Вирішення крайової задачі формування траєкторії руху літака при виконанні просторового маневру. Математична модель просторового руху маневреного літака Рівняння просторового маневру літака

Розмір: px

Починати показ зі сторінки:

Транскрипт

1 Електронний журнал «Праці МАІ». Випуск 78 УДК 57.95: Вирішення крайового завдання формування траєкторії руху літака при виконанні просторового маневру Танг Тхань Лам Московський фізико-технічний інститут (державний університет) вул. Гагаріна Жуковський 484 Росія e-mal: Анотація Розглядається завдання планування траєкторії руху літака при виконанні просторового маневру. Для отримання траєкторії з дотриманням заданих граничних умов використовуються два підходи, що ґрунтуються на концепціях зворотної задачі динаміки та поданні траєкторії у параметризованому вигляді. У першому випадку розглядається найпростіша параметризація, що забезпечує лише виконання граничних умов. У другому випадку параметризація передбачає додаткову оптимізацію будь-якого критерію якості, що відповідає деякій реалізації прямого варіаційного методу. На конкретних прикладах проводиться порівняння цих двох підходів. Ключові слова: просторовий маневр літака планування траєкторії крайове завдання зворотна динаміка прямий варіаційний метод. Одним з основних завдань динаміки польоту є визначення траєкторії та управлінь, що забезпечують переведення літака із заданої початкової точки в

2 задану кінцеву точку у просторі. Якщо додатково задається критерій якості управління, то завдання може вирішуватися методами теорії оптимального управління. Але в будь-якому випадку формування траєкторії польоту це крайова задача. На цей час розроблено багато методів вирішення завдань такого типу. Серед них добре відомі методи пристрілювання кінцевих різниць кінцевих елементів метод Галеркіна-Рітца методи зведення до інтегральних рівнянь Фредгольма та ін До перспективних напрямів запропонованих останнім часом слід віднести методи рішення на основі параметризації траєкторії і застосування концепції зворотних завдань динаміки. Параметризація траєкторії дозволяє звести завдання пошуку необхідних значень кінцевого числа параметрів а концепція інверсної динаміки дозволяє легко визначити управління необхідні для здійснення руху по необхідної траєкторії. Якщо додатково необхідна оптимізація якості управління за будь-яким критерієм, то такий підхід відповідає одній з можливих реалізацій прямого варіаційного методу. Основна перевага даного напряму – порівняльна простота та економічність розрахункових алгоритмів. У перспективі це дозволить генерувати траєкторії в темпі реального часу, що привабливо для бортового застосування. У цій статті розглянуто два характерні способи формування траєкторії, засновані на завданні її в параметризованому вигляді. У першому способі узгодження граничних умов здійснюється за рахунок відповідного вибору коефіцієнтів [ 3 4 5] а у другому способі - за рахунок спеціального вибору

3 базисних функцій. Вільні коефіцієнти параметризованих залежностей у другому способі визначаються виходячи з умови оптимальності заданого критерію якості та обмежень на управління, що робить цей спосіб істотно більш гнучким. Однак розрахунок траєкторії потребує досить більшого обсягу обчислень. На конкретних прикладах у статті показується, що перший спосіб незважаючи на його привабливу простоту навряд чи може бути використаний для автономного генерування траєкторії літака. cos Ψ gn a sn γ/ V cos V cos cos V sn V cos sn /V () n a cosα X mg a n a snα Y mg a () Тут координати центру мас літака в нормальній земній системі координат V швидкість польоту кут нахилу траєкторії кут курсу кут атаки кут крену тяга двигуна X a аеродинамічний опір Y a аеродинамічна підйомна сила m маса літака g прискорення вільного падіння na - поздовжнє навантаження na - поперечна 3

4 навантаження. Аеродинамічні сили X a та Y a залежать від швидкості V та від щільності атмосфери на висоті польоту X a c V Y c V a де c c () та c c () - аеродинамічні коефіцієнти лобового опору та підйомної сили величини яких залежать від кута атаки (кут між поздовжньою віссю літака та векторної швидкості польоту). Для траєкторного руху описуваного моделлю () керуючими змінними є тяга двигуна () кут атаки () і кут крену (). Однак у завданнях формування траєкторії замість і як змінні можна розглядати навантаження n a і n a. Привабливість такого підходу обумовлена ​​тим, що величини n a n a і безпосередньо визначаються залежностями () () і () без будь-яких додаткових параметрів і змінних. Для застосування методології зворотного завдання потрібно, щоб керуючі сили могли бути однозначно визначені за заданою траєкторією. Система () це припускає у чому неважко переконатися. Нехай залежності координат літака від часу () () та () задані. Безпосередньо із () випливає: sn V cos sn cos (3) V. V За допомогою диференціювання даних співвідношень знаходимо V V cos Ψ Ψ V. (4) V V cos 4

5 Безпосередньо з () неважко також отримати вирази для визначення перевантажень і кута нахилу cos g g cos / V n a V sn g n a V g cos g cos. (5) З іншого боку диференціюючи три останніх рівняння системи () отримуємо з урахуванням перших трьох рівнянь цієї системи наступні співвідношення: cos cos n a a g ) Цей результат дозволяє записати: n n a ag sn cos sn g cos cos sn arcg g g cos sn cos cos sn g cos cos sn. sn (7) Формули (7) разом із формулами (3) визначать змінні управління na na і γ у вигляді функцій координат () () () та їх перших та других похідних за часом. Тягу двигуна та кут атаки можна визначити за співвідношенням (). Таким чином, система () може бути використана для вирішення зворотних завдань динаміки. Необхідно відзначити, що до теперішнього часу вже існує ряд методів формування траєкторії на основі залучення концепції зворотного завдання динаміки. У цій статті розглянуто два найбільш характерні підходи просте планування траєкторії та формування траєкторії на принципі оптимальності. 5

6 . Просте планування траєкторії Передбачається, що заданий початковий стан = T і кінцевий стан = T літака, а також початковий і кінцевий час маневру. Ще можуть бути задані початковий і кінцевий вектори управління u = T u = T. Потрібно побудувати траєкторію польоту та управління, що задовольняють усім цим крайовим умовам. Під час розгляду траєкторії () () () фізичний час замінимо на відносний час τ відповідно до формули перетворення. (8) Тут Δ = - отже τ = при = та τ = при =. В результаті повинні вийти залежності ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ). Процедура планування траєкторії передбачає завдання функцій (τ) (τ) (τ) як параметризованих залежностей з допомогою базисних функцій. Наприклад як (τ) (τ) (τ) можуть бути взяті багаточлени виду h w (9) де h w постійні коефіцієнти а... базисні функції, що володіють властивістю лінійної незалежності. Для спрощення обчислень структура базисних функцій приймається достатньо

7 7 простий потрібно лише щоб функції (τ) (τ) (τ) були безперервними і як мінімум двічі диференційовані. Зокрема зручні для використання статечні залежності виду Можуть застосовуватися варіанти з тригонометричними функціями а також комбінації статечних і гармонійних функцій як наприклад. cos sn Диференціюючи залежності (9) по отримаємо похідні w h. w h Багаточлени (τ) (τ) (τ) та їх похідні повинні задовольняти заданим граничним умовам: На підставі цих співвідношень складемо три системи рівнянь:

8 8 w w w w w w h h h h h h () В () величини Δ na na γ na na γ s s s s s s s = =.. відомі. Значення величин визначаються за рівняннями (), а значення за співвідношенням (). Система () є 3=8 рівнянь щодо 3=8 невідомих коефіцієнтів (...) (h h...h) і (w w...w). Завдання обчислення коефіцієнтів із системи () полегшується тим, що ця система розділена на 3 незалежні підсистеми. Отримати рішення нескладно. Наприклад, для першої підсистеми з використанням векторно-матричних позначень T T B

9 A можна записати A = B і таким чином шукана формула обчислення коефіцієнтів набуде вигляду =A - B. Т.к. Використовувані базисні функції мають властивість лінійної незалежності, то матриця A не вироджена отже зворотна матриця A - існує і рішення для єдино. Аналогічним чином визначаються рішення системи () інших коефіцієнтів (h h...h) і (w w...w). 3. Планування траєкторії прямим варіаційним методом. У формулах (9) попереднього розділу виконання крайових умов забезпечувалося спеціальним вибором коефіцієнтів при заданих довільно базисних функціях. Однак крайова задача може бути вирішена й іншим способом шляхом спеціального вибору базисних функцій при заданих довільно коефіцієнтах. У цьому випадку наявність свободи у виборі коефіцієнтів дозволяє поєднати процедуру планування траєкторії з оптимізацією будь-якого критерію якості, а також врахувати обмеження на фазові та керуючі змінні. Очевидно, такий підхід для завдань динаміки польоту вперше був запропонований Тараненком в контексті оптимізації управління прямим 9

10 варіаційним методом. Метод Тараненка передбачає заміну аргументу фізичного часу на деякий узагальнений аргумент τ відповідно до рівняння, де λ невідома функція. Траєкторія визначається співвідношеннями d d (τ) = (τ) (τ) = (τ) (τ) = 3(τ) V(τ) = 4(τ). Тут функції (τ) = 4 мають бути безперервними однозначними та диференційованими на всьому інтервалі значень аргументу τ. Функції (τ) шукаються як комбінації відомих апріорно заданих базисних функцій: де j j j = 4 j = n базисні функції j невідомі n j коефіцієнти. Функції та j вибираються так щоб задовольняти неоднорідним та однорідним крайовим умовам відповідно: Наприклад, за рекомендаціями j. j

11 j j sn j або j j. Неважко бачити, що цей вибір базисних функцій гарантує для (τ) задоволення крайових умов за будь-яких значень параметрів j. З іншого боку функції (τ) залежать від коефіцієнтів j а отже вибором цих коефіцієнтів можна впливати на траєкторію забезпечуючи оптимізацію заданого критерію якості та виконання обмежень на управління не дбаючи про крайові умови. Перетворюємо систему () на новий аргумент τ: V g na sn / g a Ψ gna snγ / V cos V coscos / V sn / V cossn / / n cosγ cos/ V () Діючи так само як описано в розділі з рівнянь () неважко одержати такі кінематичні співвідношення: V sn V g V cos V 3/ 3/ cos. Для керуючих змінних виходять формули:

12 cos arcg cos/V n a V sn g n a V g cos. g cos Наведені формули показують, що всі змінні управління та стани виражаються через (τ) (τ) (τ) V(τ) та їх похідні, але на відміну від формул розділу тут додатково присутня масштабуюча функція. Вибір вільних коефіцієнтів j підпорядкуємо оптимізації функціоналу J p який залежить від мети завдання (тут p - вектор коефіцієнтів j). Таким чином формування оптимальної траєкторії яка задовольняє заданим граничним умовам зводиться до завдання нелінійного програмування: mn J (p) або pc ma J (p) () pc де З область допустимих значень параметрів p забезпечує виконання необхідних обмежень на управління та змінні стани. Рекомендації щодо способів вирішення цього завдання наводяться у . 4. Приклади розрахунків Розглянуті вище варіанти планування траєкторії були перевірені чисельними розрахунками ряду типових маневрів. Результати обчислень для двох прикладів представлені графіками на рисунках 4. Графіки простого планування траєкторії (варіант) відображені штриховими лініями а графіки планування траєкторії прямим варіаційним методом (варіант) з оптимізацією за критерієм швидкодії відображені суцільними лініями. В обох випадках крайові умови однакові.

13 Приклад (розворот на 8 із набором висоти) Граничні умови: - початок маневру = V = 35 м/с Θ = рад Ψ = рад = м = 5 м = м na = na = γ = рад. - закінчення маневру = 4.5 з V = 35 м/с Θ = рад Ψ = π рад = м = 8 м = -7 м na = na = γ = рад. У розрахунках варіанта враховуються обмеження на управління та змінні стани: 35 м/с V 8 м/с Θ -9 Ψ 7 -. nа. -. nа γ. 3

14 Рис.. Траєкторії руху літака (Приклад). 4

15 Рис.. Поведінка змінних керування та стану (Приклад). У цьому прикладі розворот відбувається із досить великим радіусом. Кривизна траєкторії невелика тому зміни змінних керування та стану повільні та плавні. Графіки показують, що результати двох варіантів мають відмінності, але вони не надто великі. Можна зробити висновок, що обидва варіанти дають прийнятні для практики рішення. Приклад (розворот на 8 із поверненням на вихідну висоту) Граничні умови: - Початок маневру = 5

16 V = 35 м/с Θ = рад Ψ = рад = м = 5 м = м na = na = γ = рад. - закінчення маневру =.5 з V = 35 м/с Θ = рад Ψ = π рад = м = 5 м = -8 м na = na = γ = рад. У розрахунках варіанта враховуються обмеження на змінні управління та стани: 35 м/с V 8 м/с Θ -9 Ψ 7 -. nа. -. nа γ. Мал. 3. Траєкторії руху літака (Приклад).

17 Мал. 4. Поведінка змінних управління та стану (Приклад). У цьому варіанті варіант дає траєкторію розвороту з дуже малим радіусом. Кривизна траєкторії велика тому зміни змінних керування та стану відбувалися швидше та різкіше ніж у першому прикладі. Результати варіантів відрізняються дуже сильно. Аналіз поведінки залежностей V() і nа() для варіанта (рис.4) показує що навантаження nа зберігається лише на рівні ~ за умов дуже малих швидкостей V що з нормального літака нереально. Мінімум швидкості досягає величини ~7 м/с (на -й секунді) що значно менше швидкості звалювання і неприпустимо за умовами безпеки польоту. На околиці цієї точки графік залежності Ψ() (рис.4) 7

18 демонструє різке збільшення кута розвороту. Але це природно т.к. відповідно до кінематики руху (див. 3-е рівняння ()) ситуація V в умовах n призводить до отримання. a Таким чином, у даному прикладі варіант дав неприйнятну для використання траєкторію. Результат цілком прогнозований т.к. цей варіант не враховує обмеження важливі для практичної реалізації траєкторії, що генерується. У той же час формальна перевірка отриманого рішення варіанта на узгодженість між змінними управління та змінними станами жодної інформації про неприйнятність рішення не дає. На рис. (5) показано графіки поведінки змінних стану для апроксимуючого рішення (9) та для результатів чисельного інтегрування вихідної системи рівнянь руху () (метод Рунге-Кутта 4-го порядку) з використанням обчислених за формулами (7) управлінь для згенерованої траєкторії. Графіки обох типів збігаються що свідчить про узгодженість апроксимуючого рішення з динамікою аналізованої системи. Вже цей приклад демонструє недостатність простого планування траєкторії польоту літака без урахування обмежень пов'язаних з реалізацією цієї траєкторії. Розглянутий метод планування траєкторії з оптимізацією (варіант) у даному прикладі згенерував цілком реалізовану траєкторію, оскільки цей метод враховує необхідні обмеження. Однак обсяги обчислень цим методом виявляються дуже великими. отримання 8

19 рішення потребує використання ітераційних процедур нелінійного програмування. Мал. 5. Перевірка на узгодженість (маркери o розв'язання задачі планування траєкторії суцільні лінії результат інтегрування). Висновок У статті розглянуто та на чисельних прикладах проаналізовано два методи планування траєкторії просторового маневру літака, що базуються на параметризації траєкторії та використанні концепції зворотного завдання динаміки. З наведених розрахункових прикладів випливає що найпростіший метод 9

20 планування який не враховує обмеження на фазові змінні та управління може призводити до отримання нереальних результатів. І незважаючи на привабливість через свою простоту цей метод навряд чи прийнятний для бортового застосування (йдеться про літальні апарати звичайної літакової схеми). Для більш надійного вирішення завдання генерування траєкторії маневру можна використовувати складніші методи що дозволяють врахувати хоча б основні найважливіші обмеження. Розглянутий у статті метод прямого вирішення варіаційного завдання запропонований Тараненком у принципі дозволяє врахувати такі обмеження та заодно виконати оптимізацію маневру за якимсь заданим критерієм. Основним недоліком цього є великий обсяг обчислень що викликано необхідністю виконання нелінійної умовної оптимізації із залученням ітераційних процедур. Слід зазначити, що навіть дуже складний метод генерування траєкторії не застрахований від отримання нереалізованих рішень, тому результати, що отримуються, повинні бути проаналізовані і перевірені. Для умов бортового застосування це непросте завдання. Бібліографічний список. Тараненко В.Т. Момджі В.Г. Прямий варіаційний метод у крайових задачах динаміки польоту. - М: Машинобудування с.. Нелінійна динаміка і управління: Збірник статей / За ред. С.В. Ємельянова С.К. Коровіна. - М: ФІЗМАТЛІТ. – 4 с.

21 3. Велищанський М.А. Синтез квазіоптимальної траєкторії руху безпілотного літального апарату // Електронний журнал "Наука та освіта" 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/447.hml (дата публікації.3). 4. Канатніков О.М. Побудова траєкторій літальних апаратів із немонотонною зміною енергії // Електронний журнал «Наука та освіта» 3 4: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/554.hml (дата публікації 4.3). 5. Канатніков О.М. Крищенко О.П. Ткачов С.Б. Допустимі просторові траєкторії безпілотного літального апарату у вертикальній площині // Електронний журнал «Наука та освіта» 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/3774.hml (дата публікації 3.).

Електронний журнал «Праці МАІ». Випуск 46 www.mi.ru/science/rud/ УДК 69.7.87 Розв'язання задачі оптимізації управління просторовим рухом легкого літака на основі принципу мінімуму Понтрягіна В.М.Баранов,

Управління висотою польоту гелікоптера Розглянемо задачу синтезу системи управління рухом центру мас гелікоптера за висотою. Вертоліт як об'єкт автоматичного управління є системою з декількома

УДК 69.78 УПРАВЛІННЯ ПОВЕРНУЮЧИМ КОСМІЧНИМ АПАРАТОМ З РЕГУЛЮВАНИМ ЦЕНТРОМ МАС В.А. Афанасьєв, В.І. Кисельов Вирішується завдання управління поздовжнім кутовим рухом космічних апаратів, що повертаються.

Лекція Диференціальні рівняння -го порядку Основні види диференціальних рівнянь -го порядку та їх вирішення Диференціальні рівняння є одним із найуживаніших засобів математичного

Тема 4. Рівняння руху літака 1. Основні положення. Системи координат 1.1 Положення літака Під положенням літака розуміється положення його центру мас О. Положення центру мас літака прийнято

При проектуванні систем стабілізації та управління літальних апаратів важливим етапом є виявлення динамічних властивостей літального апарату ЛА як об'єкта управління.

МІНІМІЗАЦІЯ КОНВЕКТИВНОГО ТА РАДІАЦІЙНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКУ ПРИ ВХОДІ АПАРАТУ В АТМОСФЕРУ В.В. Дікусар, Н.М. Оленів Обчислювальний центр ім. А.А. Дородніцина РАН, Москва Принцип максимуму в задачі оптимального

337 УДК 697:004:330 ОБГРУНТУВАННЯ ПІДХОДІВ ДО РОЗДІЛЬНОЇ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ЕФЕКТИВНОЇ ТЯГИ ДВИГУНІВ І СИЛИ АЕРОДИНАМІЧНОГО ОПОРУ ДО ДАННИХ ЛІТ

Метод Ритца Виділяють два основні типи методів розв'язання варіаційних завдань. До першого типу належать методи, що зводять вихідне завдання до розв'язання диференціальних рівнянь. Ці методи дуже добре розвинені

Міністерство освіти Російської Федерації Державна освітня установа вищої професійної освіти «САМАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНІКА» ДИНАМІКА

Лекція 4. Вирішення систем лінійних рівнянь методом простих ітерацій. Якщо система має велику розмірність (6 рівнянь) або матриця системи розріджена, більш ефективні для вирішення непрямі ітераційні

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.. Основні поняття Диференціальним рівнянням називається рівняння, до якого невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала.

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Загальні поняття Диференціальні рівняння мають численні та найрізноманітніші додатки у механіці фізики астрономії техніці та інших розділах вищої математики (наприклад

Лекція продовження лекції МЕТОДИ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЗГЛАШУВАННЯ А ТОЧКОВИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ Нехай на безлічі точкою ЗАСТОСУВАННЯ УЗАГАЛЬНИХ МНОГОЧЛЕНІВ задана сітка а на сітці задана сіточна

Теорія поверхонь у диференціальній геометрії Елементарна поверхня Визначення Область на площині називається елементарною областю, якщо вона є чином відкритого кола при гомеоморфізмі,

РОЗДІЛ 4 Системи звичайних диференціальних рівнянь ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ Основні визначення Для опису деяких процесів і явищ нерідко потрібно кілька функцій.

УДК 629.78 ШВИДКИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ ОПОРНОЇ ТРАЄКТОРІЇ СПУСКАЮЧОГО ЛІТАЛЬНОГО АПАРАТУ В.І. Кисельов Запропоновано новий метод розрахунку опорної траєкторії штучного супутника Землі, що спускається з орбіти, літального

6 Методи наближення функцій. Найкраще наближення. Розглянуті в попередньому розділі методи наближення вимагають суворої належності вузлів сіткової функції результуючого інтерполянту. Якщо не вимагати

Глава 4 Системи лінійних рівнянь Лекція 7 Загальні властивості Визначення Нормальної системою (НС) лінійних диференціальних рівнянь називається система виду x A () x + F () () де A () квадратна матриця

Модифікація методу Годунова вирішення крайових завдань теорії оболонок 77-48/597785 # 7, липень Бєляєв А. В., Виноградов Ю. І. УДК 59.7 Введення Росія, МДТУ ім. н.е. Баумана [email protected] [email protected]

Дослідження операцій Визначення Операція - захід, спрямований на досягнення певної мети, що допускає кілька можливостей та їх управління Визначення Дослідження операцій сукупність математичних

УДК 62.5 - загальний 1 ІДЕНТИФІКАЦІЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ НЕЛІНІЙНИХ СКЛАДНИХ ОБ'ЄКТІВ Масляєв С. І. ГОУВПО «Мордівський державний університет ім. Н. П. Огарьова», м. Саранськ Анотація. Досліджується завдання

336 УДК.

Лекція 9. Метод паралельної стрільби розв'язання крайового завдання системи звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ). Деякі відомості з обчислювальної математики Аналіз прикладного програмного забезпечення

Лекція 9 Лінеаризація диффе6ренціальних рівнянь Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні рівняння властивості їх розв'язків Властивості розв'язків неоднорідних рівнянь Визначення 9 Лінійним

УДК 6- АДАПТИВНА НЕПРЕРИВНА ЗАВДАННЯ ПЕРЕСЛІДУ АЮ Золодуєв Санкт-Петербурзький державний університет Росія 98 Санкт-Петербург Ст Петергоф Ботанічна вул 8 E-il: sshzluev@ilru БМ Соколів Санкт-Петербурзький

531.132.1 Розробка математичної моделі руху засобів повітряного нападу, принципів побудови моделі та її програмної реалізації А.Д. Парфьонов 1, П.А. Бабичів 1, Ю.В. Фадєєв 1 1 Московський

НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ЧИСЛІВІ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ТА ІНТЕГРУВАННЯ У цьому розділі розглянуто завдання наближення функцій за допомогою багаточленів Лагранжа та Ньютона з використанням сплайн інтерполяції

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ З ПОСТОЯННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Приведення до одного рівняння -го порядку З практичної точки зору дуже важливі лінійні системи з постійними коефіцієнтами

РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. полягає у знаходженні значень

Деякі завдання класичної механіки, механіки суцільних середовищ, акустики, оптики, гідродинаміки, перенесення випромінювання зводяться до рівнянь у приватних похідних

Диференціальні рівняння першого ладу. Опр. Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, що пов'язує незалежну змінну, шукану функцію та її першу похідну. В самому

ДЕРЖАВНИЙ КОМІТЕТ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ З ВИЩОЇ ОСВІТИ НИЖЬІМІСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім.р.е. з дисципліни

Електронний журнал «Праці МАІ». Випуск 75 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 629.78 Метод розрахунку наближено-оптимальних траєкторій руху космічного апарату на активних ділянках виведення на супутникові

Оптимізація динаміки літального апарату за різними критеріями 1 УДК 517.977.5 А. А. ОЛЕКСАНДРІВ ОПТИМІЗАЦІЯ ДИНАМІКИ ЛІТАЛЬНОГО АПАРАТУ ЗА РІЗНИМИ КРИТЕРІЯМИ Розглядається вирішення задачі оптимального

ВСТУП На сьогоднішній день звичайно-елементні (КЕ) методи є невід'ємною частиною інженерного аналізу та розробок. КЕ пакети використовуються практично у всіх сферах науки, що стосуються аналізу будівельних

Лекція 5 5 Теорема існування та єдиності розв'язання задачі Коші для нормальної системи ОДУ Постановка задачі Завдання Коші для нормальної системи ОДУ x = f (, x), () полягає у відшуканні розв'язання x =

ЕЛЕМЕНТИ ВАРІАЦІЙНОГО ЗЛІЧЕННЯ Основні поняття Нехай M - кілька функцій Функціоналом J = J (y називається змінна величина залежить від функції y (якщо кожної функції y(M по деякому)

Різнисна апроксимація початково-крайової задачі для рівняння коливань. Явна (схема «хрест») та неявна різницеві схеми. Розглянемо кілька варіантів різницевої апроксимації лінійного рівняння коливань:

Зміст Вступ. Основні поняття.... 4 1. Інтегральні рівняння Вольтерри... 5 Варіанти домашніх завдань.... 8 2. Резольвента інтегрального рівняння Вольтерри. 10 Варіанти домашніх завдань.... 11

Міністерство освіти Російської Федерації Російський державний університет нафти та газу імені ІМ Губкіна ВІ Іванов Методичні вказівки до вивчення теми «ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ» (для студентів

Диференціальні рівняння вищого ладу. Конєв В.В. Малюнки лекцій. 1. Основні поняття 1 2. Рівняння, що допускають зниження порядку 2 3. Лінійні диференціальні рівняння вищого порядку

Чисельні методи вирішення звичайних диференціальних рівнянь Диференційне рівняння: F(()) - звичайне (залежність тільки від) Загальний інтеграл - залежність між незалежною змінною залежною

8. Огляд чисельних методів розв'язання диференціальних рівнянь руху Постановка задачі Рішення рівнянь руху є класичним завданням механіки. Загалом це система диференціальних рівнянь

5 Ступінні ряди 5 Ступінні ряди: визначення, область збіжності Функціональний ряд виду (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) де, a, a, K, a,k деякі числа, називають статечним рядом Числа

ISSN 0321-1975. Механіка твердого тіла. 2002. Вип. 32 УДК 629.78, 62-50 з 2002. М.А. Велищанський, А.П. Крищенко, С.Б. Ткачов КВАЗІОПТИМАЛЬНА ПЕРЕОРІЄНТАЦІЯ КОСМІЧНОГО АПАРАТУ Для задачі просторової

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ ФДБОУ ВПО ТУЛЬСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра теоретичної механіки КУРСОВА РОБОТА ПО РОЗДІЛУ "ДИНАМІКА"

Лабораторна робота Кодування мовних сигналів на основі лінійного передбачення Основний принцип методу лінійного передбачення полягає в тому, що поточний відлік мовного сигналу можна апроксимувати

Системи диференціальних рівнянь Введення Так само як і звичайні диференціальні рівняння системи диференціальних рівнянь застосовуються для опису багатьох процесів реальної дійсності

Функції Диференціювання функцій 1 Правила диференціювання Оскільки похідна функції визначається, як й у цій галузі, тобто. у вигляді межі, то, використовуючи це визначення та властивості меж,

9. Первісна та невизначений інтеграл 9.. Нехай на проміжку I R задана функція f(). Функцію F() називають первісної функції f() на проміжку I, якщо F() = f() для будь-якого I, та первісної

1377 УДК 51797756 ДЕЯКІ ОЦІНКИ БЛИЗКОСТІ КВАЗІОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ ДО ОПТИМАЛЬНОГО ДЛЯ ЛІНІЙНОЇ ЗАВДАННЯ ШВИДКОДІЇ З ЗАПОЗДАННЯМ АА Коробов Інститут

УДК 68.5 ПОБУДУВАННЯ ЕКВІВАЛЕНТНИХ РЕЛЕЙНИХ УПРАВЛІНЬ ДЛЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ О.О. БАЙЗДРЕНКО О.О. Шушляпін Робота присвячена задачі визначення моментів перемикання обмежених релейних управлінь для

Тема 4. Чисельне рішення нелінійних рівнянь -1- Тема 4. Чисельне рішення нелінійних рівнянь 4.0. Постановка задачі Завдання знаходження коріння нелінійного рівняння виду y=f() часто зустрічається в наукових

Лабораторна робота 6. Апроксимація функцій Апроксимацією (наближенням) функції f (x) називається знаходження такої функції g (x) (опроксимуючої функції), яка була б близька заданій. Критерії

Управління просторовим рухом схвата робота маніпулятора # 07, липень 015 Бєлов І. Р. 1, Ткачов С. Б. 1, * УДК: 519.71 1 Росія, МДТУ ім. н.е. Баумана Вступ Методи вирішення задачі управління рухом

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ И СИЛЫ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ВИРТУАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович

УДК 629.76 БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНА ОПТИМІЗАЦІЯ ТРАЄКТОРІЇ СПУСКУ БАГАТОРАЗОВОЇ ОДНОСТУПЕНЧАТОЇ РАКЕТИ В.І. Кисельов Запропоновано один із можливих способів вирішення задачі побудови одноступеневої ракети, алгоритм

Заняття 3.1. АЕРОДИНАМІЧНІ СИЛИ І МОМЕНТИ У цьому розділі розглянуто результуючий силовий вплив атмосферного середовища на літальний апарат, що рухається в ній. Введені поняття аеродинамічної сили,

Лекції -6 Розділ Звичайні диференціальні рівняння Основні поняття Різні завдання техніки природознавства економіки призводять до вирішення рівнянь, в яких невідомою є функція однієї або

1 Багаточлен Лагранжа Нехай з експерименту отримано значення невідомої функції (x i = 01 x [ a b] i i i Виникає завдання наближеного відновлення невідомої функції (x у довільній точці x

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Статистична радіофізика та теорія інформації Лекція 8 12. Лінійні системи. Спектральний та тимчасовий підходи. Лінійними називаються системи або пристрої, процеси в яких можна описати за допомогою

Лекція 8 Диференціювання складної функції Розглянемо складну функцію t t t f де t t t t t t t t t t t t t t t t Теорема Нехай функції диференційовані в деякій точці N t t t а функція f диф

Мітюков В.В. Ульянівське вище авіаційне училище цивільної авіації інститут, програміст ОВТІ, [email protected]Універсальне моделювання дискретно заданих множин безперервними залежностями.

Під чисельним інтегруванням розуміють набір чисельних методів знаходження значення певного інтеграла. При вирішенні інженерно-технічних завдань часом буває необхідно обчислити середнє значення

Лекція 8 Системи диференціальних рівнянь Загальні поняття Системою звичайних диференціальних рівнянь -порядку називається сукупність рівнянь F y y y (F y y y (F y y y (Приватним випадком)

Маневреністюлітака називається його здатність змінювати вектор швидкості польоту за величиною та напрямком.

Маневрені властивостіреалізуються льотчиком при бойовому маневруванні, що складається з окремих закінчених чи незакінчених постатей пілотажу, безперервно наступних один за одним.

Маневреність одна із найважливіших якостей бойового літака будь-якого роду авіації. Вона дозволяє успішно вести повітряний бій, долати ППО противника, атакувати наземні цілі, будувати, перебудовувати та розпускати бойовий порядок (буд) літаків, виводити на об'єкт у заданий час тощо.

Особливе і, можна сказати, вирішальне значення має маневреність для фронтового винищувача, який веде повітряний бій з істербителем (винищувачем-бомбардувальником) супротивника. Справді, зайнявши вигідне тактичне становище проти супротивника, можна його збити однією-двома ракетами чи вогнем навіть із єдиної гармати. Навпаки, якщо вигідне становище займе противник (наприклад, «повисне на хвості»), то в такій ситуації не допоможе будь-яка кількість ракет і гармат. Висока маневреність дозволяє також виробляти успішний вихід із повітряного бою та відрив від супротивника.

ПОКАЗНИКИ МАНЕВРІВНОСТІ

У загальному випадку маневреністьлітака можна повністю охарактеризувати секундним векторним збільшеннямшвидкості. Нехай у початковий момент часу величина та напрямок швидкості літака зображується вектором V1 (рис. 1), а через одну секунду - вектором V2; тоді V2=V1+ΔV, де ΔV - секундне векторне збільшення швидкості.

Мал. 1. Секундне векторне збільшення швидкості

На рис. 2 зображена область можливих секундних векторних збільшень швидкостідля деякого літака при його маневрі у горизонтальній площині. Фізичний зміст графіка полягає в тому, що через одну секунду кінця векторів V і V2 можуть виявитися тільки всередині області, обмеженою лінією а-б-в-г-д-е. При тягу двигунів Рр, що розташовується, кінець вектора ΔV може виявитися тільки на межі а-б-в-г, на якій можна відзначити наступні можливі варіанти маневрування:

• а - розгін по прямій,
• б - розворот з розгоном,
• в - розворот, що встановився,
• г – форсований розворот з гальмуванням.

При нульовій тязі та випущених гальмівних щитках кінець вектора ΔV може виявитися через секунду тільки на межі д-е, наприклад, у точках:

• д - енергійний розворот з гальмуванням,
• е – гальмування по прямій.

При проміжній тязі кінець вектора ΔV може опинитися у будь-якій точці між межами а-б-в-г та д-е. Відрізок г-д відповідає розворотам при Суддоп з різною тягою.

Нерозуміння того факту, що маневреність визначається секундним векторним збільшенням швидкості, тобто величиною ΔV, іноді призводить до неправильної оцінки того чи іншого літака. Наприклад, перед війною 1941-1945 р.р. деякі льотчики вважали, що наш старий винищувач І-16 мав більш високі маневрені властивості, ніж нові літаки Як-1, МіГ-3 і ЛаГГ-3. Однак у маневрених повітряних боях Як-1 виявив себе краще, ніж І-16. В чому справа? Виявляється, І-16 міг швидко «повертатися», але його секундні прирости ΔV були набагато меншими, ніж у Як-1 (рис. 3); т. е. фактично Як-1 мав вищими маневреними властивостями, якщо питання не розглядати вузько, з погляду лише однієї «поворотливості». Аналогічно можна показати, що, наприклад, літак МіГ-21 маневреніший за літак МіГ-17.

Області можливих прирощень ΔV (рис. 2 і 3) добре ілюструють фізичний сенс поняття маневреності, тобто дають якісну картину явища, але не дозволяють проводити кількісний аналіз, для якого залучаються різноманітні приватні та узагальнені показники маневреності.

Секундне векторне збільшення швидкості ΔV пов'язане з перевантаженнями наступною залежністю:

За рахунок земного прискорення g усі літаки отримують однакове збільшення швидкості ΔV (9,8 м/с², вертикально вниз). Бічна перевантаження nz при маневруванні зазвичай не використовується, тому маневреність літака повністю характеризується двома навантаженнями - nx і ny (перевантаження - векторна величина, але надалі знак вектора "->" опускатиметься).

Перевантаження nх і nу є таким чином, загальними показниками маневреності.

З цими навантаженнями пов'язані всі приватні показники:

• rг - радіус розвороту (віражу) у горизонтальній площині;
• wг - кутова швидкість розвороту горизонтальній площині;
• rв - радіус маневру у вертикальній площині;
• час розвороту на заданий кут;
• wв - кутова швидкість повороту траєкторії у вертикальній площині;
• jx - прискорення у горизонтальному польоті;
• Vy - вертикальна швидкість при підйомі, що встановився;
• Vyе - швидкість набору енергетичної висоти та ін.

ПЕРЕВАНТАЖЕННЯ

Нормальним навантаженням ny називається відношення алгебраїчної суми підйомної сили та вертикальної складової сили тяги (у потоковій системі координат) до ваги літака:

Примітка 1. Під час руху по землі у створенні нормального навантаження бере участь і сила реакції землі.

Примітка 2. Самописці САРПП реєструють навантаження у пов'язаній системі координат, у якій

На літаках звичайної схеми величина Ру порівняно мала і нею нехтують. Тоді нормальним навантаженням буде ставлення підйомної сили до ваги літака:

Наявне нормальне перевантаження nyр називається найбільше навантаження, яке можна використовувати у польоті з дотриманням умов безпеки.

Якщо в останню формулу підставити коефіцієнт підйомної сили Cyр, то отримане перевантаження і буде наявною.

nyр = Cyр * S * q / G (2)

У польоті величина Cyр, як вже домовилися, може обмежуватися по звалюванню, трясці, підхоплення (і тоді Cyр = Cyдоп) або за керованістю (і тоді Cyр = Cyf). Крім того, величина nyр може обмежуватися за умовами міцності літака, тобто в будь-якому випадку nyр не може бути більшою за максимальне експлуатаційне навантаження nyе макс.

До назви перевантаження nyр іноді додають слово короткочасна.

Використовуючи формулу (2) і функцію Cyр(M) можна отримати залежність перевантаження nyр від числа М і висоти польоту, яка зображена графічно на рис. 4 (приклад). Зауважимо, що зміст малюнків 4,а та 4,6 абсолютно однаковий. Верхній графік зазвичай використовується для різних розрахунків. Однак для льотного складу зручніше графік в координатах М-Н (нижній), на якому лінії постійних перевантажень, що розташовуються, проведені прямо всередині діапазону висот і швидкостей польоту літака. Проаналізуємо рис. 4,6.

Лінія nyр = 1, очевидно, є вже відомою нам межею горизонтального польоту. Лінія nyр = 7 є кордоном, правіше і нижче за яку може відбутися перевищення максимального експлуатаційного навантаження (у нашому прикладі nyе макс = 7).

Лінії постійних перевантаженьпроходять таким чином, що nyp2/nyp1=p2/p1 тобто між двома будь-якими лініями різниця у висоті така, що відношення тисків дорівнює відношенню перевантажень.

Виходячи з цього, перевантаження можна знайти, маючи на діапазоні висот і швидкостей тільки одну межу горизонтального польоту.

Нехай, наприклад, потрібно визначити nyр при М=1 та H=14 км (у точці А на рис. 4,6). Рішення: знаходимо висоту точки В (20 км) та тиск на цій висоті (5760 Н/м2), а також тиск на заданій висоті 14 км (14 750 Н/м2); шукане навантаження у точці А буде nyр = 14750/5760 = 2,56.

Якщо відомо, що графік на рис. 4 побудований для ваги літака G1 а нам потрібне перевантаження для ваги G2, то перерахунок проводиться по очевидній пропорції:

Висновок. Маючи межу горизонтального польоту (лінію nyp1=1), побудовану для ваги G1, можна визначити перевантаження на будь-якій висоті і швидкості польоту для будь-якої ваги G2, використовуючи пропорцію

nyp2/nyp1=(p2/p1)*(G1/G2) (3)

Але в будь-якому випадку перевантаження, що використовується в польоті, не повинно бути більше максимальної експлуатаційної. Строго кажучи, для літака, схильного до польоту великим деформаціям, формула (3) який завжди справедлива. Однак до літаків-винищувачів це зауваження зазвичай не стосується. За величиною nyp при найенергійніших маневрах, що не встановилися, можна визначити такі приватні характеристики маневреності літака, як поточні радіуси rг і rв, поточні кутові швидкості wг і wв.

Граничною по тязі нормальним навантаженням nyпр називається таке найбільше навантаження, при якому лобовий опір Q стає рівним тязі Рр і при цьому nx = 0. До назви цього навантаження іноді додають слово "тривала".

Обчислюється граничне по тязі перевантаження так:

• для заданої висоти та числа М знаходимо тягу Рр (за висотно-швидкісними характеристиками двигуна);
• при nyпр маємо Pр = Q = Cx * S * q, звідки можна знайти Сх;
• з сітки поляр за відомими М та Сx знаходимо Су;
• обчислюємо підйомну силу Y=Су*S*q;
• обчислюємо перевантаження ny=Y/G, яка і буде граничною по тязі, тому що при розрахунках ми виходили з рівності Рр=Q.

Другий метод розрахунку застосовується, коли поляри літака є квадратичні параболи і коли замість цих поляр в описі літака даються криві Сх0(М) та А(М):

• знаходимо тягу Рр;
• запишемо Рр = Cр * S * q, де Ср коефіцієнт тяги;
• за умовою маємо Рр = Ср*S*q=Q=Cх*Q*S*q+(A*G²n²yпр)/(S*q), звідки:

Індуктивний опір пропорційно квадрату навантаження, тобто Qі=Qі¹*ny² (де Qі¹ - індуктивний опір при nу=1). Тому, виходячи з рівності Рр = Qo + Qі, можна записати вираз для граничного навантаження і в такому вигляді:

Залежність граничного навантаження від числа М та висоти польоту зображена графічно на рис. 5.5 (приклад взято з книги).

Можна побачити, що ліній nyпр=1 на рис. 5. є вже відомою нам кордоном горизонтального польоту, що встановився.

У стратосфері температура повітря стала і тяга пропорційна атмосферному тиску, тобто Рp2/Рp1=р2/p1 (тут коефіцієнт тяги Ср=const), тому відповідно до формули (5.4) при заданому числі М в стратосфері має місце пропорція:

Отже, граничне по тязі перевантаження на будь-якій висоті більше 11 км можна визначити за тиском р1 лінії статичних стель, де nyпр1=1. Нижче 11 км пропорція (5.6) не дотримується, оскільки тяга при зменшенні висоти польоту зростає повільніше, ніж тиск (внаслідок збільшення температури повітря), і величина коефіцієнта тяги Ср падає. Тому для висот 0-11 км розрахунок граничних по тязі перевантажень доводиться робити звичайним порядком, тобто з використанням висотно-швидкісних характеристик двигуна.

За величиною nyпр можна знайти такі приватні характеристики маневреності літака, як радіус rг, кутову швидкість wг, час tf віражу, що встановився, а також г, w і t будь-якого маневру, що виконується при постійній енергії (прл Pр = Q).

Поздовжнім навантаженням nх називається відношення різниці між силою тяги (вважаючи Рх = Р) та лобовим опором до ваги літака

Примітка При русі по землі до опору слід додати ще силу тертя коліс.

Якщо в останню формулу підставити тягу двигунів Рр, що розташовується, то отримаємо так звану наявне поздовжнє навантаження:

Мал. 5.5. Граничні тяги перевантаження літака F-4C «Фантом»; форсаж, вага 17,6 m

Розрахунок поздовжнього перевантаження.при довільному значенні nу робимо наступним чином:

• знаходимо тягу Рр (за висотно-швидкісними характеристиками двигуна);
• при заданому нормальному навантаженні ny обчислюємо лобовий опір наступним шляхом:
  ny->Y->Сy->Сx->Q;
• за формулою (5.7) обчислюємо nxр.

Якщо поляра - квадратична парабола, то можна скористатися виразом Q=Q0+Qі¹*ny², внаслідок чого формула (5.7) набуде вигляду

Згадаймо, що при ny=nyпр має місце рівність

Підставивши цей вислів у попереднє і розірвувши отримаємо остаточну формулу

Якщо нас цікавить величина поздовжнього перевантаження для горизонтального польоту, тобто для ny=1, то формула (5.8) набуває вигляду

На рис. 5.6 як приклад наведена залежність nxр¹ від М і Н для літака F-4C «Фантом». Можна помітити, що криві nxр¹(M, Н) в іншому масштабі приблизно повторюють хід кривих nyпр(М, Н), а лінія nxр¹=0 точно збігається з лінією nyпр=1. Це і зрозуміло, тому що обидві ці навантаження пов'язані з тягоозброєністю літака.

За величиною nxр¹ можна визначити такі приватні характеристики маневреності літака, як прискорення при горизонтальному розгоні jx, вертикальну швидкість підйому Vy, що установилося, швидкість набору енергетичної висоти Vyе в неусталеному прямолінійному підйомі (зниженні) зі зміною швидкості.

Рис 5 6 Поздовжні перевантаження в горизонтальному польоті літака F-4C «Фантом»; форсаж, маса 17,6 т

8. Усі розглянуті характерні навантаження (пУ9, пупр, Я*Р> ^лгр1) часто зображуються як графіка, наведеного на рис. 5.7. Він називається графіком узагальнених характеристик маневреності літака. За рис. 5.7 для заданої висоти Hi за будь-якого числа М можна знайти пур (на лінії Сур або п^макс). %Пр (на горизонтальній осі, тобто при пхр = 0), Лхр1 (при пу=) та пХ9 (при будь-якому навантаженні пу). Узагальнені характеристики найбільш зручні для різного роду розрахунків, тому що з них можна безпосередньо зняти будь-яку величину, але вони не наочні через численність цих графіків і кривих на них (для кожної висоти потрібно мати окремий графік, подібний до зображеного на рис. 5.7). Рис 5 7 Узагальнені характеристики маневреності літака на висоті Hi (приклад) Щоб скласти повне та наочне уявлення про маневреність літака, достатньо мати три графіки р (М, Н) -як на рис. 5.4,6; пупр (М, Н)-як на рис. 5.5,6; пх р1 (М, Н) – як на рис. 5 6,6.

На закінчення розглянемо питання про вплив експлуатаційних факторів на наявну і граничну потягу нормальні навантаження і на поздовжнє перевантаження.

Вплив ваги

Як це видно з формул (5.2) і (5.4), наявне нормальне перевантаження пур і граничне по тязі нормальне перевантаження nyпр змінюються обернено пропорційно вазі літака (при постійних М і Н).

Якщо задане перевантаження ny, то при збільшенні ваги літака поздовжнє перевантаження nxр зменшується відповідно до формули (5.7), але простої зворотної пропорційності тут не спостерігається, так як при збільшенні G зростає і лобовий опір Q.

Вплив зовнішніх підвісок

На перелічені перевантаження зовнішні підвіски можуть впливати, по-перше, через свою вагу і, по-друге, через додаткове збільшення безіндуктивної частини опору лобового літака.

На наявне нормальне перевантаження nyр опір підвісок не впливає, так як це перевантаження залежить тільки від величини підйомної сили крила, що розташовується.

Гранична по тязі перевантаження nyпр, як видно з формули (5.4), зменшується, якщо збільшується Схо. Чим більша тяга і більше різниця Ср - Схо, тим менший вплив опору підвісок на граничне навантаження.

Наявне поздовжнє навантаження лхр при зростанні Схо також зменшується. Вплив Схо на nxр стає відносно більшим зі збільшенням на маневрі навантаження nу.

Вплив атмосферних умов.

Для визначеності міркувань розглядатимемо збільшення температури на 1 % при стандартному тиску р; щільність повітря р при цьому буде на 1% меншою за стандартну. Звідки:

• при заданій повітряній швидкості V наявна (по Сyр) нормальне навантаження пур впаде приблизно на 1%. Але при заданих індикаторній швидкості Vі чи числі М перевантаження nур зі збільшенням температури не зміниться;
• граничне по тязі нормальне перевантаження nyпр при заданому числі М впаде, так як збільшення температури на 1% призводить до падіння тяги Рр і коефіцієнта тяги Ср приблизно на 2%;
• наявне поздовжнє перевантаження nхр зі збільшенням температури повітря також зменшиться відповідно до падінням тяги.

Увімкнення форсажу (або його вимкнення)

Дуже сильно впливає на граничну по тязі нормальне перевантаження nyпр, і поздовжнє перевантаження nхр. Навіть на швидкостях і висотах, де Рр >> Qг, збільшення тяги, наприклад, в 2 рази призводить до збільшення nупр приблизно sqrt(2) разів і до збільшення nхр¹ (при nу = 1) приблизно в 2 рази.

На швидкостях і висотах, де різниця Рр - Qг мала (наприклад, поблизу статичної стелі), зміна тяги призводить до ще більш відчутної зміни nупр і nхр¹.

Що стосується наявної (по Сyр) нормальної навантаження nyр, то величина тяги на неї майже не впливає (вважаючи Рy = 0). Але слід враховувати, що при більшій тязі літак на маневрі втрачає енергію повільніше і, отже, більш тривалий час може перебувати на підвищених швидкостях, на яких перевантаження nyр має найбільшу величину.

Наявність у ЛА площині матеріальної симетрії дозволяє розділити його просторовий рух на поздовжнє та бічне. До поздовжнього руху відноситься рух ЛА у вертикальній площині за відсутності крену та ковзання, при нейтральному положенні керма та елеронів. При цьому відбуваються два поступальні та один обертальний рух. Поступальний рух здійснюються вздовж вектора швидкості і нормалі, обертальний – навколо осі Z. Поздовжній рух характеризується кутом атаки α, кутом нахилу траєкторії θ, кутом тангажу, швидкістю польоту, висотою польоту, а також положенням керма висоти і величиною і напрямком у вертикальній площині тяги ДУ.

Система рівнянь поздовжнього руху літака.

Замкнена система, що описує поздовжній рух літака може бути виділена з повної системи рівнянь, за умови, що параметри бічного руху, а також кути відхилення органів керування креном і нишпоренням дорівнюють 0.

Співвідношення α = ν - θ опромінено з першого геометричного рівняння після його перетворення.

Останнє рівняння системи 6.1 не впливає на інші та може бути вирішено окремо. 6.1 – нелінійна система, т.к. містить у собі твори змінних та тригонометричних функцій, вирази для аеродинамічних зусиль.

Для отримання спрощеної лінійної моделі поздовжнього руху літака необхідно ввести певні припущення і провести процедуру лінеаризації. З метою обґрунтування додаткових припущень нам необхідно розглянути динаміку поздовжнього руху літака при ступінчастому відхиленні керма висоти.

Реакція літака на ступінчасте відхилення керма висоти. Поділ поздовжнього руху на довго- та короткочасний.

При ступінчастому відхиленні δ виникає момент М z (δ в), який обертає щодо осі Z зі швидкістю ω z . При цьому відбувається зміна кута тангажу та атаки. При збільшенні кута атаки виникає збільшення підйомної сили і відповідний момент поздовжньої статичної стійкості М z (Δα), який протидіє моменту М z (δ в). Після закінчення обертання, на певному куті атаки він його компенсує.

Зміна кута атаки після врівноваження моментів М z (Δα) і М z (δ в) зупиняється, проте, т.к. літак має певні інерційні властивості, тобто. має момент інерції I z щодо осі ОZ, то встановлення кута атаки носить коливальний характер.

Кутові коливання літака навколо осі ОZ демпфуватимуться за допомогою власного моменту аеродинамічного демпфування М z (ω z). Збільшення підйомної сили починає змінювати напрямок вектора швидкості. Змінюється також кут нахилу траєкторії θ. Це у свою чергу впливає на кут атаки. У цьому кут атаки – постійний. Кутові рухи на малому інтервалі відбуваються із високою частотою, тобто. мають короткий період і називаються короткоперіодичними.

Після того, як загаснуть короткочасні коливання, стає помітною зміна швидкості польоту. В основному, за рахунок складової Gsinθ. Зміна швидкості ΔV впливає збільшення підйомної сили, як наслідок, на кут нахилу траєкторії. Остання змінює швидкість польоту. При цьому виникають коливання вектора швидкості, що згасають, за величиною і напрямом.

Зазначені рухи характеризуються низькою частотою, згасають повільно, тому їх називають довгоперіодичними.

При розгляді динаміки поздовжнього руху нами не було враховано додаткову підйомну силу, що створюється відхиленням керма висоти. Дане зусилля спрямоване на зменшення повної підйомної сили, тому для важких літаків спостерігається явище просідання – якісне відхилення кута нахилу траєкторії з одночасним збільшенням кута тангажу. Це відбувається поки збільшення підйомної сили не компенсує складову підйомної сили за рахунок відхилення керма висоти.

Насправді, долгопериодические коливання немає, т.к. своєчасно гасяться пілотом, або автоматичними органами управління.

Передавальні функції та структурні схеми матмоделі поздовжнього руху.

Передатною функцією називається зображення вихідний величені, за зображенням вхідний при нульових початкових умовах.

Особливістю передавальних функцій літака, як об'єкта управління і те, що ставлення вихідний величини, проти вхідний береться з негативним знаком. Це з тим, що у аеродинаміці прийнято як позитивного відхилення органів управління вважати відхилення, які створюють негативні збільшення параметрів руху літака.

В операторній формі запису має вигляд:

Системі 6.10, яка описує короткочасний рух літака, відповідають рішення:

(6.11)

(6.12)

Таким чином, можемо записати передатні функції, які пов'язують кут атаки та кутову швидкість по тангажу від відхилення керма висоти.

(6.13)

Для того щоб передавальні функції мали стандартний вигляд, введемо такі позначення:

, , , , ,

З огляду на ці співвідношення перепишемо 6.13:

(6.14)

Таким чином, передавальні функції по куту нахилу траєкторії та по куту тангажу, залежно від відхилення керма висоти будуть мати такий вигляд:

(6.17)

Одним з найважливіших параметрів, що характеризують подовжній рух літака, є нормальне навантаження. Перевантаження буває: Нормальної (по осі ОУ), поздовжня (по осі ОХ) та бічна (по осі OZ). Обчислюється як сума сил, які діють літак у певному напрямі, поділена на силу тяжкості. Проекції на осі дозволяють обчислити величину та співвідношення її з g.

- нормальне навантаження,

З першого рівняння сил системи 6.3 отримаємо:

Використовуючи вирази для перевантаження перепишемо:

Для умов горизонтального польоту ( :

Запишемо структурну схему, яка відповідає передавальній функції:

-δ у M ω z ν ν α - θ θ

Бічна сила Z a (δ н) створює момент крену М х (δ н). Співвідношення моментів М х (δ н) і М х (β) характеризує пряму та зворотну реакцію літака на відхилення керма напрямку. У разі, якщо М х (δ н) по модулю більше, ніж М х (β), літак нахилятиметься в протилежний бік розвороту.

Зважаючи на вищесказане, можемо побудувати структурну схему для аналізу бічного руху ЛА при відхиленні керма напрямку.

-δ н М у ω y ψ ψ
β β F z Ψ 1 Mx
ω y ω x

У режимі так званого плоского розвороту моменти нахилу компенсуються пілотом або відповідною системою управління. Слід зазначити, що при малому бічному русі літак крениться, разом з цим відбувається нахил підйомної сили, що викликає бічну проекцію Y a sinγ, яка починає розвивати велике бічне рух: літак починає ковзати на похиле напівкрило, при цьому збільшуються відповідні аеродинамічні сили та моменти, і значить роль починають грати так звані "спіральні моменти": М у (? х) і М у (? z). Велике бічне рух доцільно розглядати при вже нахиленому літаку, або з прикладу динаміки літака при відхиленні елеронів.

Реакція літака на відхилення елеронів.

При відхиленні елеронів з'являється момент М х (δ е). Літак починає обертатися навколо пов'язаної осі ОХ, при цьому з'являється кут крену. Демпфуючий момент М х (? х) протидіє обертанню літака. При нахилі літака внаслідок зміни кута нахилу виникає бічна сила Z g (Уа), яка є результуючою від сили ваги та підйомної сили У а. Ця сила "розгортає" вектор швидкості, при цьому починає змінюватися дорожній кут Ψ 1 , що призводить до виникнення кута ковзання β і відповідної сили Z a (β), а також моменту дорожньої статичної стійкості М у (β), який починає розгортати поздовжню вісь літака з кутовою швидкістю в. Внаслідок такого руху починає змінюватися кут ризику ψ. Бічна сила Z a (β) спрямована у протилежний бік по відношенню до сили Z g (Уа) тому вона певною мірою зменшує швидкість зміни колійного кута Ψ 1 .

Сила Z a (β) також є причиною моменту статичної поперечної стійкості. М х (β), який у свою чергу намагається вивести літак з крену, а кутова швидкість ω у і відповідний їй спіральний аеродинамічний момент М х (ω у) намагаються збільшити кут крену. Якщо М х (ω у) більше за М х (β) – виникає так звана "спіральна нестійкість", при якій кут крену після повернення елеронів в нейтральне положення продовжує збільшуватися, що призводить до розвороту літака зі зростаючою кутовою швидкістю.

Такий розворот називається координованим розворотом, при цьому кут крену задається пілотом або за допомогою системи автоматичного управління. При цьому в процесі розвороту компенсуються моменти, що обурюють, по крену М х β і М х ωу, кермо напрямку при цьому компенсує ковзання, тобто β, Z a (β), М у (β) = 0, при цьому момент М у (β ), який розвертав поздовжню вісь літака, заміщується моментом від керма напрямку М у (δ н), а бічна сила Z a (β), яка перешкоджала зміні колійного кута заміщається силою Z a (δ н). У разі координованого розвороту швидкість (маневреність) збільшується, при цьому поздовжня вісь літака збігається з вектором повітряної швидкості і розгортається синхронно зі зміною кута Ψ 1 .

УДК 629.7333.015
Математична модель просторового руху маневреного літака, що враховує нестаціонарні ефекти відривного обтікання на великих
кутах атаки.
М. А. Захаров.
На основі уточненої моделі аеродинамічних коефіцієнтів поздовжнього руху, що враховує нестаціонарні ефекти відривного обтікання при великих кутах атаки, побудовано математичну модель просторового руху маневреного літака з приведенням її системи нелінійних диференціальних рівнянь до канонічного виду. Підготовлено вихідні дані для введення в програму вирішення зазначеної системи на цифровій обчислювальній машині. Вихідні дані з аеродинамічних коефіцієнтів взяті з відомих (що охоплюють діапазони 0...900 для кутів і -400...400 для кутів) і приблизно спрогнозовані для кутів -7200...7200 за періодичним законом. Побудована модель проілюстрована рішеннями за різних положень органів управління літаком.

1 Постановка задачі.
У зв'язку з прогресом у галузі обчислювальної техніки з'явилася можливість швидше та точніше знаходити рішення системи нелінійних диференціальних рівнянь просторового руху літаків. У цьому математичний апарат,повно описує цей рух, ще недостатньо розвинений. Відомі роботи, присвячені розгляду математичних моделей просторового руху маневрених літаків (наприклад). При цьому окремо пропонуються математична модель аеродинамічних коефіцієнтів та модель руху (у вигляді системи диференціальних рівнянь). Однак побудова загальної (спільної) моделі для практичного використання викликає утруднення через наявність у складі моделі аеродинамічних коефіцієнтів нестаціонарних складових (зокрема складових, що відповідають структурі відривного обтікання на крилі). При підстановці аеродинамічних коефіцієнтів у загальну систему рівнянь остання на цифровій обчислювальній машині не може бути вирішена. У правій частині системи, що виходить, є члени, що містять похідні кутів атаки і ковзання (,). Інша складність полягає в тому, що в друку практично відсутня інформація про аеродинамічні коефіцієнти для діапазону зміни кутів і . У цьому роботі робиться спроба подолання цих проблем.
Раніше, на основі уточненої моделі аеродинамічних коефіцієнтів, що враховує нестаціонарні ефекти відривного обтікання при великих кутах атаки, була побудована математична модель поздовжнього руху маневреного літака. Логічним завершенням зусиль щодо впровадження уточненої моделі аеродинамічних коефіцієнтів має стати побудова моделі просторового руху маневреного літака, що включає вказану модель коефіцієнтів.
Необхідно також проілюструвати побудовану модель рішеннями при зміні становища органів управління.

2 Допущення, вихідні рівняння та побудова математичної моделі.
Вважаємо, що жорсткий маневрений літак рухається щодо плоскої Землі, що не обертається, за відсутності вітру. Осі тяги правого та лівого двигунів паралельні осі Х пов'язаної системи координат. При цьому просторовий рух такого літака можна виразити наступною системою рівнянь динаміки та кінематики:
; (1)
; (2)
; (3)
; (4)
; (5)
; (6)
; (7)
; (8)
; (9)
де:
; (10)
; (11)
; (12)
- Лінійна швидкість центру мас (ЦМ) літака; , , - його кутові швидкості повороту щодо осей X, Y, Z, пов'язаних з літаком , - площа крила; - Розмах крила; - Середня аеродинамічна хорда крила; , , – осьові моменти інерції щодо осей OX, OY, OZ; - Кут атаки; - Кут ковзання; - Кут крену; - Кут тангажу; - Кут нишпорення; - Кінетичний момент...

Основні поняття

Стійкість і керованість належать до особливо важливих фізичних властивостей літака. Від них значною мірою залежать безпека польотів, простота та точність пілотування та повна реалізація льотчиком технічних можливостей літака.

При вивченні стійкості та керованості літака його представляють як тіло, що рухається поступально під дією зовнішніх сил і обертається під дією моментів цих сил.

Для польоту необхідно, щоб сили і моменти були взаємно врівноважені.

Якщо з якихось причин ця рівновага порушується, то центр мас літака буде здійснювати нерівномірний рух криволінійною траєкторією, а сам літак почне обертатися.

Осями обертання літака прийнято вважати осі пов'язаної системи координат із початком координат
у центрі мас літака. Вісь ОХ розташовується в площині симетрії літака і спрямована його поздовжньої осі. Вісь ОУ перпендикулярна до осі ОХ, а вісь ОУ перпендикулярна до площини ХОУ і спрямована
у бік правого напівкрила.

Моменти, що обертають літак навколо цих осей, мають такі назви:

М х - момент нахилу або поперечний момент;

М Y - момент нишпорення або дорожній момент;

М z – момент тангажу чи поздовжній момент.

Момент М z , що збільшує кут атаки, називається кабруючим, а момент М z , що викликає зменшення кута атаки - пікірує.

Мал. 6.1. Моменти, які діють літак

Для визначення позитивного спрямування моментів використовується таке правило:

якщо з початку координат направити погляд вздовж позитивного напрямку відповідної осі, обертання за годинниковою стрілкою буде позитивним.

Таким чином,

· Момент М z позитивний у разі кабрування,

· Момент М х позитивний у разі крену на праве напівкрило,

· Момент М Y позитивний при розвороті літака вліво.

Позитивне відхилення керма відповідає негативний момент і навпаки. Отже, за позитивне відхилення кермів слід вважати:

· Кермо висоти - вниз,

· Кермо повороту - вправо,

· Правий елерон - вниз.

Положення літака у просторі визначається трьома кутами – тангажу, крену та нишпорення.

Кутом кренуназивається кут між лінією горизонту та віссю ОZ,

кутом ковзання– кут між вектором швидкості та площиною симетрії літака,

кутом тангажу- Кут між хордою крила або віссю фюзеляжу і лінією горизонту.

Кут крену позитивний, якщо літак знаходиться у правому крені.

Кут ковзання позитивний при ковзанні на праве напівкрило.

Кут тангажу вважається позитивним, якщо ніс літака піднято над обрієм.

Рівновагою називається такий стан літака, при якому всі сили та моменти, що діють на нього, взаємно врівноважені та літак здійснює рівномірний прямолінійний рух.

З механіки відомі 3 види рівноваги:

a) стійке б) байдуже; в) нестійке;

Мал. 6.2. Види рівноваги тіла

У таких же видах рівноваги може бути
та літак.

Поздовжня рівновага- це стан, у якому літак немає прагнення зміни кута атаки.

Шляхова рівновага- літак немає прагнення зміни напряму польоту.

Поперечна рівновага- літак не має прагнення зміни кута крену.

Рівновагу літака може бути порушено через:

1) порушення режимів роботи двигуна або їх відмови у польоті;

2) зледеніння літака;

3) польоту у неспокійному повітрі;

4) несинхронне відхилення механізації;

5) руйнування елементів літака;

6) зривного обтікання крила, оперення.

Забезпечення певного положення літака, що летить, по відношенню до траєкторії руху або по відношенню до земних предметів називається балансуванням літака.

У польоті балансування літака досягається відхиленням органів управління.

Стійкістю літаканазивається його здатність самостійно без втручання льотчика відновлювати випадково порушену рівновагу.

За словами М.Є.Жуковського, стійкість - це міцність руху.

Для практики льотної експлуатації балансування
та стійкість літака не рівноцінні. На літаку, на якому не забезпечене балансування, літати не можна, тоді як на нестійкому літаку можливий політ.

Оцінка стійкості руху літака провадиться за допомогою показників статичної та динамічної стійкості.

Під статичною стійкістюрозуміється його тенденція відновлення початкового рівноважного стану після випадкового порушення рівноваги. Якщо за порушення рівноваги виникають сили
і моменти, які прагнуть відновити рівновагу, літак статично стійкий.

При визначенні динамічної стійкостіоцінюється не початкова тенденція до усунення обурення, а характер протікання обуреного руху літака. Для забезпечення динамічної стійкості обурений рух літака має бути швидко загасаючим.

Таким чином, літак стійкий за наявності:

· Статичної стійкості;

· хороших демпфуючих властивостей літака, що сприяють інтенсивному згасанню його коливань у збуреному русі.

До кількісних показників статичної стійкості літака відносяться ступінь поздовжньої, колійної та поперечної статичної стійкості.

До характеристик динамічної стійкості відносяться показники якості процесу зменшення (згасання) збурень: час згасання відхилень, максимальні значення відхилень, характер руху у процесі зменшення відхилень.

Під керованістю літакарозуміється його здатність виконувати з волі льотчика будь-який маневр, передбачений технічними умовами даного типу літака.

Від керованості літака значною мірою залежить його маневреність.

Маневреністюлітака називають його здатність змінювати за певний проміжок часу швидкість, висоту та напрямок польоту.

Керованість літака тісно пов'язана з його стійкістю. Керованість при хорошій стійкості забезпечує льотчику простоту управління, а в разі потреби дозволяє швидко виправити випадкову помилку, допущену в процесі управління,
а також легко повернути літак до заданих умов балансування при дії на нього зовнішніх збурень.

Стійкість та керованість літака повинні перебувати у певному співвідношенні.

Якщо літак має велику стійкість,
то зусилля при керуванні літаком надмірно великі і пілот при маневруванні буде швидко
стомлюватися. Про такий літак кажуть, що він тяжкий в управлінні.

Зайве легке керування також неприпустимо, тому що утруднює точне дозування відхилень важелів керування і може спричинити розгойдування літака.

Балансування, стійкість та керованість літака поділяється на поздовжню та бічну.

Бічна стійкість і керованість поділяються на поперечну та колійну (флюгерну).

Поздовжня стійкість

Поздовжньою стійкістюназивається здатність літака без втручання пілота відновлювати порушену поздовжню рівновагу (стійкість щодо ОZ)

Поздовжня стійкість забезпечується:

1) відповідними розмірами горизонтального оперення р.о., площа якого залежить від площі крила;

2) плечем горизонтального оперення L р.о. відстанню від центру мас літака до центру тиску г.о.

3) Центрівкою, тобто. відстанню від шкарпетки середньої аеродинамічної хорди (САХ)до центру мас літака, вираженим у відсотках від величини САХ:

Мал. 6.3. Визначення середньої аеродинамічної хорди

САХ (b a) - хорда деякого умовного прямокутного крила, яке за такої ж, як у реального крила, площі має такі самі коефіцієнти аеродинамічних сил і моментів.

Величину та положення САХ найчастіше знаходять графічно.

Положення центру мас літака, отже, його центрування залежить від:

1) завантаження літака та зміни цього навантаження в польоті;

2) розміщення пасажирів та вироблення палива.

При зменшенні центрування збільшується стійкість, але зменшується керованість.

При збільшенні центрування зменшується стійкість, але збільшується керованість.

Тому передня межа центровок встановлюється з умови отримання безпечної посадкової швидкості та достатньої керованості, а задня межа – з умови забезпечення достатньої стійкості.

Забезпечення поздовжньої стійкості по кутку атаки

Порушення поздовжньої рівноваги виражається
у зміні кута атаки та швидкості польоту, причому кут атаки змінюється значно швидше, ніж швидкість. Тому в перший момент після порушення рівноваги проявляється стійкість літака по куту атаки (перевантаження).

При порушенні поздовжньої рівноваги літака кут атаки змінюється на величину і викликає зміну підйомної сили на величину, яка складається з прирощень підйомної сили крила та горизонтального оперення:

Крило і літак в цілому мають важливу властивість, що полягає в тому, що при зміні кута атаки відбувається такий перерозподіл аеродинамічного навантаження, що рівнодіє його приросту проходить через одну і ту ж точку F, віддалену від носка САХ на відстань Х f .

Рис.6.4. Забезпечення поздовжньої стійкості літака

Точка застосування прирощення підйомної сили, викликаного зміною кута атаки при незмінній швидкості, називається фокусом.

Ступінь поздовжньої статичної стійкості
літака визначається взаємним розташуванням центру мас та фокусу літака.

Положення фокусу при безвідривному обтіканні не залежить від кута атаки.

Положення центру мас, тобто. центрування літака визначається в процесі проектування компонуванням літака, а при експлуатації - заправкою або виробленням палива, завантаженням і т.п. Змінюючи центрування літака, можна змінювати ступінь його поздовжньої статичної стійкості. Існує певний діапазон центрувань, в межах якого можна розміщувати центр мас літака.

Якщо вантажі на літаку розмістити так, щоб центр мас літака збігався з його фокусом, літак буде байдужим до порушення рівноваги. Центрівка у цьому випадку називається нейтральною.

Усунення центру мас щодо нейтрального центрування вперед забезпечує літаку поздовжню статичну стійкість, а усунення ц.м. тому робить його статично нестійким.

Таким чином, для забезпечення поздовжньої стійкості літака, його центр мас повинен знаходитися попереду фокусу.

У цьому випадку при випадковій зміні кута атаки з'являється стабілізуючий момент a, літак, що повертає на заданий кут атаки (рис.6.4).

Для зміщення фокусу за центр мас застосовують горизонтальне оперення.

Відстань між центром мас і фокусом, виражена в частках САХ, називається запасом стійкості перевантаження або запасом центрування:

Існує мінімально-допустимий запас стійкості, який повинен дорівнювати не менше 3% САХ.

Положення ц.м., за якого забезпечується мінімально-допустимий запас центрування, називається гранично заднім центруванням. При такому центруванні літак ще має стійкість, що забезпечує безпеку польоту. Зрозуміло, що задня
експлуатаційне центрування має бути менше гранично допустимим.

Допустиме усунення ц.м. літака вперед визначається за умовами балансування літака.
Найгіршим у сенсі балансування є режим заходу на посадку при малих швидкостях, гранично допустимих кутах атаки та випущеної механізації.
Тому гранично переднє центруваннявизначається за умови забезпечення балансування літака на посадковому режимі.

Для неманеврених літаків величина запасу центрування має становити 10–12% САХ.

При переході з дозвукових режимів на надзвуковий фокус літака зміщується назад, запас центрування збільшується в кілька разів і поздовжня статична стійкість різко зростає.

Балансувальні криві

Розмір поздовжнього моменту М z , що виникає при порушенні поздовжньої рівноваги, залежить від зміни кута атаки Δα. Ця залежність називається балансувальної кривої.

Мz

Мал. 6.5. Балансувальні криві:

а) стійкий літак; б) байдужий літак;
в) нестійкий літак

Кут атаки, при якому M z = 0 називається балансувальним кутом атаки α .

На балансувальному куті атаки літак перебуває у стані поздовжньої рівноваги.

На кутах стійкий літак створює стабілізуючий момент - (момент пікірування), нестійкий – дестабілізуючий + , байдужий літак створює , тобто. має безліч балансувальних кутів атаки.

Шляхова стійкість літака

Шляхова (флюгерна) стійкість- Це здатність літака без втручання пілота усувати ковзання, тобто встановлюватися "проти потоку", зберігаючи заданий напрямок руху.

Мал. 6.6. Шляхова стійкість літака

Забезпечується колійна стійкість відповідними розмірами вертикального оперення S в.
та плечем вертикального оперення L в.о. відстанню від центру тиску в.о. до центру мас літака.

Під дією М можливий літак обертається навколо осі OY, але його ц.м. за інерцією зберігає ще напрям руху і літак обтікається потоком під
кутом ковзання β. Внаслідок несиметричного обтікання виникає бічна сила Z, прикладена
у бічному фокусі. Літак під дією сили Z прагне розвернутися подібно до флюгера в бік крила, на яке він ковзає.

В.о. зміщує бічний фокус за ц. літака. Цим забезпечується створення стабілізуючого дорожнього моменту ΔM Y = Zb.

Ступінь колійної статичної стійкості визначається величиною похідної коефіцієнта моменту нишпорення по куту ковзання m .

Фізично m визначає величину приросту коефіцієнта моменту нишпорення, якщо кут ковзання змінюється на 1 .

У літака, що володіє дорожньою стійкістю він негативний. Отже, при ковзанні на праве крило (позитивне ), утворюється дорожній момент, що обертає літак праворуч, тобто. коефіцієнт m негативний.

Зміна кута атаки, випуск механізації трохи впливають на шляхову стійкість. У діапазоні чисел М від 02 до 09 ступінь колійної стійкості практично не змінюється.