Mozaik simetrik. Algoritmi për ndërtimin e mozaikëve Penrose – modele dhe kuazikristale. Mozaikë nga vende të ndryshme

Algoritmi për ndërtimin e mozaikëve Penrose – modele dhe kuazikristale

Studenti
Universiteti Shtetëror Vladimir me emrin

A. G. dhe Instituti Pedagogjik,
Fakulteti i Fizikës dhe Matematikës, Vladimir, Rusi
Email:*****@****com

Kuazikristalet janë një lloj i ngurtë i zbuluar relativisht kohët e fundit, i ndërmjetëm midis kristaleve dhe trupave të ngurtë amorfë. Shfaqja e tyre shoqërohet me substanca të zbuluara eksperimentalisht në 1982 që japin një model difraksioni me maja funksionale të Bragg dhe simetri të papajtueshme me rrjetën e përkthimit. Për zbulimin e tyre, fizikani dhe kimisti izraelit Dan Shechtman mori çmimin Nobel në 2011.

Si modele matematikore të kuazikristaleve zakonisht përdoren sistemet e pikave jo periodike me rend me rreze të gjatë. Kuazikristale të tilla matematikore, ndryshe nga ato fizike, mund të përkufizohen në çdo dimension.

Një model dydimensional i një kuazikristali është mozaiku Penrose, i cili u studiua nga matematikanët edhe para zbulimit të kuazikristaleve. Mozaiku Penrose nuk është një ndarje periodike, pasi nuk shndërrohet në vetvete nga ndonjë transferim - përkthime paralele. Sidoqoftë, ekziston një rend i rreptë në të, i përcaktuar nga algoritmi për ndërtimin e kësaj ndarjeje.

Ka shumë qasje për përcaktimin e kuazikristaleve matematikore. Qasja më e njohur bazohet në projektimin e rrjetave nga hapësirat me dimensione më të larta në hapësira me dimensione më të ulëta, e cila quhet "bashkësi modelesh". Kur aplikohet në tjegulla Penrose, kjo qasje quhet metoda Baaki.

Kjo metodë është më e përshtatshme për studimin dhe analizimin e modelit të difraksionit të kuazikristaleve si nga pikëpamja teorike ashtu edhe nga pikëpamja e algoritmeve kompjuterike. Bazuar në këtë analizë, mund të nxirren përfundime të mëvonshme për vetitë e kuazikristaleve.

Për të analizuar vetitë e mozaikut Penrose, ne kemi shkruar një program kompjuterik duke përdorur algoritmin Baaki, sipas të cilit përcaktohet dritarja https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, ku .

Vendos https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , ku është raporti i artë. Pastaj projeksionet e pikave në grupi i modelit do të jetë si më poshtë: dhe ku https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23"> Kulmet lidhen me një buzë kur distanca ndërmjet tyre është 1. Kështu, një mozaik Penrose ndërtohet duke përdorur algoritmin e mësipërm.

Ne zbuluam se metoda e Baaki nuk është plotësisht e saktë dhe ndarja që rezulton nuk është saktësisht një ndarje Penrose, pasi shfaqen kulme dhe skaje "ekstra" të ndarjes. Doli se ky ndërtim është i saktë deri në kulmet dhe kufijtë e pesëkëndëshave.

Duke përdorur një eksperiment kompjuterik, ishte e mundur të rafinohej metoda Baaki, duke rezultuar në një mozaik Penrose (Fig. 1):

Fig.1 Mozaiku Penrose i marrë duke përdorur një modifikim të algoritmit Baaki

Metoda e përshkruar më sipër për ndërtimin e pllakave Penrose quhet parametrizim i dobët i pllakave Penrose.

Ekziston një metodë tjetër ndërtimi - parametrizim i fortë i kulmeve të ndarjes, ku mund të merrni parametrat e kulmeve fqinje duke përdorur parametrin e një kulmi të caktuar. I gjithë grupi i parametrave është i ndarë në poligone, në secilin prej të cilëve mjedisi i parë lokal i pikës është përcaktuar në mënyrë unike, si dhe një yll i përbërë nga vektorë që lidhin pikën me pikat fqinje.

Në vitin 1973, matematikani anglez Roger Penrose krijoi një mozaik të veçantë të formave gjeometrike, i cili u bë i njohur si mozaiku Penrose.
Mozaiku Penrose është një model i montuar nga pllaka poligonale të dy formave specifike (rombe paksa të ndryshëm). Ata mund të shtrojnë një avion të pafund pa boshllëqe.

Mozaiku Penrose sipas krijuesit të tij.
Është mbledhur nga dy lloje rombesh,
njëri me kënd 72 gradë, tjetri me kënd 36 gradë.
Fotografia rezulton të jetë simetrike, por jo periodike.

Imazhi që rezulton duket sikur është një lloj stoli "ritmike" - një fotografi me simetri përkthimore. Ky lloj simetrie do të thotë që ju mund të zgjidhni një pjesë specifike në një model që mund të "kopjohet" në një aeroplan, dhe më pas t'i kombinoni këto "kopje" me njëra-tjetrën me transferim paralel (me fjalë të tjera, pa rrotullim dhe pa zmadhim).

Sidoqoftë, nëse shikoni nga afër, mund të shihni se modeli Penrose nuk ka struktura të tilla përsëritëse - është periodik. Por çështja nuk është një iluzion optik, por fakti që mozaiku nuk është kaotik: ai ka simetri rrotulluese të rendit të pestë.

Kjo do të thotë që imazhi mund të rrotullohet me një kënd minimal të barabartë me 360 ​​/ n gradë, ku n është rendi i simetrisë, në këtë rast n = 5. Prandaj, këndi i rrotullimit, i cili nuk ndryshon asgjë, duhet të jetë një shumëfish prej 360 / 5 = 72 gradë.

Për rreth një dekadë, shpikja e Penrose u konsiderua asgjë më shumë se një abstraksion i lezetshëm matematikor. Megjithatë, në vitin 1984, Dan Shechtman, profesor në Institutin e Teknologjisë të Izraelit (Technion), ndërsa studionte strukturën e një lidhjeje alumini-magnez, zbuloi se difraksioni ndodh në rrjetën atomike të kësaj substance.

Idetë e mëparshme që ekzistonin në fizikën e gjendjes së ngurtë e përjashtuan këtë mundësi: struktura e modelit të difraksionit ka simetri të rendit të pestë. Pjesët e tij nuk mund të kombinohen me transferim paralel, që do të thotë se nuk është fare kristal. Por difraksioni është karakteristik për një rrjetë kristalore! Shkencëtarët ranë dakord që ky opsion do të quhej kuazikristale - diçka si një gjendje e veçantë e materies. Epo, bukuria e zbulimit është se një model matematikor për të ishte gati prej kohësh - mozaiku Penrose.

Dhe kohët e fundit u bë e qartë se ky ndërtim matematikor është shumë më i vjetër se sa mund të imagjinohej. Në vitin 2007, Peter J. Lu, një fizikant nga Universiteti i Harvardit, së bashku me një fizikant tjetër, Paul J. Steinhardt, por nga Universiteti Princeton, botoi një artikull në Science mbi mozaikët Penrose. Duket se ka pak të papritur këtu: zbulimi i kuazikristaleve tërhoqi interes të madh për këtë temë, gjë që çoi në shfaqjen e një bandë botimesh në shtypin shkencor.

Sidoqoftë, pika kryesore e punës është se ajo nuk i kushtohet shkencës moderne. Dhe në përgjithësi - jo shkencë. Peter Lu tërhoqi vëmendjen te modelet që mbulojnë xhamitë në Azi, të ndërtuara në mesjetë. Këto dizajne lehtësisht të dallueshme janë bërë nga pllaka mozaiku. Ata quhen girihi (nga fjala arabe për "nyjë") dhe janë një dizajn gjeometrik karakteristik i artit islam dhe i përbërë nga forma poligonale.

Një shembull i një plan urbanistik të paraqitur në një dorëshkrim arab të shekullit të 15-të.
Studiuesit përdorën ngjyrat për të theksuar zonat e përsëritura.
Të gjitha modelet gjeometrike janë ndërtuar mbi bazën e këtyre pesë elementeve.
mjeshtër arabë mesjetarë. Elemente që përsëriten
nuk përkojnë domosdoshmërisht me kufijtë e pllakave.

Ekzistojnë dy stile në stolitë islame: gjeometrike - girikh dhe lules - islimi.
Girikh(pers.) - një model gjeometrik kompleks i përbërë nga vija të stilizuara në forma drejtkëndëshe dhe poligonale. Në shumicën e rasteve përdoret për dekorimin e jashtëm të xhamive dhe librave në botime të mëdha.
Islimi(pers.) – lloj ornamenti i ndërtuar mbi kombinimin e barit dhe spirales. Mishëron në formë të stilizuar ose natyraliste idenë e një fidani gjethesh të lulëzuar gjithnjë në zhvillim dhe përfshin një larmi të pafund opsionesh. Është më i përhapur në veshje, libra, dekorimin e brendshëm të xhamive dhe enët.

Kopertina e Kuranit të viteve 1306-1315 dhe vizatimi i fragmenteve gjeometrike,
në të cilën bazohet modeli. Ky dhe shembujt e mëposhtëm nuk përputhen
Rrjeta penrose, por kanë simetri rrotulluese të rendit të pestë

Para zbulimit të Peter Lu, besohej se arkitektët e lashtë krijuan modele giriha duke përdorur një vizore dhe busull (nëse jo me frymëzim). Sidoqoftë, disa vjet më parë, ndërsa udhëtonte në Uzbekistan, Lou u interesua për modelet e mozaikut që zbukuronin arkitekturën mesjetare lokale dhe vuri re diçka të njohur rreth tyre. Pas kthimit në Harvard, shkencëtari filloi të ekzaminojë motive të ngjashme në mozaikë në muret e ndërtesave mesjetare në Afganistan, Iran, Irak dhe Turqi.

Ky shembull datohet në një periudhë të mëvonshme - 1622 (xhamia indiane).
Duke e parë atë dhe vizatimin e strukturës së saj, nuk mund të mos admirohet puna e palodhur
Kërkuesit. Dhe, natyrisht, vetë mjeshtrat.

Peter Lu zbuloi se modelet gjeometrike të girikhëve ishin pothuajse identike dhe ishte në gjendje të identifikonte elementët bazë të përdorur në të gjitha dizajnet gjeometrike. Përveç kësaj, ai gjeti vizatime të këtyre imazheve në dorëshkrimet e lashta, të cilat artistët e lashtë i përdornin si një lloj fletë mashtrimi për dekorimin e mureve.
Për të krijuar këto modele, ata përdorën jo konturet e thjeshta, të shpikura rastësisht, por figura të renditura në një rend të caktuar. Modelet e lashta doli të ishin ndërtime të sakta të mozaikëve Penrose!

Këto imazhe theksojnë të njëjtat zona,
edhe pse këto janë fotografi nga një sërë xhamish

Në traditën islame, kishte një ndalim të rreptë për përshkrimin e njerëzve dhe kafshëve, kështu që modelet gjeometrike u bënë shumë të njohura në hartimin e ndërtesave. Mjeshtrit mesjetarë arritën disi ta bëjnë atë të larmishëm. Por askush nuk e dinte se cili ishte sekreti i "strategjisë" së tyre. Pra, sekreti rezulton të jetë në përdorimin e mozaikëve të posaçëm që munden, duke mbetur simetrik, të mbushin avionin pa u përsëritur.

Një tjetër "mashtrim" i këtyre imazheve është se, duke "kopjuar" skema të tilla në tempuj të ndryshëm sipas vizatimeve, artistët do të duhej të lejonin në mënyrë të pashmangshme shtrembërime. Por shkeljet e kësaj natyre janë minimale. Kjo mund të shpjegohet vetëm me faktin se nuk kishte asnjë pikë në vizatime në shkallë të gjerë: gjëja kryesore ishte parimi me të cilin të ndërtohej fotografia.

Për të montuar girik, u përdorën pesë lloje pllakash (rombet dhjetë dhe pesëkëndëshe dhe "fluturat"), të cilat u montuan në një mozaik ngjitur me njëri-tjetrin pa hapësirë ​​​​të lirë midis tyre. Mozaikët e krijuar prej tyre mund të kishin ose simetri rrotulluese dhe përkthimore në të njëjtën kohë, ose vetëm simetri rrotulluese të rendit të pestë (d.m.th., ata ishin mozaikë Penrose).

Fragment i ornamentit të mauzoleumit iranian të vitit 1304. Në të djathtë - rindërtimi i girikhëve

Pas ekzaminimit të qindra fotografive të vendeve myslimane mesjetare, Lu dhe Steinhardt ishin në gjendje të datojnë trendin në shekullin e 13-të. Gradualisht kjo metodë fitoi popullaritet në rritje dhe në shekullin e 15-të u bë e përhapur. Datimi përkon përafërsisht me periudhën e zhvillimit të teknikës së dekorimit të pallateve, xhamive dhe objekteve të ndryshme të rëndësishme me pllaka qeramike me ngjyra të glazurit në formë poligonesh të ndryshme. Kjo do të thotë, pllaka qeramike me forma të veçanta u krijuan posaçërisht për girik.

Studiuesit e konsideruan shenjtëroren e Imam Darb-i në qytetin iranian të Isfahanit, që daton që nga viti 1453, si një shembull i një strukture pothuajse ideale kuazikristaline.

Portali i faltores së Imam Darb-i në Isfahan (Iran).
Këtu dy sisteme girikh janë mbivendosur mbi njëri-tjetrin.

Kolona nga oborri i një xhamie në Turqi (rreth 1200)
dhe muret e një medreseje në Iran (1219). Këto janë vepra të hershme
dhe ata përdorin vetëm dy elementë strukturorë të gjetur nga Lu

Tani mbetet për të gjetur përgjigje për një sërë misteresh në historinë e mozaikëve të Girikh dhe Penrose. Si dhe pse matematikanët e lashtë zbuluan strukturat kuazikristaline? A i dhanë arabët mesjetarë mozaikëve ndonjë kuptim tjetër përveç atij artistik? Pse një koncept kaq interesant matematikor u harrua për gjysmë mijëvjeçari? Dhe gjëja më interesante është se cilat janë zbulimet e tjera moderne të reja, të cilat në fakt janë të vjetra të harruara mirë?

Mozaik Penrose, Pllaka Penrose - ndarja jo periodike e rrafshit, struktura aperiodike të rregullta, tjegulla e rrafshit me dy lloje rombe - me kënde 72° dhe 108° (“rombe të trasha”) dhe 36° dhe 144° (“ rombe të hollë"), të tillë (përmasat i nënshtrohen "raportit të artë") që çdo dy rombe ngjitur (d.m.th., që kanë një anë të përbashkët) nuk formojnë një paralelogram së bashku.Emërtuar pas Roger Penrose, i cili ishte i interesuar për problemin e "teselimit", domethënë mbushja e një aeroplani me figura të së njëjtës formë pa boshllëqe ose mbivendosje.

Të gjitha pllakat e tilla janë jo periodike dhe lokalisht izomorfike me njëra-tjetrën (d.m.th., çdo fragment i fundëm i një tjegull Penrose ndodh në çdo tjetër). "Vetë-ngjashmëria" - ju mund të kombinoni pllakat e mozaikut ngjitur në atë mënyrë që të merrni përsëri një mozaik Penrose.

Mund të vizatohen disa segmente në secilën prej dy pllakave në mënyrë që kur shtroni mozaikun, skajet e këtyre segmenteve të rreshtohen dhe në plan të formohen disa familje të vijave të drejta paralele (shirita Amman).

Distancat midis vijave paralele ngjitur marrin saktësisht dy vlera të ndryshme (dhe për secilën familje të linjave paralele sekuenca e këtyre vlerave është e ngjashme).

Pllakat me tjegulla, të cilat kanë vrima, mbulojnë të gjithë rrafshin, përveç një figure me sipërfaqe të kufizuar. Nuk është e mundur të zmadhohet vrima duke hequr disa pllaka (numër të kufizuar) dhe më pas të shtrojë plotësisht pjesën e pambuluar.

Problemi zgjidhet duke shtruar me pllaka me figura që krijojnë një model të përsëritur periodikisht, por Penrose donte të gjente pikërisht një figurë të tillë që, kur të vendosej me pllaka në një aeroplan, të mos krijonte modele të përsëritura. Besohej se nuk kishte pllaka nga të cilat mund të ndërtoheshin vetëm mozaikë jo periodikë. Penrose zgjodhi shumë pllaka të formave të ndryshme, në fund ishin vetëm 2 prej tyre, me "raportin e artë", i cili qëndron në themel të të gjitha marrëdhënieve harmonike. Këto janë figura në formë diamanti me kënde 108° dhe 72°. Më vonë, figurat u thjeshtuan në një formë të thjeshtë rombi (36° dhe 144°), bazuar në parimin e "trekëndëshit të artë".

Modelet që rezultojnë kanë një formë kuazikristaline që ka simetri boshtore të rendit të 5-të. Struktura e mozaikut është e lidhur me sekuencën Fibonacci.
( Wikipedia)

Mozaik penrose. Pika e bardhë shënon qendrën e simetrisë rrotulluese të rendit të 5-të: një rrotullim rreth saj me 72° e shndërron mozaikun në vetvete.

Zinxhirë dhe mozaikë (revista Science and Life, 2005 Nr. 10)

Le të shqyrtojmë së pari modelin e idealizuar të mëposhtëm. Le të vendosen grimcat në një gjendje ekuilibri përgjatë boshtit të transportit z dhe të formojnë një zinxhir linear me një periudhë të ndryshueshme, duke ndryshuar sipas ligjit të progresionit gjeometrik:

аn = a1·Dn-1,

ku a1 është periudha fillestare ndërmjet grimcave, n është numri serial i periudhës, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… është numri i proporcionit të artë.

Zinxhiri i ndërtuar i grimcave shërben si shembull i një kuazikristali njëdimensional me renditje simetrie me rreze të gjatë. Struktura është absolutisht e renditur, ekziston një model sistematik në rregullimin e grimcave në bosht - koordinatat e tyre përcaktohen nga një ligj. Në të njëjtën kohë, nuk ka përsëritshmëri - periudhat midis grimcave janë të ndryshme dhe rriten gjatë gjithë kohës. Prandaj, struktura njëdimensionale që rezulton nuk ka simetri përkthimore, dhe kjo shkaktohet jo nga rregullimi kaotik i grimcave (si në strukturat amorfe), por nga raporti irracional i dy periudhave ngjitur (D është një numër irracional).

Një vazhdim logjik i strukturës së konsideruar njëdimensionale të një kuazikristali është një strukturë dydimensionale, e cila mund të përshkruhet me metodën e ndërtimit të mozaikëve (modele) jo periodike të përbërë nga dy elementë të ndryshëm, dy qeliza elementare. Ky mozaik u zhvillua në vitin 1974 nga një fizikan teorik nga Universiteti i Oksfordit. R. Penrose. Ai gjeti një mozaik me dy romba me anë të barabarta. Këndet e brendshme të një rombi të ngushtë janë 36° dhe 144°, dhe të një rombi të gjerë - 72° dhe 108°.

Këndet e këtyre rombeve janë të lidhura me raportin e artë, i cili shprehet algjebrikisht me ekuacionin x2 - x - 1 = 0 ose me barazimin y2 + y - 1 = 0. Rrënjët e këtyre ekuacioneve kuadratike mund të shkruhen në formë trigonometrike:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Kjo formë jokonvencionale e paraqitjes së rrënjëve të ekuacioneve tregon se këto romba mund të quhen rombe të ngushtë dhe të gjerë të artë.

Në mozaikun Penrose, avioni është i mbuluar me rombe të artë pa boshllëqe ose mbivendosje dhe mund të zgjatet pafundësisht në gjatësi dhe gjerësi. Por për të ndërtuar një mozaik të pafund, duhen ndjekur disa rregulla, të cilat ndryshojnë dukshëm nga përsëritja monotone e qelizave identike elementare që përbëjnë një kristal. Nëse shkelet rregulli për rregullimin e diamanteve të artë, atëherë pas ca kohësh rritja e mozaikut do të ndalet, pasi do të shfaqen mospërputhje të pazgjidhshme.

Në mozaikun e pafund të Penrose, rombët e artë janë rregulluar pa periodicitet të rreptë. Sidoqoftë, raporti i numrit të diamanteve të artë të gjerë me numrin e diamanteve të artë të ngushtë është saktësisht i barabartë me numrin e artë D = (1 + √5)/2= = 1,6180339…. Meqenëse numri D është irracional, në një mozaik të tillë është e pamundur të zgjidhet një qelizë elementare me një numër të plotë rombesh të secilit lloj, përkthimi i të cilave mund të marrë të gjithë mozaikun.

Mozaiku Penrose ka edhe hijeshinë e tij të veçantë si objekt i matematikës argëtuese. Pa hyrë në të gjitha aspektet e kësaj çështjeje, vërejmë se edhe hapi i parë - ndërtimi i një mozaiku - është mjaft interesant, pasi kërkon vëmendje, durim dhe një inteligjencë të caktuar. Dhe ju mund të tregoni shumë kreativitet dhe imagjinatë nëse e bëni mozaikun me shumë ngjyra. Ngjyrosja, e cila kthehet menjëherë në lojë, mund të bëhet në mënyra të shumta origjinale, variacionet e të cilave janë paraqitur në fotot (më poshtë). Pika e bardhë shënon qendrën e mozaikut, një rrotullim rreth të cilit me 72° e kthen atë në vetvete.

Mozaiku Penrose është një shembull i shkëlqyeshëm se si një ndërtim i bukur, i vendosur në kryqëzimin e disiplinave të ndryshme, gjen domosdoshmërisht aplikimin e tij. Nëse pikat nodale zëvendësohen nga atomet, mozaiku Penrose bëhet një analog i mirë i një kuazikristali dydimensional, pasi ka shumë veti karakteristike për këtë gjendje të materies. Dhe kjo është arsyeja pse.

Së pari, ndërtimi i mozaikut zbatohet sipas një algoritmi të caktuar, si rezultat i të cilit rezulton të jetë jo një strukturë e rastësishme, por e renditur. Çdo pjesë e kufizuar e saj ndodh shumë herë në të gjithë mozaikun.

Së dyti, në mozaik mund të dallohen shumë dhjetëkëndësha të rregullt që kanë saktësisht të njëjtat orientime. Ato krijojnë një rend orientues me rreze të gjatë, të quajtur quasiperiodic. Kjo do të thotë se ekziston një ndërveprim midis strukturave të largëta të mozaikut që koordinon vendndodhjen dhe orientimin relativ të diamanteve në një mënyrë shumë specifike, megjithëse të paqartë.

Së treti, nëse pikturoni në mënyrë sekuenciale mbi të gjithë rombët me anët paralele me çdo drejtim të zgjedhur, ato do të formojnë një seri vijash të thyera. Përgjatë këtyre vijave të thyera, ju mund të vizatoni vija të drejta paralele të ndara nga njëra-tjetra në afërsisht të njëjtën distancë. Falë kësaj vetie, mund të flasim për njëfarë simetrie përkthimore në mozaikun Penrose.

Së katërti, diamantet me hije të njëpasnjëshme formojnë pesë familje të vijave të ngjashme paralele që kryqëzohen në kënde që janë shumëfish të 72°. Drejtimet e këtyre vijave të thyera korrespondojnë me drejtimet e anëve të një pesëkëndëshi të rregullt. Prandaj, mozaiku Penrose ka, deri diku, simetri rrotulluese të rendit të 5-të dhe në këtë kuptim është i ngjashëm me një kuazikristal.

Shikime: 367

Në numrin e shkurtit 2007 të revistës Science, u shfaq një artikull nga shkencëtarët amerikanë Peter Lu dhe Paul Steinhardt mbi arkitekturën mesjetare islame, i cili u bë menjëherë një sensacion shkencor. Sipas autorëve të artikullit, modelet e mozaikut që dekorojnë muret e mauzoleumeve, xhamive dhe pallateve mesjetare janë bërë duke përdorur ligje matematikore të zbuluara nga shkencëtarët evropianë vetëm në vitet '70 të shekullit të njëzetë. Nga këtu, del qartë se arkitektët mesjetarë ishin disa shekuj përpara kolegëve të tyre evropianë.

Ky zbulim, si shumë gjëra në shkencën moderne, ndodhi krejtësisht rastësisht. Në vitin 2005, studenti i diplomuar i Universitetit të Harvardit Peter Lu erdhi në Uzbekistan si turist. Duke admiruar dekorimin e murit të mauzoleumit Abdullakhan në Buhara, ai pa në të një analog të strukturave komplekse gjeometrike që kishte studiuar dikur në universitet. Format e çuditshme të modeleve në stolitë e shumta të Samarkandit vetëm konfirmuan saktësinë e supozimit të tij. Pas kthimit në shtëpi, ai i tha mbikëqyrësit të tezës së tij, profesorit të Universitetit të Princetonit, Paul Steinhardt, për zbulimin e tij.

Një studim i plotë i strukturës së pikturave murale dhe zbukurimeve të monumenteve arkitekturore myslimane mesjetare në Uzbekistan, Afganistan, Iran, Irak, Turqi dhe Indi konfirmoi saktësinë e supozimit të Peter Lu dhe u bë objekt i artikullit të bujshëm të përmendur më sipër.

Për të kuptuar kuptimin e zbulimit të Peter Lu dhe Paul Steinhadt, duhet të njiheni me koncepte të tilla si problemi i parketit, struktura kuazikristaline, numri i artë, etj. Prandaj, le të fillojmë prezantimin me radhë.

Problemi i parketit dhe strukturat Penrose

Në matematikë, problemi i plotësimit të plotë të një plani me shumëkëndësha pa boshllëqe ose mbivendosje quhet parkete. Edhe grekët e lashtë e dinin se ky problem zgjidhej lehtësisht duke e mbuluar aeroplanin me trekëndësha, katrorë dhe gjashtëkëndësha të rregullt.

Në të njëjtën kohë, pesëkëndëshat e rregullt nuk mund të shërbejnë si elemente elementare të parketit, pasi ato nuk mund të vendosen fort me njëri-tjetrin në një aeroplan pa boshllëqe. E njëjta gjë mund të thuhet për shtatë-, tetë-, nëntë-, dhjetë-, etj. katrore. Gradualisht, u shpikën mënyra për të mbushur aeroplanin me poligone të rregullta të llojeve dhe madhësive të ndryshme. Për shembull, kjo është mënyra se si mund të mbushni një aeroplan duke kombinuar katërkëndëshat dhe tetëkëndëshat me madhësi të ndryshme:

Një zhvillim shumë më i ndërlikuar i këtij problemi ishte kushti që struktura e parketit, e përbërë nga disa lloje poligonesh dhe që mbulon plotësisht rrafshin, nuk do të ishte mjaft "e rregullt" ose "pothuajse" periodike. Për një kohë të gjatë besohej se ky problem nuk kishte zgjidhje. Sidoqoftë, në vitet 60 të shekullit të kaluar, përfundimisht u zgjidh, por kjo kërkonte një grup prej mijëra poligonesh të llojeve të ndryshme. Hap pas hapi, numri i specieve u zvogëlua dhe më në fund, në mesin e viteve 70, profesori i Universitetit të Oksfordit, Roger Penrose, e zgjidhi problemin duke përdorur vetëm dy lloje diamantesh. Më poshtë është paraqitur një variant i mbushjes së rrafshit kuaziperiodik (pra pothuajse periodik) me rombe me kënde akute 72 dhe 36°. Ata quhen gjithashtu diamante "të trashë" dhe "të hollë".

Për të marrë një model jo periodik kur rregulloni diamante, duhet t'i përmbaheni disa rregullave jo të parëndësishme për kombinimin e tyre. Doli se kjo strukturë në dukje e thjeshtë ka veti shumë interesante. Për shembull, nëse marrim raportin e numrit të rombeve të hollë me numrin e atyre të trashë, atëherë ai gjithmonë rezulton të jetë i barabartë me të ashtuquajturin "raport i artë" 1.618... Meqenëse ky numër nuk është "i saktë" , dhe siç thonë matematikanët, irracionale, struktura nuk rezulton të jetë periodike, por pothuajse periodike. Për më tepër, ky numër përcakton marrëdhënien midis segmenteve brenda dekagoneve që formojnë një yll me pesë cepa - një pentagram, i cili konsiderohet një figurë gjeometrike me përmasa ideale. Vini re se dhjetëkëndëshat e theksuar kanë të njëjtin orientim, i cili koordinon dhe përcakton renditjen e diamanteve që përbëjnë pllakat Penrose. Është e mahnitshme që ky ndërtim thjesht gjeometrik doli të ishte modeli matematikor më i përshtatshëm për të përshkruar kuazikristalet e zbuluara në 1984.

Çfarë janë kuazikristalet

Ne e përfshimë këtë pjesë në artikullin tonë për të treguar një histori tjetër interesante se si një ndërtim matematikor, i cili ishte fryt i imagjinatës së pastër të shkencëtarëve, gjeti papritur zbatim të rëndësishëm praktik.

Të gjitha substancat në natyrë mund të ndahen në dy lloje: amorfe, në të cilën nuk ka rregullsi në rregullimin e ndërsjellë të atomeve, dhe kristalore, të karakterizuara nga rregullimi i tyre rreptësisht i renditur. Nga ligjet e kristalografisë del se për kristalet janë të mundshme vetëm boshtet e simetrisë së rendit të parë, të dytë, të tretë, të katërt dhe të gjashtë, d.m.th. Për analogji me parketin, kristalet me simetri të rendit të pestë nuk mund të ekzistojnë në natyrë. Kjo rrethanë u vërtetua rreptësisht në bazë të teorisë matematikore të grupeve në hapësira shumëdimensionale. Por natyra, si gjithmonë, doli të ishte shumë më shpikëse dhe në vitin 1984 u botua puna e grupit të Shekhtman, i cili raportoi zbulimin e një aliazh alumini-mangani me simetri rrotulluese të rendit të pestë. Më pas, u sintetizuan shumë lidhje të ngjashme me veti të panjohura deri tani. Këto lidhje u quajtën kuazikristale dhe tani konsiderohen të jenë të ndërmjetme midis formave amorfe dhe kristalore të materies.

Ishte falë këtij zbulimi që ndërtimi gjeometrik i Penrose, i cili doli të ishte mjeti më i përshtatshëm për modelimin e strukturës së kuazikristaleve, fitoi popullaritet të madh dhe u zhvillua më tej. Dhe për këtë arsye përfshihet në kurset universitare. Aktualisht, tashmë është marrë një përgjithësim tre-dimensional i mozaikut Penrose, i përbërë nga rombohedronë të hollë dhe të trashë - figura gjashtëkëndore, secila faqe e të cilave është një romb.

Çfarë gjeometrie qëndron në themel të mozaikëve mesjetarë

Pasi analizuan rreth 3700 pllaka mozaiku, Lu dhe Steinhardt arritën në përfundimin se në fillim të shekullit të 13-të, teknologjia e dekorimit të mauzoleumeve, xhamive dhe ndërtesave të tjera me mozaikë periodikë të përbërë nga një grup prej pesë poligonesh, domethënë, një dhjetëkëndësh. një gjashtëkëndësh dhe një papijon ishin përhapur nëpër vendet myslimane (terminologjia e autorëve të artikullit), pesëkëndësh dhe romb. Kjo ishte në thelb një zgjidhje për problemin e parketit të përshkruar më sipër duke përdorur një grup prej pesë poligonesh "myslimanë". Modelet e përbëra nga poligone të tilla quhen "girikh" (nga persishtja - nyjë).

Ju lutemi vini re se faqet e të gjithë shumëkëndëshave kanë të njëjtat dimensione, gjë që u lejon atyre të bashkohen në çdo anë. Përveç kësaj, çdo pllakë shumëkëndëshi ka vija dekorative, por ato vizatohen sipas rregullave të rrepta gjeometrike: çdo dy linja modeli konvergojnë në mes të secilës anë në kënde 72 ose 108°, d.m.th. shumëfisha të 36°. Kjo siguron që modeli të mbetet i qëndrueshëm ndërsa lëvizni nga një pllakë në tjetrën.

Për të ndërtuar një mozaik të tillë mjaftonte të kishit në dispozicion një busull dhe një vizore. Nga rruga, para zbulimit të shkencëtarëve amerikanë, besohej se mjeshtrit mesjetarë, kur krijonin dekorimin e ndërtesave, përdornin vetëm mjetet më të thjeshta si një sundimtar dhe busull. Tani është bërë e qartë se kjo nuk është plotësisht e vërtetë.

Shekulli XV shënon periudhën më krijuese të lulëzimit të shkencës dhe kulturës në vendet e sunduara nga Timuridët. Pikërisht në këtë kohë ndodhi një kërcim cilësor në artin e zbukurimit. Kjo vërtetohet nga fakti se monumente të shumta të studiuara si mauzoleumi i Darb-e-Imam në Iran, varri i Haj Abdullah Ansarit në Herat dhe të tjera i përkasin epokës Timurid.

Kombinimi i mozaikut girih, i cili ishte bërë tradicional në këtë kohë, dhe figurave gjeometrike "shigjeta" dhe "qifti" (përsëri në terminologjinë e Lu dhe Steinhardt) bëri të mundur krijimin

modele jo periodike që të kujtojnë mozaikët Penrose. Nga kjo rezulton se ata mund të kenë përdorur mjete më të sofistikuara deri në këtë kohë, por është e qartë se ka pasur një hap konceptual në teknikat dekorative në shekullin e 15-të!

Në intervistat e mëvonshme pas publikimit të artikullit, Lu dhe Steinhardt vunë në dukje se nuk mund të thoshin se deri në çfarë mase vetë arkitektët mesjetarë i kuptuan detajet e zbulimit të tyre, por se ata e shohin atë si një analog të strukturave të Penrose. Dhe ata janë absolutisht të sigurt se ajo që zbuluan nuk mund të jetë thjesht një rastësi e rastësishme.

Digresion lirik

Ajo është bërë. Arrita të kuptoj ndërlikimet e modeleve gjeometrike që i japin bukuri unike krijimeve të paraardhësve tanë dhe shpresoj që deri diku të kënaq kureshtjen e bashkatdhetarëve tanë. Natyrisht, një lloj pakënaqësie mbetet, sepse edhe unë e kam admiruar bukurinë dhe elegancën e stolive të Samarkandit qindra herë. Pse nuk më erdhi kurrë në mendje ky mendim? Për të justifikuar veten, mund të them vetëm se kur struktura kuaziperiodike Penrose u përfshi në kurset universitare, unë tashmë po punoja për tezën time të doktoraturës në specialitetin tim të ngushtë. Dhe Peter Lu është vetëm 28 vjeç dhe tashmë ka kaluar nëpër strukturat Penrose në universitet. Sigurisht, njohja dhe njohja e shfaqjes së një modeli në një vend krejtësisht të papritur janë gjëra krejtësisht të ndryshme, por për ta bërë këtë, të paktën duhet të dini se ekziston një ligj i tillë.

Por kjo digresion nuk është për këtë. M'u deshën dy ditë, ose më saktë dy net pa gjumë, për të kuptuar thelbin e artikullit në revistën Science, por arsyet pse nuk e bëra këtë më herët kanë, më duket, një kuptim të thellë filozofik. Kur lexova në internet për artikullin e Lu dhe Steinhardt, menjëherë thirra kolegun tim, ekspert në fushën e gjeometrisë. Ai e kuptoi menjëherë se çfarë po ndodhte, por më mërziti duke më thënë se e kisha kapur para se të nisej për në aeroport. Pasi mësova se ai po kthehej nga një udhëtim pune jashtë vendit vetëm pas tre muajsh, i kërkova që të paktën të më rekomandonte ndonjë libër në të cilin mund të lexoja për strukturat e Penrose. Ai më tregoi librin dhe shtoi se kjo është një matematikë shumë komplekse dhe nuk ka gjasa që do të jetë e mundur të kuptosh shpejt gjithçka, aq më pak t'ua shpjegosh atë në mënyrë popullore njerëzve të zakonshëm. Kur shfletova librin e rekomanduar për mua, të mbushur me koncepte të tilla si hapësira shumëdimensionale të pandryshueshme, hapësira faktoriale e hapësirës së konjuguar irracionale, entuziazmi im u shua shpejt.

Pas raportimit të agjencisë së lajmeve Jahon, interesimi i komunitetit tonë shkencor dhe jo vetëm shkencor për këtë çështje filloi të rritet si ortek. Midis njerëzve të ditur të Akademisë së Shkencave dhe të Universitetit Kombëtar, natyrisht, kishte specialistë që kuptonin çështje komplekse të algjebrës së Gënjeshtrës, teorisë së grupeve, simetrive shumëdimensionale etj. Por të gjithë ishin unanim në mendimin e tyre se ishte e pamundur të shpjegoheshin këto gjëra në mënyrë popullore. Një ditë më parë një mendim i parëndësishëm më goditi papritmas: Prit. Por si e dolën këtë arkitektët mesjetarë, sepse nuk kishin aparatin më të fuqishëm të matematikës moderne? Këtë herë vendosa të përpiqem ta kuptoj këtë jo përmes aparatit kompleks matematikor të strukturës kuaziperiodike Penrose, që doli të ishte një pyll i errët për mua, por të ndiqja rrugën e arkitektëve mesjetarë. Së pari, shkarkova artikullin origjinal nga Lu dhe Steinhardt nga Interneti. Metoda e tyre më mahniti. Për të shpjeguar thelbin e zbulimit të tyre, edhe ata morën pikërisht këtë rrugë, d.m.th. duke përdorur aparatin konceptual të arkitektëve mesjetarë dhe duke vepruar me gjëra të thjeshta si mozaiku “girikh”, pllakat “shigjeta”, “qifti” etj.

Pika filozofike e gjithë kësaj është se për të kuptuar ligjet e natyrës (dhe ndoshta të shoqërisë) nuk është e nevojshme që të gjithë të ndjekin të njëjtën rrugë. Mendimi njerëzor është gjithashtu shumëdimensional. Ka një qasje lindore dhe ka një qasje perëndimore. Dhe secila prej tyre ka të drejtë të ekzistojë, dhe në një rast të veçantë mund të rezultojë papritur më efektive se e kundërta. Kjo është ajo që ndodhi në këtë rast: atë që shkenca perëndimore arriti të zbulonte në bazë të një përgjithësimi të madh të përvojës me gjemba, shkenca lindore e bëri në bazë të intuitës dhe ndjenjës së bukurisë. Dhe rezultatet janë të dukshme: në zbatimin praktik të ligjeve të gjeometrisë në praktikë, mendimtarët lindorë ishin pesë shekuj përpara atyre perëndimorë!

Shukhrat Egamberdiev.
Instituti Astronomik i Akademisë së Shkencave të Republikës së Uzbekistanit.

Teksti i plotë i artikullit me ilustrime me ngjyra mund të gjendet në numrin tjetër (artikulli është shkruar në 2008. BE) të revistës "Fan va turmush" - "Shkenca dhe jeta e Uzbekistanit".

Pjesëmarrësit e projektit

Nikiforov Kirill, nxënës i klasës së 8-të

Rudneva Oksana, nxënëse e klasës së 8-të

Poturaeva Ksenia, nxënëse e klasës së 8-të

Tema e hulumtimit

Mozaik penrose

Pyetje problematike

Çfarë është një mozaik Penrose?

Hipoteza e hulumtimit

Ekziston një tesel jo periodik i avionit

Objektivat e studimit

Njihuni me mozaikun Penrose dhe zbuloni pse quhet mozaiku "i artë"

Rezultatet

Mozaik penrose

Pllaka me pllaka po mbulon të gjithë rrafshin me forma që nuk mbivendosen. Në matematikë, problemi i mbushjes së plotë të një rrafshi me shumëkëndësha pa boshllëqe ose mbivendosje quhet parket ose mozaikë. Ndoshta, interesi për shtrimin fillimisht u ngrit në lidhje me ndërtimin e mozaikëve, stolive dhe modeleve të tjera. Edhe grekët e lashtë e dinin se ky problem zgjidhej lehtësisht duke e mbuluar aeroplanin me trekëndësha, katrorë dhe gjashtëkëndësha të rregullt.

Kjo tjegull e aeroplanit quhet periodike. Më vonë mësuam se si të kryejmë tjegulla duke përdorur një kombinim të disa poligoneve të rregullt.

Një detyrë më e vështirë ishte krijimi i parketit periodik jo mjaft "korrekt" ose "pothuajse". Për një kohë të gjatë besohej se ky problem nuk kishte zgjidhje. Sidoqoftë, në vitet 60 të shekullit të kaluar, përfundimisht u zgjidh, por kjo kërkonte një grup prej mijëra poligonesh të llojeve të ndryshme. Hap pas hapi, numri i specieve u zvogëlua dhe më në fund, në mesin e viteve 1970, profesori i Universitetit të Oksfordit Roger Penrose, një shkencëtar i shquar i kohës sonë, duke punuar në mënyrë aktive në fusha të ndryshme të matematikës dhe fizikës, zgjidhi problemin duke përdorur vetëm dy lloje. të rombeve.

Roger Penrose

Ne hetuam një metodë për ndërtimin e një mozaiku të tillë, i cili tani quhet mozaiku Penrose. Për ta bërë këtë, vizatoni diagonale në një pesëkëndësh të rregullt (pentagon). Marrim një pesëkëndësh të ri dhe dy lloje trekëndëshash izosceles, të cilët quhen "të artë". Raporti i kofshës me bazën në trekëndësha të tillë është i barabartë me proporcionin "e artë". Këndet në trekëndëshat janë 36°, 72° dhe 72° në njërin dhe 108°, 36° dhe 36° në tjetrin. Le të lidhim dy trekëndësha identikë dhe të marrim rombe "të artë". Shkencëtari i përdori ato në ndërtimin e parketit, dhe vetë parketi u quajt "i artë".

Mozaik penrose

Mozaiku Penrose ka këto karakteristika:

1. raporti i numrit të rombeve të hollë me numrin e atyre të trashë është gjithmonë i barabartë me numrin e ashtuquajtur "të artë" 1.618...