये त्याच्या दोलनांच्या तीव्र ओलसर होण्यास हातभार लावतात.

विमानाच्या स्थिर स्थिरतेच्या परिमाणात्मक निर्देशकांमध्ये रेखांशाचा, दिशात्मक आणि आडवा स्थिर स्थिरतेचा समावेश असतो.

डायनॅमिक स्थिरतेच्या वैशिष्ट्यांमध्ये व्यत्यय कमी करण्याच्या प्रक्रियेच्या गुणवत्तेचे निर्देशक समाविष्ट आहेत: विचलनाचा क्षय वेळ, विचलनांची कमाल मूल्ये, विचलन कमी करण्याच्या प्रक्रियेतील हालचालींचे स्वरूप.

अंतर्गत विमान नियंत्रणक्षमतावैमानिकाच्या इच्छेनुसार, दिलेल्या प्रकारच्या विमानासाठी तांत्रिक अटींद्वारे प्रदान केलेली कोणतीही युक्ती पार पाडण्याची त्याची क्षमता म्हणून समजले जाते.

विमानाच्या नियंत्रणक्षमतेवर त्याची कुशलता मुख्यत्वे अवलंबून असते.

चातुर्यविमान म्हणजे ठराविक कालावधीत वेग, उंची आणि उड्डाणाची दिशा बदलण्याची क्षमता.

विमानाची नियंत्रणक्षमता त्याच्या स्थिरतेशी जवळून संबंधित आहे. चांगल्या स्थिरतेसह नियंत्रणक्षमता पायलटला नियंत्रण सुलभतेसह प्रदान करते आणि आवश्यक असल्यास, आपल्याला नियंत्रण प्रक्रियेदरम्यान झालेल्या अपघाती त्रुटी त्वरित सुधारण्याची परवानगी देते,
आणि बाह्य व्यत्ययाच्या संपर्कात आल्यावर विमानाला निर्दिष्ट संतुलन स्थितीत परत करणे देखील सोपे आहे.

विमानाची स्थिरता आणि नियंत्रणक्षमता ठराविक प्रमाणात असणे आवश्यक आहे.

जर विमानात मोठी स्थिरता असेल,
मग विमान नियंत्रित करण्याचा प्रयत्न खूप मोठा आहे आणि पायलट पटकन करेल
टायर अशा विमानाबद्दल ते म्हणतात की उड्डाण करणे कठीण आहे.

जास्त हलके नियंत्रण देखील अस्वीकार्य आहे, कारण ते नियंत्रण लीव्हरचे विक्षेपण अचूकपणे मोजणे अवघड बनवते आणि त्यामुळे विमान हलू शकते.

विमानाचे संतुलन, स्थिरता आणि नियंत्रणक्षमता अनुदैर्ध्य आणि पार्श्वभागात विभागली गेली आहे.

पार्श्व स्थिरता आणि नियंत्रणक्षमता ट्रान्सव्हर्स आणि डायरेक्शनल (वेन) मध्ये विभागली गेली आहे.

अनुदैर्ध्य स्थिरता

अनुदैर्ध्य स्थिरतापायलटच्या हस्तक्षेपाशिवाय विस्कळीत रेखांशाचा समतोल पुनर्संचयित करण्यासाठी विमानाची क्षमता म्हणतात (ओझेडशी संबंधित स्थिरता)

अनुदैर्ध्य स्थिरता याद्वारे सुनिश्चित केली जाते:

1) क्षैतिज शेपटीच्या पृष्ठभागाचे संबंधित परिमाण, ज्याचे क्षेत्र विंगच्या क्षेत्रावर अवलंबून असते;

2) क्षैतिज शेपटीचा खांदा L g.o, i.e. विमानाच्या वस्तुमानाच्या केंद्रापासून g.o च्या दाबाच्या केंद्रापर्यंतचे अंतर.

3) केंद्रीकरण, म्हणजे पायाच्या बोटापासून अंतर सरासरी वायुगतिकीय जीवा (MACH)विमानाच्या वस्तुमानाच्या मध्यभागी, MAR मूल्याची टक्केवारी म्हणून व्यक्त केले जाते:

तांदूळ. ६.३. सरासरी एरोडायनामिक जीवा निश्चित करणे

MAR (b a) ही काही पारंपारिक आयताकृती पंखांची जीवा आहे, ज्याचे क्षेत्रफळ वास्तविक पंखासारखेच असते, ज्यामध्ये वायुगतिकीय शक्ती आणि क्षणांचे समान गुणांक असतात.

MAR ची परिमाण आणि स्थिती बहुतेक वेळा ग्राफिक पद्धतीने आढळते.

विमानाच्या वस्तुमान केंद्राची स्थिती आणि त्यामुळे त्याचे संरेखन यावर अवलंबून असते:

1) विमानाचे लोडिंग आणि फ्लाइट दरम्यान या लोडमध्ये बदल;

२) प्रवाशांची राहण्याची सोय आणि इंधन निर्मिती.

केंद्रीकरण कमी झाल्यामुळे, स्थिरता वाढते, परंतु नियंत्रणक्षमता कमी होते.

केंद्रीकरण वाढते म्हणून, स्थिरता कमी होते, परंतु नियंत्रणक्षमता वाढते.

म्हणून, सुरक्षित लँडिंग गती आणि पुरेशी नियंत्रणक्षमता प्राप्त करण्याच्या अटींवरून संरेखनांची पुढील मर्यादा सेट केली जाते आणि मागील मर्यादा पुरेशी स्थिरता सुनिश्चित करण्याच्या अटीवरून सेट केली जाते.

आक्रमणाच्या कोनात अनुदैर्ध्य स्थिरता सुनिश्चित करणे

रेखांशाचा समतोल व्यत्यय व्यक्त केला जातो
हल्ल्याचा कोन आणि उड्डाण गती बदलताना, आणि आक्रमणाचा कोन वेगापेक्षा खूप वेगाने बदलतो. म्हणून, संतुलन बिघडल्यानंतर पहिल्या क्षणी, आक्रमणाच्या कोनाच्या (ओव्हरलोडच्या दृष्टीने) विमानाची स्थिरता प्रकट होते.

जेव्हा विमानाचा रेखांशाचा समतोल बिघडतो, तेव्हा आक्रमणाचा कोन एका रकमेने बदलतो आणि लिफ्ट फोर्समध्ये एका रकमेने बदल घडवून आणतो, जो विंग आणि आडव्या शेपटीच्या लिफ्ट फोर्समधील वाढीची बेरीज आहे:

विंग आणि संपूर्ण विमानाचा एक महत्त्वाचा गुणधर्म आहे, म्हणजे जेव्हा आक्रमणाचा कोन बदलतो तेव्हा वायुगतिकीय भार अशा प्रकारे पुनर्वितरित केला जातो की परिणामी वाढ त्याच F बिंदूमधून जाते, MAR च्या नाकापासून दूर. अंतर X f.

अंजीर.6.4. विमानाची अनुदैर्ध्य स्थिरता सुनिश्चित करणे

स्थिर गतीने आक्रमणाच्या कोनात बदल झाल्यामुळे लिफ्टमधील वाढीचा बिंदू म्हणतात. लक्ष केंद्रित.

अनुदैर्ध्य स्थिर स्थिरतेची डिग्री
विमानाचे वस्तुमान केंद्राची सापेक्ष स्थिती आणि विमानाच्या फोकसद्वारे निर्धारित केले जाते.

सतत प्रवाहादरम्यान फोकसची स्थिती आक्रमणाच्या कोनावर अवलंबून नसते.

वस्तुमानाच्या केंद्राची स्थिती, म्हणजे. विमानाचे संरेखन डिझाइन प्रक्रियेदरम्यान विमानाच्या लेआउटद्वारे आणि ऑपरेशन दरम्यान - इंधन भरून किंवा इंधन संपून, लोडिंग इत्यादीद्वारे निर्धारित केले जाते. विमानाचे संरेखन बदलून, आपण त्याच्या रेखांशाच्या स्थिर स्थिरतेची डिग्री बदलू शकता. संरेखनांची एक विशिष्ट श्रेणी आहे ज्यामध्ये विमानाच्या वस्तुमानाचे केंद्र ठेवले जाऊ शकते.

जर विमानावरील वजन असे ठेवले असेल की विमानाच्या वस्तुमानाचे केंद्र त्याच्या फोकसशी एकरूप होईल, तर विमान असंतुलनासाठी उदासीन असेल. या प्रकरणात केंद्रीकरण म्हणतात तटस्थ.

तटस्थ अलाइनमेंट फॉरवर्डच्या सापेक्ष वस्तुमान केंद्राचे विस्थापन विमानाला अनुदैर्ध्य स्थिर स्थिरता आणि गुरुत्वाकर्षण केंद्राचे विस्थापन प्रदान करते. परत स्थिरपणे अस्थिर करते.

अशा प्रकारे, विमानाची रेखांशाची स्थिरता सुनिश्चित करण्यासाठी, त्याचे वस्तुमान केंद्र फोकसच्या पुढे असले पाहिजे.

या प्रकरणात, जेव्हा आक्रमणाचा कोन चुकून बदलतो, तेव्हा एक स्थिर क्षण दिसून येतो a, विमानाला दिलेल्या हल्ल्याच्या कोनात परत करणे (चित्र 6.4).

वस्तुमान केंद्राच्या पलीकडे लक्ष केंद्रित करण्यासाठी, क्षैतिज शेपटी वापरल्या जातात.

वस्तुमानाचे केंद्र आणि फोकस मधील अंतर, MAR च्या अपूर्णांकांमध्ये व्यक्त केले जाते, त्याला ओव्हरलोड स्थिरता मार्जिन म्हणतात किंवा संरेखन राखीव:

स्थिरतेचे किमान स्वीकार्य मार्जिन आहे, जे MAR च्या किमान 3% इतके असले पाहिजे.

मध्यवर्ती केंद्राची स्थिती ज्यावर किमान परवानगीयोग्य केंद्रीकरण मार्जिन सुनिश्चित केले जाते त्याला म्हणतात अत्यंत मागील केंद्रीत. या संरेखनासह, विमानात स्थिरता आहे, उड्डाण सुरक्षा सुनिश्चित करते. अर्थात, मागे
ऑपरेशनल संरेखन कमाल परवानगीपेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे.

अनुज्ञेय केंद्र विस्थापन विमानाच्या समतोल स्थितीनुसार विमानाची पुढची दिशा ठरवली जाते.
बॅलन्सिंगच्या दृष्टीने सर्वात वाईट मोड म्हणजे कमी वेग, जास्तीत जास्त परवानगी असलेले कोन आणि विस्तारित यांत्रिकीकरण.
म्हणून अत्यंत पुढे संरेखनलँडिंग मोड दरम्यान विमान संतुलित असल्याची खात्री करण्याच्या स्थितीवरून निर्धारित केले जाते.

मॅन्युव्हरेबल नसलेल्या विमानांसाठी, शिल्लक मार्जिन MAC च्या 10-12% असणे आवश्यक आहे.

सबसोनिकमधून सुपरसॉनिक मोडवर स्विच करताना, विमानाचे लक्ष मागे सरकते, शिल्लक मार्जिन अनेक वेळा वाढते आणि अनुदैर्ध्य स्थिर स्थिरता झपाट्याने वाढते.

वक्र संतुलित करणे

अनुदैर्ध्य समतोल विस्कळीत झाल्यावर उद्भवणाऱ्या अनुदैर्ध्य क्षण M z चे परिमाण Δα आक्रमणाच्या कोनात होणाऱ्या बदलावर अवलंबून असते. या अवलंबित्व म्हणतात संतुलन वक्र.

Mz

तांदूळ. ६.५. वक्र संतुलित करणे:

अ) स्थिर विमान, ब) उदासीन विमान,
c) अस्थिर विमान

आक्रमणाचा कोन ज्यावर M z = 0 असतो त्याला आक्रमणाचा समतोल कोन α म्हणतात.

हल्ल्याच्या ट्रिम कोनात, विमान अनुदैर्ध्य समतोल स्थितीत आहे.

कोपऱ्यांवर एक स्थिर विमान एक स्थिर क्षण निर्माण करतो - (डुबकीचा क्षण), एक अस्थिर एक अस्थिर क्षण निर्माण करतो +, एक उदासीन विमान तयार करत नाही, म्हणजे. आक्रमणाचे अनेक समतोल कोन आहेत.

विमान दिशात्मक स्थिरता

ट्रॅक (वेन) स्थिरता- पायलटच्या हस्तक्षेपाशिवाय घसरणे दूर करण्याची ही विमानाची क्षमता आहे, म्हणजे, हालचालीची दिलेली दिशा राखून, स्वतःला "प्रवाहाविरूद्ध" स्थितीत ठेवण्याची.

तांदूळ. ६.६. विमान दिशात्मक स्थिरता

उभ्या शेपटीच्या S v.o च्या संबंधित परिमाणांद्वारे ट्रॅक स्थिरता सुनिश्चित केली जाते.
आणि उभ्या शेपटीचा हात L v.o, i.e. दाबाच्या केंद्रापासून अंतर v.o. विमानाच्या वस्तुमानाच्या मध्यभागी.

M च्या प्रभावाखाली, विमान OY अक्षाभोवती फिरू शकते, परंतु त्याचे c.m. जडत्वाने, ते अजूनही हालचालीची दिशा राखते आणि विमान खाली वाहते
सरकता कोन β. असममित प्रवाहाच्या परिणामी, एक बाजूकडील बल Z दिसून येतो, लागू केला जातो
पार्श्व फोकस मध्ये. झेड फोर्सच्या प्रभावाखाली विमान हे ज्या पंखावर सरकते त्या दिशेने वेदर वेनसारखे वळते.

मध्ये पार्श्व फोकस मध्य बिंदूच्या पलीकडे हलवते. विमान. हे स्थिर प्रवासी क्षण ΔM Y =Zb तयार करण्याची खात्री देते.

ट्रॅक स्थिर स्थिरतेची डिग्री मूल्याद्वारे निर्धारित केली जाते स्लाइडिंग अँगल m च्या संदर्भात जांभळाच्या क्षण गुणांकाचे व्युत्पन्न.

भौतिकदृष्ट्या, स्लायडिंग कोन 1 ने बदलल्यास m हे जांभळाच्या गुणांकातील वाढीचे प्रमाण निर्धारित करते.

दिशात्मक स्थिरता असलेल्या विमानासाठी ते नकारात्मक आहे. अशा प्रकारे, उजव्या पंखावर (सकारात्मक) सरकताना, विमान उजवीकडे फिरवत प्रवासाचा क्षण दिसून येतो, म्हणजे. गुणांक m ऋण आहे.

आक्रमणाचा कोन बदलणे आणि यांत्रिकीकरण सोडणे याचा दिशात्मक स्थिरतेवर फारसा प्रभाव पडत नाही. 0.2 ते 0.9 पर्यंत एम क्रमांकांच्या श्रेणीमध्ये, दिशात्मक स्थिरतेची डिग्री व्यावहारिकपणे बदलत नाही.